CAPITULO 7 Estudio de Circuitos en Régimen Transitorio

1. CAPITULO 7Estudio de Circuitos en Régimen Transitorio Teoría de Circuitos I

2. Estudiaremos el comportamiento dinámico de los circuitos cuando se producen perturbaciones, originadas por apertura o cierre de llaves, o por variaciones súbitas en la alimentación. Circuito Dinámico: Incluye Capacitores, Inductores, o ambos. La energía no se disipa en forma de calor, sino que queda almacenada en el campo eléctrico (en C) o magnético (en L). El comportamiento de las formas de onda de tensión y corriente quedará definido por ecuaciones diferenciales cuyo orden depende del número de almacenadores que tenga el circuito.

3. Condiciones iniciales Propiedades básicas de los capacitores e inductancias invariantes en el tiempo • Memoria:

4. Memoria: • Las condiciones inciales son equivalentes, desde el punto de vista externo, a los siguientes cicuitos: Es importante tener en cuenta la polaridad/sentido de circulación de la condición inicial para el modelo !!!

5. Propiedades básicas de los capacitores e inductancias invariantes en el tiempo • Continuidad: Si la forma de onda de corriente ic(t) en un capacitor lineal (ten-sión vL(t) en un inductor) permanece acotada en un intervalo ce-rrado [ta, tb], entonces la tensión vc(t) en el capacitor ( corriente iL(t) en un inductor)es una función continua en el intervalo abierto (ta, tb).

6. Continuidad: • Una forma de demostrar matemáticamente esta propiedades a partir de las relaciones VA de los respectivos elementos • CAPACITOR INDUCTOR Para que exista la derivada la tensión vC(t) en el capacitor y la corriente iL(t) en un inductor deben variar en forma continua.Luego,

7. EDO lineal de primer orden - Sistema de ecuaciones diferenciales - Condiciones Iniciales Problema de condiciones iniciales Planteo de ecuaciones en regímenes transitorios Por LKT sabemos que: vS(t) : Excitación o función forzante (puede ser cte o vble en el tiempo) Las ecuaciones diferenciales por sí mismas, no permiten obtener la so-lución real del problema, sino que deben complementarse con las con-diciones iniciales, o condiciones de conmutación vistas anteriormente.

8. Solución Homogénea o de Régimen Libre Solución Particular o de Régimen Forzado Respuesta en Régimen Transitorio = + Solución Homogénea o de Régimen Libre Régimen transitorio, libre y forzado Como ya sabemos la solución para una variable cualquiera x(t) para una ecuación diferencial lineal tendrá la forma: Solución Homogénea Solución Particular Para los circuitos se puede demostrar que la ecuación homogénea aso-ciada sólo puede tener raices reales negativas o complejas con parte real negativa y las soluciones serán del tipo:

9. Ecuación de Estado Régimen transitorio en circuitos de primer orden Circuitos constituidos por resistencias e inductancias o resistencias y capacitores. Gráficamente, Aplicando T. de Thevenin o de Norton podemos reemplazar N, tal que: Aplicando LKT en la malla Aplicando LKC en un nudo

10. Circuitos alimentados con fuentes de valor cte. Método de inspección Cuando la red N contiene solo fuentes de continua, vth(t) = Vth y iN(t) = iN son constantes podemos escribir Pero como ya sabemos esta ecuación tendrá una solución de la forma: Para el caso del capacitor, x(t)= Vc(t):

11. Circuitos alimentados con fuentes de valor cte. Método de inspección La evolución de la variable de estado ( vC(t) o iL(t) ) queda unívocamente determinada por tres parámetros: estado inicial x(0), estado final o de equilibrio x(), y constante de tiempo  El método puede usarse para hallar la tensión entre cualquier par de nudos j y k, o la corriente en cualquier rama j, en una red lineal de primer orden alimentada por fuentes de continua. Observación: Solo puede utilizarse en circuitos donde el equivalente de Thevenin o Norton exista y posea Rth  0 o GN  0 respectivamente.

12. Propiedades de las ondas exponenciales La evolución de la variable de estado ( vC(t) o iL(t) ) queda tendrá un comportamiento estable o no dependiendo de la constante de tiempo  Diremos que es estable si la solución homogénea tiende asintóticamen-te a cero cuando t tiende a infinito. Caso contrario, podrá ser inesta-ble o marginalmente estable. Caso estable > 0

13. i(t) C2 C1 Derivando Propiedades de las ondas exponenciales • Caso inestable < 0 ec. homogenea asoc ? • Caso marginalmente estable

14. x(t0+t) ? Cálculo del tiempo transcurrido entre dos instantes dados A partir de la ecuación deducida para el metodo de inspección sabemos que cualquier punto de la evolución verifica que: Con lo cuál podemos calcular el intervalo transcurrido entre 2 instantes planteando esta ecuación para 2 instantes, diviendo miembro a miembro y tomando el logaritmo. Así, se obtiene que:

