6 장 . 계수 및 확률 (3)

6장. 계수 및 확률(3) 이산수학 및 응용 하병현 bhha@pusan.ac.kr

목차 6.1 개요 6.2 가능성 트리 및 곱의 법칙 6.3 서로소인 집합의 원소 수 계산: 합의 법칙 6.4 부분집합의 개수 계산: 조합 6.5 중복을 허락하는 r-조합 6.6 조합의 대수적 성질 6.7 이항정리 6.8 확률공리 및 기대값 6.9 조건부 확률, Bayes의 공식 및 독립사건

6.5 중복을 허락하는 r-조합 The value of mathematics in any science lies more in disciplined analysis and abstract thinking than in particular theories and techniques. Alan Tucker, 1982

중복을 허락하는 r-조합 • 정의 • n개의 원소를 갖는 집합 X가 주어졌을 때, X로부터 순서에 관계없이 중복을 허락하여 r개를 뽑아 만든 집합을 중복을 허락하는 r-조합(r-combination with repetition allowed, 또는 크기 r인 다중집합(multiset of size r))이라 한다. • 예제 • {1, 2, 3, 4}의 중복을 허락하는 r-조합? • [1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 1, 3], [1, 1, 4][1, 2, 2], [1, 2, 3], [1, 2, 4], …

중복을 허락하는 r-조합의 개수 • 예제(계속): 개수는? • {1, 2, 3, 4}의 중복을 허락하는 r-조합? • [1, 1, 1]  [xxx | | | ] • [1, 1, 2]  [xx | x | | ] • [1, 1, 3]  [xx | | x | ] • [1, 1, 4]  [xx | | | x] • [1, 2, 2]  [x | xx | | ] • [1, 2, 3]  [x | x | x | ] • [1, 2, 4]  [x | x | | x] • [1, 3, 3]  [x | | xx | ]

중복을 허락하는 r-조합의 개수 • 예제(계속) • {1, 2, 3, 4}의 중복을 허락하는 r-조합? • 개수 계산 • 3개(4  1개)의 ‘|’와 3개(3개를 선택)의 ‘x’로 만들 수 있는 문자열의 수와 같음 • C(6, 3)  20 • 정리 6.5.1 • n개의 원소를 갖는 집합의 중복을 허락하는 r-조합의 수는 C(r + n  1, r)과 같다.

중복을 허락하는 r-조합의 개수 • 예제 • 정수 i, j, k, n에 대하여 1  i  j  k  n을 만족시키는 3-순서쌍 (i, j, k)의 개수는? • 1부터 n까지의 정수 중 순서에 관계없이 3개를 선택하면 됨 • C(3 + n  1, 3)

중복을 허락하는 r-조합의 개수 • 예제 • xi가 음이 아닌 정수일 때 다음을 만족시키는 해의 개수는? x1 + x2 + x3 + x4  10 • {1, 2, 3, 4}에서 10개의 중복 선택과 동일 • 예: 1111223334를 뽑았다면, • x1  4, x2  2, x3  3, x4  1 • 따라서, C(10 + 4  1, 10)

중복을 허락하는 r-조합의 개수 • 예제 • xi가 0보다 큰 정수일 때 다음을 만족시키는 해의 개수는? x1 + x2 + x3 + x4  10 • {1, 2, 3, 4}에서 6개의 중복 선택과 동일 • 예: 111233를 뽑았다면, • x1  1 + 3, x2  1 + 1, x3  1 + 2, x4  1 + 0 • 따라서, C(6 + 4  1, 10)

경우의 수 정리 • 개수 계산 요약 • 나열하는 방법 • 순서를 잘 맞춰서 오름차순으로 세어야 함

경우의 수 정리 • 나열하는 방법: 중복허락, 순서고려 • {1, 2, 3, 4}에서 각 자리의 수를 선택하여 3자리의 비밀번호를 만드는 방법: 43 64 개 • 111 • 112 • 113 • 114 • 121 • 122 • 123, …, 144, 211, …, 444

경우의 수 정리 • 나열하는 방법: 중복불허, 순서고려 • {1, 2, 3, 4}에서 3개를 선택해 나열하는 방법: P(4, 3)  24 개 • 123 • 124 • 132 • 134 • 142 • 143 • 213 • 214 • 231 • 234 • 241 • 243 • 312 • 314 • 321 • 324 • 341 • 342 • 412 • 413 • 421 • 423 • 431 • 432

경우의 수 정리 • 나열하는 방법: 중복허락, 순서고려 없음 • {1, 2, 3, 4}에서 중복을 허용하며 3개를 선택하는 방법: C(4 + 3  1, 3)  20 개 • 111 • 112 • 113 • 114 • 122 • 123 • 124 • 133 • 134 • 144 • 222 • 223 • 224 • 233 • 234 • 244 • 333 • 334 • 344 • 444

