LINEAR CONTROL SYSTEMS

1. LINEAR CONTROL SYSTEMS Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad

2. Topics to be covered include: Controllability and observability. Definition of controllability and observability. Controllability and observability of different modes. Canonical forms. Controllable, observable and Jordan canonical forms. Controllability and observability in Jordan forms. Transfer function of controllable and observable systems. Controllability and observability from block diagram. Lecture 7

3. Definition 1:The state equation (I) or the pair (A,b) is said to be controllable if for any initial state x0 and any final state x1, there exists an input that transfers x0 to x1 in a finite time. Otherwise (I) or (A,b) is said to be uncontrollable Controllability کنترل پذیری تعریف1: معادلات (I) یا زوج (A,b) را کنترل پذیر گویند اگر برای هرx0 و برای هرx1، ورودی ای وجود داشته باشد که x0را در زمان محدود بهx1 برساند. در غیر اینصورت معادلات (I) یا زوج (A,b) را کنترلناپذیر گویند تعریف1: معادلات (I) یا زوج (A,b) را کنترل پذیر گویند اگر برای هر x0 و برای هرx1، ورودی ای وجود داشته باشد که x0را در زمان محدود بهx1 برساند. در غیر اینصورت معادلات (I) یا زوج (A,b) را کنترل ناپذیر گویند

4. Controllabilitytest تست کنترل پذیری Theorem 1:The state equation (I) or the pair (A,b) is controllable if and only if قضیه1: معادلات (I) یا زوج (A,b)کنترل پذیر است اگر و فقط اگر S= | b Ab A2b ….. An-1b |≠ 0

5. This kind of system is controllable so it is called controllable canonical form. این نوع سیستم همواره کنترل پذیر است لذا به آن فرم کانونی کنترل پذیر گویند. Example 1 : Check the controllabilityof following system مثال 1: کنترل پذیری سیستم زیر را بررسی کنید

6. Definition 2:The state equation (I) or the pair (A,c) is said to be observable if for any unknown initial state x0 , there exists a finite time t1 > 0 such that the knowledge of the input u and the output y over [0,t1] suffices to determine Uniquely the initial state x0. Other wise, the equation is unobservable. Observability رویت پذیری تعریف2: معادلات (I) یا زوج (A,c) را رویت پذیر گویند اگر برای هر شرط اولیهx0 زمان محدود t1>0، وجود داشته باشد که اطلاعات ورودی u و خروجی y در بازه [0,t1] برای محاسبه منحصر بفردx0کافی باشد در غیر اینصورت سیستم را رویت ناپذیر گویند.

7. Observabilitytest تست رویت پذیری Theorem 2:The state equation (I) or the pair (A,c) is observable if and only if قضیه2: معادلات (I) یا زوج (A,c)رویت پذیر است اگرو فقط اگر

8. So the system is not observable. پس سیستم رویت پذیر نیست Example 2 : Check the observabilityof following system مثال 2: رویت پذیری سیستم زیر را بررسی کنید

9. Eigenvalues of Aمقادیر ویژه A For the controllabilityof a mode it is sufficient that the following matrix has full row rank Controllabilitytestfor each mode(system with distinct eigenvalues) تست کنترل پذیری برای هر مود (سیستمهای دارای مودهای مجزا)

10. Eigenvalues of Aمقادیر ویژه A For the observabilityof a mode it is sufficient that the following matrix has full column rank Observabilitytestfor each mode (system with distinct eigenvalues) تست رویت پذیری برای هر مود (سیستمهای دارای مودهای مجزا)

11. Example 3: Check the observability and controllability of each mode مثال 3 : کنترل پذیری و رویت پذیری هر مود را بررسی کنید. It is not completely controllable

12. Example 3 : Check the observability and controllability of each mode (continue) مثال 3 : کنترل پذیری و رویت پذیری هر مود را بررسی کنید (ادامه). It is completely observable

13. Poles of systemقطبهای سیستم Eigenvalues of Aمقادیر ویژه A Poles of transfer function قطبهای تابع انتقال What happened to -1 ?

14. 1- It can lead to a simpler system. 1- امکان ساده سازی سیستم 2- It doesn’t change the eigenvalues. 2- عدم تغییر مقادیر ویژه 3- It doesn’t change controllability. 3- عدم تغییر کنترل پذیری 4- It doesn’t change observability. 4- عدم تغییر رویت پذیری Similarity transformation properties خواص تبدیلات همانندی

15. Similarity transformation doesn’t change the eigenvalues. تبدیل همانندی مقادیر ویژه را تغییر نمی دهد Effect of similarity transformation on eigenvalues of system تاثیر تبدیلات همانندی بر مقادیر ویژه

16. Similarity transformation doesn’t change the controllability. تبدیل همانندی کنترل پذیری را تغییر نمی دهد Effect of similarity transformation on controllability تاثیر تبدیلات همانندی بر کنترل پذیری

