Pozitivna teorija opće ekonomske ravnoteže

1. Problem egzistencije rješenja Pozitivna teorija opće ekonomske ravnoteže

2. Uvod • Do sada smo promatrali ponašanje individualnih sudionika ekonomskog sustava (potrošača i proizvođača) i njihove ravnoteže u izolaciji od ostatka ekonomskog sustava • Bila je to metoda parcijalne ravnoteže

3. Uvod • Međutim, neki problemi u ekonomiji zahtijevaju konceptualni okvir opće ravnoteže ekonomskog sustava • Npr. ekonomski rast, demografske promjene, međunarodni ekonomski odnosi, monetarna politika... • Feedback učinci bitni

4. Uvod • U modelu parcijalne ravnoteže koristili smo pretpostavku da potrošači imaju kvazilinearne preferencije • U tom sustavu efekt dohotka postoji samo za numéraire (prihvatljivo u tradicionalnoj analizi jednog ili male grupe tržišta) • Za istraživanje ponašanja ekonomije u cjelini, efekt dohotka glavni je izvor povezanosti između tržišta

5. Uvod • Perspektiva opće ravnoteže podrazumijeva metodološki i teorijski pristup • Metodološki: ekonomija se promatra kao zatvoreni sustav međuzavisnih tržišta koji unutar sebe uspostavlja jednu od mogućih alokacija resursa

6. Uvod • Poremećaj u okruženju zahtijeva ponovno izračunavanje cijelog skupa endogenih varijabli • Skup egzogenih varijabli nastoji se svesti na minimum

7. Uvod • Teorijski aspekt: određenje ravnotežnih cijena i količina u sustavu savršeno konkurentnih tržišta (Walrasova teorija tržišta) koristeći samo • osnovne podatke o ekonomiji (lista dobara, stanje tehnologije, preferencije i dohoci); • institucionalnu pretpostavku postojanja kompletnih tržišta, i • pretpostavku ponašanja (sudionici cijene uzimaju kao date)

8. Uvod • Dakle, problem opće ravnoteže = problem određenja cijena i količina na svim tržištima istovremeno uz uzimanje u obzir njihove složene međupovezanosti

9. Uvod • Svrha analize opće ravnoteže: istražiti prirodu i faktore koji određuju ravnotežno rješenje • Namjera: razumjeti način na koji tržišni mehanizam koordinira i čini kompatibilnima odvojene odluke svih ekonomskih sudionika, od kojih svaki djeluje u svom vlastitom interesu

10. Uvod • Velika područja interesa kada se analizira opća ravnoteža u modelu tržišne ekonomije • Da li to rješenje postoji? • Ako postoji, da li je rješenje • jedinstveno? • stabilno? • efikasno?

11. Plan • U kontekstu analize opće ravnoteže ponovit ćemo koncept ekonomije privatnog vlasništva i definiciju Walrasove opće ravnoteže • Uvest ćemo pojam funkcije viška potražnje • Istražit ćemo u kojim uvjetima Walrasova ravnoteža, shvaćena kao rješenje sustava jednažbi agregatnog viška potražnje, postoji

12. Ekonomija privatnog vlasništva • Neka ekonomski sustav čini: • potrošača • proizvođača • dobara

13. Ekonomija privatnog vlasništva • Svakog potrošača karakterizira • skup mogućih potrošnji • relacija preferencije ≿na • vektor početnog bogatstva • vlasničko učešće u profitu za svako poduzeće pri čemu je • Svakog proizvođača karakterizira proizvodni skup

14. Ekonomska alokacija (ponavljanje) • Ekonomska alokacija je specifikacija vektora potrošnje za svakog potrošača i vektora proizvodnje za svakog proizvođača

15. Ekonomska alokacija (ponavljanje) • Alokacija je moguća ako ukupna količina svakog dobra koje se troši nije veća od ukupne količine koja je dostupna iz izvora početnog bogatstva i proizvodnje

16. Walrasova ravnoteža (ponavljanje) • Alokacija i vektor cijena predstavljaju konkurentsku (Walrasovu) ravnotežu ako su zadovoljeni uvjeti (i) – (iii): • (i) Maksimizacija korisnosti • (ii) Maksimizacija profita • (iii) Tržišta su u ravnoteži