경우의 수 정리 • 나열하는 방법: 중복불허, 순서고려 없음 • {1, 2, 3, 4}에서 3개를 선택하는 방법: C(4, 3)  4 개 • 123 • 124 • 134 • 234

6.6 조합의 대수적 성질 Let us grant that the pursuit of mathematics is a divine madness of the human spirit, a refuge from the goading urgency of contingent happenings. Alfred North Whitehead, 18611947

조합에 관한 공식 • 예제: 다음이 성립함을 보여라 • C(n, 0)  1 • C(n, n)  1 • C(n, n 1)  n (n  1)

조합에 관한 공식 • 예제: C(n, r)  C(n, n r) • 어떤 집합에 대하여 원소의 수가 r인 부분집합의 개수는 원소의 수가 (n  r)인 부분집합의 개수와 같다. • 엄밀한 증명?  조합적 증명 • 동일한 대상을 서로 다른 방식으로 셀 수 있음을 보여줌으로써 주어진 등식이 성립함을 증명하는 방법

Pascal의 삼각형 • Pascal의 공식 • C(n + 1, r)  C(n, r  1) + C(n, r) • 조합적 해석 • n + 1 개의 원소를 가진 집합에서 r개를 선택하는 방법의 수는, i) n개의 원소를 가진 집합에서 r 1 개를 선택하는 방법의 수와 ii) n개의 원소를 가진 집합에서 r개를 선택하는 방법의 수의 합과 같다.

Pascal의 삼각형

Pascal의 삼각형 • 정리 6.6.1 Pascal의 공식 • C(n + 1, r)  C(n, r  1) + C(n, r) • 대수적 증명

Pascal의 삼각형 • 정리 6.6.1 Pascal의 공식 • C(n + 1, r)  C(n, r  1) + C(n, r) • 조합적 증명 • 집합 S {x1, x2, …, xn, xn+1}이라 하자. • 크기가 r인 S의 부분집합은 xn+1을 포함하는 것과 xn+1을 포함하지 않는 것으로 나눌 수 있으며 서로 소이다. • xn+1을 포함하는 부분집합의 개수는 {x1, x2, …, xn}에서 r  1 개를 선택하는 방법의 수와 같다. • xn+1을 포함하지 않는 부분집합의 개수는 {x1, x2, …, xn}에서 r개를 선택하는 방법의 수와 같다.

6.7 이항정리 I’m very well acquainted, too, with matters mathematical, I understand equations both the simple and quadratical. About binomial theorem I am teaming with a lot of news, with many cheerful facts about the square of the hypotenuse. William S. Gilbert, The Pirates of Penzance, 1880

이항정리 • 예제: 이항전개 • (a + b)2 (a + b)(a + b)  aa + ab + ba + bb • (a + b)3 (a + b)(a + b)(a + b)  aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb • (a + b)4 (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) • 제일 처음에서 하나, 다음에서 하나, 다음에서 하나, 다음에서 하나를 선택해 곱한 것들의 합 • 3개의 a와 1개의 b가 곱해진 항은 몇 개인가? • C(4, 1)  C(4, 3)

이항정리 • 예제(계속): 이항전개 • (a + b)4 C(4, 0)a4b0 + C(4, 1)a3b1 + C(4, 2)a2b2 + C(4, 3)a1b3 + C(4, 4)a0b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

이항정리 • 정리 6.7.1 이항정리 • 임의의 실수 a, b와 음이 아닌 정수 n이 주어졌을 때

이항정리 증명 • 필요한 것 • 정의 • 임의의 실수 a와 음이 아닌 정수 n에 대하여 a의음이 아닌 거듭제곱(nonnegative integer powers of a)은 다음과 같이 정의한다. • 00 1이라고 정의  http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_zero_power n 0 n > 0

증명 • 정리 6.7.1 이항정리 • 대수적 증명(수학적 귀납법) • 기본단계(n 0) • 귀납단계 • m  0에 대해 n  m일 때 성립한다면 n  m + 1일 때도 성립함을 증명

증명 • 정리 6.7.1 이항정리(계속) • 가정한 것: • 증명할 것: • 증명:

증명 • 정리 6.7.1 이항정리(계속)

이항정리 • 예제: 증명? • C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n)  2n • 예제: 다음을 간단히?

나머지… 6.8 확률공리 및 기대값 6.9 조건부 확률, Bayes의 공식 및 독립사건

6 장 . 계수 및 확률 (3)

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