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9.1 – O conceito de camada limite. Cap.9 - Escoamento Externo. 9.2 – Espessuras da camada limite. 9.3 – Camada limite laminar em placa plana. 9.4 – Equação integral da quantidade de movimento. 9.5 – Emprego da equação integral. 9.6 – Gradientes de pressão no escoamento. 9.7 – Arrasto.
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9.1 – O conceito de camada limite Cap.9 - Escoamento Externo 9.2 – Espessuras da camada limite 9.3 – Camada limite laminar em placa plana 9.4 – Equação integral da quantidade de movimento 9.5 – Emprego da equação integral 9.6 – Gradientes de pressão no escoamento 9.7 – Arrasto 9.8 – Sustentação
9.1 – O conceito de camada limite PARTE A CAMADAS LIMITE
9.2 – Espessuras da camada limite A camada limite é a região adjacente a uma superfície sólida na qual as forças viscosas são importantes. A espessura da camada-limite, d , é definida como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade situa-se dentro de 1 por cento da velocidade de corrente livre. A espessura de deslocamento, d* , é a distância da qual a fronteira sólida teria que ser deslocada em um escoamento sem atrito para dar a mesma diferença de vazão em massa que existe na camada-limite. Para escoamento incompressível:
A espessura de quantidade de movimento, q , é definida como a espessura da camada de fluido, de velocidade U, para a qual o fluxo de quantidade de movimento é igual ao déficit do fluxo de quantidade de movimento através da camada-limite. Para escoamento incompressível:
Simplificações utilizadas no modelo de Blasius (camada limite laminar na placa plana). Navier-Stokes bidimensional : - Gradiente de pressão são iguais a zero - Forças de origem gravitacional desprezíveis - Regime permanente
9.3 – Camada limite laminar em placa plana A solução analítica para a camada limite laminar em placa plana horizontal foi obtida por Blasius em 1908. Escoamento bidimensional, permanente e incompressível com gradiente de pressão igual a zero. Condições de contorno:
O modelo de Blasius considera que o perfil u/U é similar para toda a extensão de x ao longo da placa plana. Blasius utilizou a correlação, e estabeleceu a variável adimensional : Utilizando a definição de função corrente: Apesar da equação a ser resolvida apresentar uma única variável dependente, y, a dificuldade em obter a solução ainda permanece.
Para contornar a dificuldade foi proposto o uso da função corrente adimensional abaixo, como função a ser obtida de h, alterando a forma da equação da Q.D.M. :
Perfis de velocidade similares ao longo de x (camada limite laminar em placa plana)
Solução de Blasius para camada limite laminar em placa plana
A solução de Blasius mostra que u/U=0,99 quando h=5 : A tensão de cisalhamento na parede pode ser expressa como: Assim, o coeficiente de tensão de cisalhamento na parede, ou coeficiente local de atrito, será:
Exemplo : (a) Determine a espessura da camada limite em uma placa plana de 1 m submersa em um escoamento laminar na atmosfera sob velocidade do vento de 1 m/s e 10 m/s. (b) Calcule a tensão de cisalhamento na parede no centro da placa nos dois casos.
9.4 – Equação integral da quantidade de movimento (Gradiente de pressão nulo)
Observa-se que o arrasto será nulo se o escomento for ideal (u=U). A equação anterior indica que o escoamento na camada limite sobre uma placa plana é o resultado do equilíbrio de forças do arrasto e a diminuição da quantidade de movimento do fluido. Ao longo do comprimento da placa, d aumenta e o arrasto também. O aumento da espessura da camada limite é necessária para equilibrar o arrasto provocado pela tensão de cisalhamento viscosa na placa. Esta característica não ocorre no escoamento interno porque a quantidade de movimento do escoamento interno é constante e a força de cisalhamento é equilibrada pelo gradiente de pressão negativo ao longo do conduto fechado. A distribuição de tensão de cisalhamento é obtida diferenciando-se a equação anterior em relação a x: (Balanço de forças infinitesimal na placa)
Perfis de velocidade típicos utilizados na análise integral da camada limite.
9.5 – Emprego da equação integral Perfil de velocidade linear Exemplo: Considere o escoamento laminar de um fluido incompressível sobre uma placa plana posicionada no plano com y=0. Admita que o perfil de velocidade é linear, u = Uy/d para y < d e u = U para y > d . Determine a tensão de cisalhamento utilizando a equação integral. Solução:
Utilizando a definição da espessura de quantidade de movimento: A tensão de cisalhamento na parede pode ser obtida combinando as eq. anteriores:
Perfil de velocidade como função de y/d Considerando uma função geral para o perfil de velocidade adimensional u/U, tem-se: Condições de contorno:
A tensão de cisalhamento na parede pode ser escrita como: pagina anterior
Exemplo: Um fluido escoa sobre uma placa plana de 0,5 por 0,5 [m2] com velocidade de aproximação igual a 1 m/s. Determine a força de arrasto devido ao atrito, considerando os seguintes fluidos: (a) água a 20 oC , (b) Ar no estado padrão e (c) glicerina a 20 oC .
Perfis típicos de velocidade para os regimes laminar, de transição e turbulento do escoamento na camada limite sobre uma placa plana.
Exemplo: Um fluido escoa sobre uma placa plana com velocidade de aproximação igual a 3,1 m/s. Determine a distância em relação ao bordo de ataque da placa em que ocorre a transição do regime laminar para o turbulento e estime a espessura da camada limite neste local. Considere os seguintes fluidos: (a) água a 20 oC , (b) Ar no estado padrão e (c) glicerina a 20 oC .
Camada limite turbulenta Considere o escoamento turbulento de um fluido incompressível sobre uma placa plana. Admitindo que o perfil de velocidade na camada limite é dado por u/U = (y/d)1/7 , determinaremos as espessuras da camada limite d e q , a tensão de cisalhamento na parede tw e o coeficiente de atrito médio na parede, CDf . Este perfil é próximo daqueles obtidos experimentalmente em placas planas exceto na região muito próxima a placa. Admitiremos que a tensão de cisalhamento na parede é dada por : ao invés da expressão para fluidos newtonianos, anteriormente utilizada na modelagem da camada limite laminar sobre plana plana.
a tensão de cisalhamento na parede, dada pela conservação da quantidade de movimento, pode ser utilizada para escoamento laminar ou turbulento:
Coeficiente médio de atrito para uma placa plana posicionada paralelamente ao escoamento.
Exemplo: Determine a força de arrasto devido ao atrito em dois casos de escoamento de fluidos sobre uma placa plana de 10 por 10 [m2]: na situação (a) com velocidade de aproximação igual a 4,2 m/s (aprox. 15,1 km/h) com fluido água e na situação (b) com velocidade de aproximação igual a 42 m/s (aprox. 151 km/h) com fluido ar.
9.7 – Arrasto FD V Coeficiente de Arrasto
Dois objetos com formas diferentes mas que apresentam o mesmo coeficiente de arrasto (cilindro e aerofólio com CD=0,12.
Exemplo: Um grão de areia, com diâmetro K=0,1 mm e densidade igual a 2,3 decanta para o fundo de um lago. Determine a velocidade do movimento do grão de areia admitindo que a água do lago está estagnada.