17. Walrasova ravnoteža • Za svakog potrošača i proizvođača možemo izvesti funkcije neto potražnje odnosno ponude

18. Walrasova ravnoteža • je neto potražnja za tim dobrom i - tog potrošača, i = 1,...,I • je neto ponuda tog dobra od strane j – tog proizvođača, j =1,...,J • Ako je dobro faktor kojeg potrošač nudi, njegova komponenta u vektoru je negativna • Na strani proizvodnje, neto potražnja poduzeća za nekim dobrom isto se registrira kao odgovarajuća negativna komponenta u

19. Walrasova ravnoteža • Funkcije neto potražnje i ponude posjeduju sljedeće svojstva: • za dati vektor cijena, svaka neto potražnja i ponuda su jedinstveno određene • svaka neto potražnja i ponuda neprekidno ovisi o cijenama • homogene su nultog stupnja (ako se sve cijene promijene u istoj proporciji, neto potražnje i ponude ostaju iste)

20. Funkcija viška potražnje • Pogledajmo razliku za dobro ... (6.1) • smatramo viškom potražnje za dobrom jer predstavlja razliku između potražnje i ponude tog dobra • Možemo pisati • Funkcije viška potražnje posjeduju ista svojstva kao i funkcije potražnje i ponude • Dakle, analiza se može provoditi samo na bazi funkcija viška potražnje

21. Slika 6.1. Izvođenje funkcija viška potražnje Uzima se horizontalna udaljenost između krivulja potražnje i ponude 0 - 0 + Slika a) Slika b)

22. Slika 6.2. Izvođenje funkcija viška potražnje Uzima se horizontalna udaljenost između krivulja potražnje i ponude - 0 + Slika c) Slika d)

23. Walrasova ravnoteža • Ravnotežni položaj definiraju • vektor cijena i • vektor viška potražnje • Ovi vektori imaju sljedeća svojstva:

24. Walrasova ravnoteža • (i) neto potražnje koje odgovaraju moraju zadovoljiti • To znači da moraju biti najbolje količine za potrošača u odnosu na sve one koje su mu dostupne

25. Walrasova ravnoteža to jest, za sve koji zadovoljavaju za svaki .. (6.2) jer to je osnova za funkciju potražnje (primijetimo da budžetsko ograničenje sada predstavlja ravnotežu između potrošačevih pozitivnih količina dobara koje konzumira i negativnih količina faktora koje nudi odnosno prodaje na tržištu faktora)

26. Walrasova ravnoteža • (ii) ponuđene količine proizvoda i potraživane količine faktora koje odgovaraju moraju zadovoljiti što znači za sve j i za sve u proizvodnom skupu .. (6.3)

27. Walrasova ravnoteža • Dakle, prema uvjetu (ii), su one vrijednosti elemenata proizvodnog skupa koje maksimiziraju profite za dati skup cijena

28. Walrasova ravnoteža • (iii) pretpostavljamo da su cijene ne-negativne za sve l ... (6.4) • (iv) za opću ravnotežu, ravnoteža mora postojati na svakom tržištu, to jest: ... (6.5)

29. Walrasova ravnoteža • Dakle, Walrasovu (opću) ravnotežu čine • skup nenegativnih cijena i skup potraživanih i ponuđenih količina potrošača i proizvođača, takvih da je svaka potražnja i ponuda optimalna za odgovarajućeg potrošača odnosno proizvođača pri datim cijenama • višak potražnje na svim tržištima je jednak nuli (izuzetak su slobodna dobra gdje je manji od nule)

30. Walrasova ravnoteža Posljedice ovakve alokacije su: • niti jedan sudionik nema potrebu mijenjati svoje planove • planovi svih sudionika su kompatibilni i mogu se realizirati

31. Walrasova ravnoteža • Prije nego postavimo pitanje postojanja ravnoteže utvrdit ćemo neka znanja o preslikavanju

32. O preslikavanju • Preslikavanje predstavlja pravilo kojim se svaki element povezuje sa točno jednim elementom • X i Y su skupovi • Skup X je domena ili područje definicije • Skup Y kodomena ili područje vrijednosti funkcije • Ovakvo preslikavanje je funkcija

33. Slika 6.3. Preslikavanje Slika 6.3 f X Y y= f(x) x

34. O preslikavanju • je slika -apod tim preslikavanjem

35. O preslikavanju • Ako se element iz domene preslikava u samo jedan element kodomene, govorimo o funkciji • Ako se preslikava u podskup kodomene riječ je o višeznačnom preslikavanju ili korespondenciji • Analiza primjenom korespondencija postaje općenitija ali sve za današnje predavanje relevantne zaključke možemo izvesti i tako da promatramo “obične” funkcije