15. Representación gráfica de la respuesta Con C.I. nulas, por el método de inspección: Si a su vez i(0) = 0, tenemos: Luego, por la ley de Ohm:

16. Representación gráfica de la respuesta • : constante de tiempo ( tiempo que tarda la ilibre, en reducirse a un valor igual a 1/e )

17. Determinación gráfica de t Aplicando inspección y suponiendo que transcurrió un tiempo largo antes de cerrar S, tenemos: ifinal = 0 Luego, la evolución temporal en la malla que se cortocircuito será:

18. 6  3.vX(t) i(t) + 16 V 0,8 H vX (t) 4  3  – Pag 16 Ej 1) Determinar la corriente i(t) y la tensión vx(t) para t  0, siendo i(0-) = 1 A

19. Pag 17 Ej 5)En el siguiente circuito, la llave se abre en t = 0, exci- tando la red con un escalón de corriente IDC. Obtener y graficar v0(t).

20. Régimen transitorio en circuitos de 2do orden - Respuesta libre: Hallar i(t) debido a la liberación de energía almacenada en L, en C o en ambas Hallar v(t) debido a la liberación de energía almacenada en L, en C o en ambas - Respuesta forzada:

21. Régimen transitorio en circuitos de 2do orden Por LKT en la malla tenemos: Como tenemos ahora una EDO de orden 2 necesitaremos 2 condicio-nes iniciales, que podrán ser independientes o depenmdientes

22. 2 a w02 Régimen transitorio en circuitos de 2do orden - Calculo de respuesta libre El polinomio asociado resulta: Ojo, vale solo para serie RLC

23. w02 a Circuitos de 2do orden RLC paralelo Por LKC en el nudo:

24. Régimen transitorio en circuitos de 2do orden 1. Si  > 0 > 0 ambas raíces son reales, negativas y distintas y la respuesta se denomina sobreamortiguada, estando representada por la suma de dos exponenciales decrecientes, con constantes de tiempo 1 y 2

25. Régimen transitorio en circuitos de 2do orden 2. Si = 0 ambas raíces serán reales e iguales, y se dice que la respuesta posee amortiguamiento crítico

26. Régimen transitorio en circuitos de 2do orden 3. Si 0 <  < 0 ambas raíces son complejas conjugadas una de otra, y la respuesta se denomina subamortiguada, estando representada por una senoide que decae exponencialmente.

27. Régimen transitorio en circuitos de 2do orden 4. Si = 0 yo > 0 la respuesta será sin pérdidas, es decir, una senoide pura con una frecuencia angular de oscilación igual a o

28. Análisis solución completa RLC serie Al igual que para primer orden la solución completa puede pensarse como la superposición de la respuesta libre y la forzada: • Régimen sobreamortiguado  > o > 0 ambas raíces son reales y distintas 1 ≠ 2 a) Análisis respuesta libre

29. Análisis solución completa RLC serie • Régimen sobreamortiguado b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas) E vC(t) ? vR(t) vL(t)

30. Pag 24 Ej 2) Luego de haber estado en la posición 1 un tiempo sufi- cientemente largo, la llave L conmuta en t=0 a la posición 2. Hallar y graficar la evolución vC(t) para t  0.

31. vR(t) E vL(t) Análisis solución completa RLC serie • Amortiguamiento crítico  = o ambas raíces reales e iguales 1= 2 =  a) Análisis respuesta libre b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas)

32. Determinar la tensión de salida vc(t) para t>0 seg. Suponer que el circuito ha alcanzado el régimen permanente en t = 0-.

33. Forma general de las constantes de integración para regimen libre • Regimen Sub o Sobreamortiguado Para la tensión en el capacitor: Reemplazando (1) en (2), tenemos: Reemplazando (1) en (2), tenemos:

34. Análisis solución completa RLC serie • Regimen subamortiguado 0 <  <o raíces complejas conjugadas 12 = -   j d a) Análisis respuesta libre Como ya sabiamos: Trabajando matemáticamente y utilizando la igualdad de Euler:

35. Análisis solución completa RLC serie b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas) C = 0,1 F L = 0,1 H E = 10 V R = 0,1  R = 1  R = 2  R = 5  R = 10  i(t)

36. Pag 32 Ej 2) La llave en el siguiente circuito se abre en t = 0 seg, luego de haber permanecido cerrada un tiempo suficientemente largo. Calcular iL(t) para t  0.

37. En t = 0 seg las llaves S y S´ están en la posición 1. En t = 1 mseg conmutan a la posición 2. Calcular la evolución temporal de vR(t)

38. Pag 32 Ej 4) En t = 0 los almacenadores están descargados y la llave en la posición 1. El sistema evoluciona hasta t = 0,5 s y la llave conmuta a la posición 2. Calcular y graficar cualitativamente iL(t) para t  0.