1 / 15

Logika Kategoryjna

Logika Kategoryjna. Michał R. Przybyłek. Szkice słonia. Teoria kategorii jest o abstrakcji spostrzegamy, że w różnych gałęziach matematyki istnieją podobne konstrukcje i próbujemy je opisać w jeden zuniformowany sposób Teoria kategorii jest o bezelementowym podejściu do uprawiania matematyki.

gillespie-hehir
Download Presentation

Logika Kategoryjna

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Logika Kategoryjna Michał R. Przybyłek

  2. Szkice słonia • Teoria kategorii jest o abstrakcji • spostrzegamy, że w różnychgałęziach matematyki istnieją podobne konstrukcje i próbujemy je opisać wjeden zuniformowany sposób • Teoria kategorii jest o bezelementowym podejściu do uprawiania matematyki

  3. Arystoteles Galileusz Opisy subiektywne i relatywne

  4. Ustrukturyzowane elementy Relatywne zachowanie Opisy wewnętrzne i zewnętrzne

  5. Uogólnione (multi)grafy

  6. Kategorie • Kategoria składa się z kolekcji: • Wierzchołków Obj • Ścieżek Mor • Każda ścieżka f z Mor ma przyporządkowany swój wierzchołek źródłowy A i docelowy B, co będziemy zapisywać f : A -> B • Dla każdych dwóch ścieżek f : A -> B i g : B -> C istnieje ścieżka f#g : A -> C • Dla każdego wierzchołka A istnieje ścieżka zerowa iA : A -> A • Ponadto zachodzą następujące prawa: • (f#g)#h = f#(g#h) dla dowolnych kompatybilnych ścieżek f, g, h • f#iB = f, iA#f = g dla dowolnego f : A -> B

  7. Przykłady kategorii • Graf • Liczby naturalne z porządkiem • Liczby rzeczywiste z porządkiem • Zbiory i funkcje • Zbiory i funkcje częściowe • Monoid • Algebry nad ustaloną sygnaturą i homomorfizmy • Przestrzenie topologiczne i przekształcenia ciągłe

  8. Charakteryzacje wierzchołków

  9. Charakteryzacja ścieżek • f : A -> B jest mono, jeżeli dla dowolnego wierzchołka W i ścieżek x, y : W -> A zachodzi: x#f = y#f => x = y • f : A -> B jest epi, jeżeli dla dowolnego wierzchołka W i ścieżek x, y : B -> W zachodzi: f#x = f#y => x = y • f : A -> B jest split mono, jeżeli istnieje taka ścieżka g : B -> A, że f#g = iA • f : A -> B jest split epi, jeżeli istnieje taka ścieżka g : B -> A, że g#f = iB • f : A -> B jest izo, jeżeli istnieje taka ścieżka g : B -> A, że f#g = iA oraz g#f = iB

  10. Esencje pojęć • Produkty Kartezjańskie

  11. Systemy dedukcyjne • Aksjomaty • Reguły

  12. Homomorfizmy

  13. Struktury

  14. Funktory • Funktor F z kategorii C do kategorii D to para funkcji F0 : Obj(C) -> Obj(D), F1 : Mor(C) -> Mor(D) zachowująca: • źródła i cele - tj. dla dowolnej ścieżki f : A -> B zachodzi: F1(f) : F0(A) -> F0(B) • złożenia - tj. dla dowolnej pary składalnych morfizmów f, g zachodzi: F1(f#g) = F1(f)#F1(g) • identyczności - tj. F1(iA) = iFo(A)

  15. Przykłady funktorów • Homomorfizm grafów • Włożenia • Mnożenie Kartezjańskie • Potęgowanie • Struktura podzbioru • Struktura listy • Struktura drzewa

More Related