36. O preslikavanju • Preslikavanja se razlikuju po domeni, kodomeni i pravilu preslikavanja • Nas će zanimati domene koje su konačno dimenzionalni vektorski prostori • Elementi tih prostora su vektori čije su komponente realni brojevi • Nas će zanimati preslikavanja koja su neprekidna

37. Složeno preslikavanje • Učinimo još jednu metodološku napomenu na putu ka dokazu postojanja ravnoteže • Promatrat ćemo preslikavanje skupa u samoga sebe • Ovo preslikavanje dobit ćemo kao kompoziciju drugih preslikavanja (složeno preslikavanje)

38. Složeno preslikavanje • Kompozicija preslikavanja (composite mapping) je složeno preslikavanje koje zapisujemo kao i definira se kao

39. Slika 6.4. Ilustracija složenog preslikavanja Složeno preslikavanje Y f f(x) g X Z g(f(x)) x g ◦ f

40. Složeno preslikavanje • Budući da su u našoj primjeni iisti skupovi, složeno preslikavanje je slikanje jednog skupa u samoga sebe, premda g nije ista funkcija kao i f • Ako su neprekidne onda je i složeno preslikavanje isto neprekidno

41. Postojanje rješenja opće ravnoteže • Elementima analize sa kojima sada rapolažemo dodat ćemo još jedan • To su teoremi fiksne točke • Uz pomoć jednoga od njih pokušat ćemo odgovoriti na pitanje da li i u kojim uvjetima postoji opća ravnoteža i kako uopće definiramo što je to što smatramo rješenjem opće ravnoteže

42. Postojanje rješenja opće ravnoteže • Pozitivni odgovor na pitanje postojanja opće ravnoteže bitan je sa stajališta logičke utemeljenosti i opravdanosti cijele mikroekonomske teorije

43. Postojanje fiksne točke • Postojanje opće ravnoteže predstavit ćemo kao postojanje vektora ravnotežnih cijena koje će na svim tržištima istovremeno generirati višak potražnje jednak nuli • Matematički ovo se može postaviti kao problem postojanja fiksne točke

44. Postojanje fiksne točke • U mikroekonomskoj analizi najčešće su korištena dva teorema o dokazu postojanja fiksne točke: Brouwer-ov i Kakutani-jev • Kako Kakutanijev Teorem govori o korespondencijama, on je metodološki složeniji • Međutim, svi bitni uvidi u postojanje fiksne točke mogu se dobiti i na bazi Brouwerovog Teorema

45. Postojanje fiksne točke • U nastavku naš plan rada obuhvatit će sljedeće: • Brouwerov Teorem fiksne točke • Postupak normalizacije cijena • Walrasov zakon • Dokaz postojanja opće ravnoteže primjenom Brouwerovog Teorema fiksne točke

46. Brouwerov Teorem fiksne točke • Promatramo preslikavanje skupa u samoga sebe • Zanima nas postoji li, za dato preslikavanje skupa X u samoga sebe, točka koja je svoja vlastita slika, tj. tako da vrijedi • Točka je fiksna točka jer ona ostaje nepromijenjena pod preslikavanjem

47. Brouwerov Teorem fiksne točke • Napomenimo da su naše točke vektori u l - dimenzionalnom vektorskom prostoru • Teoremi fiksne točke tako su korisni u dokazu postojanja rješenja vektorskih jednadžbi

48. Brouwerov Teorem fiksne točke • L.E.J. Brouwer, holandski matematičar (1881-1960) • Precizirao uvjete u kojima postoji fiksna točka • Postojanje ovisi o : • svojstvima preslikavanja (neprekidnost) • svojstvima skupa koji se preslikava (kompaktnost, konveksnost)

49. Brouwerov Teorem fiksne točke • Teorem: Neka je neprekidno preslikavanje nepraznog, kompaktnog i konveksnog skupa u samoga sebe, tada postoji takav da je

50. Brouwerov Teorem fiksne točke • To znači da je fiksna točka preslikavanja (funkcije) • Prisjetimo se: Kažemo da je skup kompaktan kada je zatvoren i ograničen • Teorem daje dovoljni uvjet postojanja fiksne točke: ako su svi uvjeti ispunjeni možemo biti sigurni da fiksna točka postoji