17. Similarity transformation doesn’t change the observability. تبدیل همانندی رویت پذیری را تغییر نمی دهد Effect of similarity transformation on observability تاثیر تبدیلات همانندی بر رویت پذیری With the same proof as pervious slide

18. 1- Controllable canonical form. 2- Observable canonical form. 3- Jordan canonical form. 1- فرم کانونی کنترل پذیر 2- فرم کانونی رویت پذیر 3- فرم کانونی جردن Important canonical forms فرمهای کانونی مهم

19. Controllable canonical form فرم کانونی کنترل پذیر

20. Observable canonical form فرم کانونی رویت پذیر

21. All modes are controllable and observable تمام مودها کنترل پذیرو رویت پذیر است Jordan canonical form for systems with distinct eigenvalues فرم کانونی جردن برای سیستم با مقادیر ویژه مجزا Checking the controllability and observability is very simple

22. . . . . . . . . Extended Jordan canonical form فرم کانونی جردن تعمیم یافته

23. Transforms to controllable canonical form تبدیل به فرم کانونی کنترل پذیر System is controllable q is last row of S-1 Controllable canonical form

24. Transforms to observable canonical form تبدیل به فرم کانونی رویت پذیر System is observable q is last column of V-1 Observable canonical form

25. Transfer function of controllable and observable systems. تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر Suppose the system is controllable and observable فرض کنید سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر باشد There is no pole zero cancellation in transfer function حذف صفر و قطب در تابع انتقال نداریم The degree of transfer function is n درجه تابع انتقال برابر n است.

26. Transfer function of controllable and observable systems. تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر Suppose the system is not controllable or is not observable فرض کنید سیستم کنترل پذیر یا رویت پذیر نيست There is pole zero cancellation in transfer function حذف صفر و قطب در تابع انتقال داریم Thedegree of transfer function is less than n درجه تابع انتقال کمتر از n است.

27. But we can not know much more information about the system by this method اما نمی توان اطلاعات بیشتری از این روش بدست آورد. Example4: Transfer function of controllable and observable systems. مثال4 : تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر System is controllable and observable System is not both controllable and observable but 3 is controllable and observable

28. 1- Find the numbers of s-1in the block diagram or state diagram. 1- ابتدا تعداد s-1 را در بلوک دیاگرام و یا دیاگرام حالت بدست آورید 2 - Find the transfer function by Mason’s rule 2- تابع انتقال را با توجه به قانون گین میسون بدست آورید 3 – If the numbers of s-1in the block diagram or state diagram is equal to degree of transfer function then the system is controllable and observable. 3- اگر تعداد s-1 در بلوک دیاگرام و یا معادلات حالت با درجه تابع انتقال برابر با شد آنگاه سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر است. Controllability and observability from block diagram and state diagram کنترل پذیری و رویت پذیری از طریق بلوک دیاگرام و دیاگرام حالت

29. Mason’s rule TF The numbers of s-1in the state diagram is 2 and the degree of transfer function is also 2 so the system is controllable and observable. SD تعداد s-1 در دیاگرام حالت برابر 2 بوده و درجه تابع انتقال نیز 2 است لذا سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر است. Example 5: Check the controllability and observability of following function. مثال 5: کنترل پذیری و رویت پذیری سیستم زیر را بررسی کنید.

30. 2-a)Find the eigenvalues of following system.b) Find the pole of transfer function.c) Are the eigenvalues controllable and observable? 3- Check the controllability and observability of every mode in the following system. Exercise 1- Find the modes of following system.

31. 5- Examine the controllability and observability of each mode of the following system. Exercise (Cont.) 4- Check the controllability and observability of every mode in the following system and compare it with exercise 4.(Note that the system in this exercise and exercise 4 are similar that shown in example 2 Answer: All modes are controllable. -1 and -4 are observable but -2 is not observable.

32. S-1 1 3 -1 r(s) 1 -2 S-1 c(s) -3 1 1 S-1 -2 Exercises (Cont.) 6- Consider the following system.a) Find the controllable canonical form. b) Find the observable canonical form. 7- Check the controllability and observability of every mode in the following system by direct inspection (without calculation). 8- Check the controllability and observability of the following system

33. + + + + Exercises (Cont.) 9- Check the controllability and observability of the following system by transfer function method. 10- Check the controllability and observability of every mode in exercise 5. 11- The eigenvalues of a system are -3,4,-5 and the poles of its transfer function are -3 and -5.(Midterm spring 2008)a) What is your idea about the observability of each eigenvalue.b) What is your idea about the controllability of each eigenvalue.

34. Exercises (Cont.) 12- Find a state space realization for following system such that it is neither observable nor controllable.(Final 1391)