第十章随机变量及其数字特征

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江西工业工程职业技术学院课时计划 课程名称经济数学2009~ 10年第二学期第10周第1 次课总第7次课课题第十章随机变量及其数字特征 10.1 随机变量 10.2 分布函数及随机变量函数的分布目的要求 1、理解理解离散型随机变量的概念及其分布列的的概念和性质； 2、理解连续型随机变量的概念及其概率密度的概念和性质。 3、了解分布函数及随机变量函数的分布的概念及性质。重点、难点和突破的方法重点、难点：随机变量的分布突破方法：通过对例题的详细讲解与课堂练习相结合复习提问随机事件的概念、概率的求法教具多媒体等。作业（附后）P205 ：2、3\5\6 课后记教学内容的步骤（附后）

10.1 随机变量 10.1.1 随机变量的概念 10.1.2 离散型随机变量 10.1.3 连续型随机变量

，，，此结果可统一成　　　　　　　　　　　　． 10.1.1随机变量的概念例1　在10件同类型产品中，有3件次品,现任取2件,用一个变量　表示“2件中的次品数”，“　　　”与事件“取出的2件中没有次品”是等价的.“　　　”等价于“恰好有1件次品”,“ ”等价于“恰好有2件次品”．于是返回

． 10.1.1随机变量的概念例2　某选手射击的命中率为　　　，现射击5次，命中次数用　表示,显然“ ”等价于“5次射击中，恰有　次命中”　　　例3　考虑“投掷骰子，直到出现6点为止”的试验，用Ｚ表示投掷的次数，则由于各次试验是相互独立的，于是，　，2，3，…．返回

10.1.1随机变量的概念 例4　考虑“测试电子元件寿命”这一试验，用　表示它的寿命(单位：　)，则　的取值随着试验结果的不同而在连续区间　　上取不同的值，当试验结果确定后，的取值也就确定了．上面例子中的　，　，　，　具有下列特征： (1)取值是随机的，事前并不知道取到哪一个值； (2)所取的每一个值，都相应于某一随机现象； (3)所取的每个值的概率大小是确定的．返回

10.1.1随机变量的概念 　　这种变量称为随机变量．随机变量可用英文大写字母　，　，　，…(或希腊字母　，　，　，…)等表示．　　随机变量与一般变量区别:随机变量的取值是随机的(试验前只知道它可能取值的范围，但不能确定它取什么值)，且取这些值具有一定的概率，比如　取值是0，相应地有概率　　　　；一般变量　取值是确定的，比如　取值是0，就是　　　．返回

这样取　有几个优点： 　　当然　也可以如下规定：，子弹中靶，，子弹脱靶．，子弹中靶，，子弹脱靶． 10.1.1随机变量的概念例5　某人打靶，一发子弹打中的概率为，打不中的概　率为　　，用随机变量描述这个随机现象时，通常规定随机变量 (1)　反映了一发子弹的命中次数(0次或1次)． (2)计算上很方便，有利于今后进一步讨论．返回一般不采用这样的规定．

随机变量　取值的规律称为　的分布． 10.1.1随机变量的概念　　随机变量分类：离散型随机变量和非离散型随机变量．若随机变量　的所有可能取值是可以一一列举出来的(即取值是可列个)，则称　为离散型随机变量．　　若随机变量　的所有取值不能一一列举出来，则称　为非离散型随机变量．非离散型随机变量的范围很广，其中最重要的是所谓连续型随机变量，它是依照一定的概率规律在数轴上的某个区间上取值的．注意它是依照概率规律取值的，所以在有的区间上概率可能较大，而在有的区间可能较小，甚至为零．返回

　及其分布列也可以用表格的形式表示 ，，2 ，…．(10.1.1) 10.1.2 离散型随机变量定义10.1　设离散型随机变量　的所有取值为　，　，…，　，…并且　取各个可能值的概率分别为称(10.1.1) 式为离散型随机变量　的概率分布，简称分布列或分布．返回

　　例2中计算　取0，1，…，5的概率 ，，　　由概率的定义可知，　满足如下性质：性质1　　　　　　　　　．性质2　　　　． 10.1.2 离散型随机变量例1中“任取2件，2件中的次品件数　” 的分布列是返回

，， 0 1 2 3 4 5 123 0.078 0.259 0.346 0.230 0.128 0.010 ，， 10.1.2 离散型随机变量于是得到“5次射击中恰有　次命中”的分布列是例3中投掷的次数的概率颁上是可列的，即为返回

性质2　　　　　　　． ， 10.1.3 连续型随机变量定义10.2　设随机变量　，如果存在非负可积函数　　，　　　　　　，使得对任意实数　　，有则称　为连续型随机变量，称　　为　的概率密度函数，简称概率密度或分布密度．概率密度有下列性质：性质1(因为概率不能小于0)．返回

例7设随机变量　的概率密度函数是 ，，，　　　　　其他．试求(1)系数　；． 10.1.3 连续型随机变量　　连续型随机变量在任意一点处的概率都是0，所以连续型随机变量落在某一区间上的概率时 (2)　落在区间　　　、　　　　内的概率．返回

(2) ，所以　　　．．， 10.1.3 连续型随机变量解(1)根据概率密度函数的性质，可得返回

，，解其中　　，则称　服从参数为　的指数分布．． 10.1.3 连续型随机变量例8　设随机变量　的概率密度函数是若某电子元件的寿命　服从参数　　　　的指数分布，求　　　　　　．返回

10.2分布函数及随机变量函数的分布 10.2.1 分布函数概念 10.2.2 分布函数的计算 10.2.3 随机变量函数的分布

，对于离散型随机变量　，若它的概率分布是 ,则　的分布函数为． 10.2.1分布函数概念定义10.3　设　是一个随机变量,称函数为随机变量　的分布函数．记作　　　　或　　　．对于连续型随机变量　,其概率密度为　　，则它的分布函数返回即分布函数是概率密度的变上限的定积分．

　　分布函数　　具有如下性质： 性质3．性质1 (因为　　就是某种概率)．性质2是单调不减函数，且或　　　　　　　　　．，由微分知识可知，在　　的连续点　处,有，， 10.2.1分布函数概念也就是说概率密度是分布函数的导数．返回

　　当　　　　时，有 例9　设随机变量　的分布列是 -101 0.30.50.2 ；；　　当　　　　　时，有求　的分布函数； 10.2.2 分布函数的计算解　当　　　时，因为事件，所以

故　的分布函数为 ，，　　当　　时，有，．； 10.2.2 分布函数的计算返回

　　当　　　　时，　　　　　，故 ；，；，　其他．　　当　　时，　　　，故　　　　；求　的分布函数　　. 10.2.2 分布函数的计算例10　设随机变量　的概率密度是解　由分布函数定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，

故　的分布函数　　为 ，　　当　　　时，有　　　　，故，． 10.2.2 分布函数的计算返回

，即求：(1)常数，；(2) ；(3) 的概率密度. . 故， . . 10.2.2 分布函数的计算例11　随机变量　的分布函数是 . 解：(1)因为是分布函数，所以满足：，，返回

(2) . 10.2.2 分布函数的计算 (3) 是连续函数，对任一，根据分布函数与概率密度的关系得的概率密度返回

若离散型随机变量　　　　，　的分布列是 10.2.3随机变量函数的分布　　设　　是一个函数，若随机变量　的取值为　时，随机变量　的取值为　　　　，则称随机变量　是随机变量　的函数，记作　　　　．如果　　　　　　　的值全不相等，则　　　的分布列是返回

例12　已知随机变量　的分布列是 -1012 0.20.30.4 (1)求参数　； (2)求　　　和　　　　　的概率分布. 10.2.3随机变量函数的分布如果　　　　　　　中有相等的，则把相等的值合并起来，同时把对应的概率相加，即得随机变量　的分布列．

因此　　　的概率分布为 ，故　　　． 012 ， 0.30.60.1 ，． 10.2.3随机变量函数的分布解(1)根据分布列的性质可知： (2)因为　的取值分别为-1，0，１，2，故　　　的取值分别为0，1，4，并且

　　同理可求　　　　　的分布列： ，因此的分布列为， -3-113 ， 0.20.30.4 0.1 . 10.2.3随机变量函数的分布　　　　　　　的取值分别为-3，-1，1，3，并且

　　两边对　求导，就得到　的概率密度函数 解　随机变量　的分布函数为． (11.2.1) ． 10.2.3随机变量函数的分布例13　若随机变量　的概率密度为　　　 ,求　的线性函数　　　　　的概率密度(其中　、　均为常数，且　　 ) 概率密度为(11.2.1)式的随机变量称为正态随机变量

． 10.2.3随机变量函数的分布设随机变量　和随机变量　　　　的分布密度分别记为　　　，　　，若函数　　　　是严格单调函数，　　　是　　　　的反函数，则

第十章 随机变量及其数字特征