物体的几何表示
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物体的几何表示 (1). 内容. 世界坐标系和景物 ( 局部 ) 坐标系 多边形表示. 内容. 世界坐标系和景物 ( 局部 ) 坐标系 多边形表示. y. y. z. x. o. x. o. z. 左手坐标系. 右手坐标系. 计算机图形学中的坐标系. 在计算机图形学中,常用的是空间直角坐标系 空间任何一点可以用三个坐标 ( x , y , z ) 表示 空间直角坐标系有两种: 右手系 和左手系. 球坐标系: ( r ,  ,  ). 柱坐标系: ( r , h ,  ). r. . . h. . r.

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Presentation Transcript


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物体的几何表示 (1)


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内容

  • 世界坐标系和景物(局部)坐标系

  • 多边形表示


1

内容

  • 世界坐标系和景物(局部)坐标系

  • 多边形表示


1

y

y

z

x

o

x

o

z

左手坐标系

右手坐标系

计算机图形学中的坐标系

  • 在计算机图形学中,常用的是空间直角坐标系

    • 空间任何一点可以用三个坐标(x, y, z)表示

    • 空间直角坐标系有两种:右手系和左手系


1

球坐标系:( r, , )

柱坐标系: ( r, h,)

r

h

r

计算机图形学中的坐标系


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世界坐标系和局部坐标系

  • 几何场景:定义在一个世界坐标系中,由许多物体组成

  • 物体的几何描述与空间坐标系密切相关

    • 对于相同的几何物体,在不同的坐标系中会有不同的表示形式 。

    • 选择空间坐标系,使得几何物体的表示最简单。该坐标系称为局部坐标系。


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局部坐标系:单位球面

x2+y2+z2=1球心在原点

(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1=0球心在(1,1,1)

最终表达式:x2+y2+z2-2x-2y-2z+2=0

结论:同为单位球面,前者最简单


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y

Y

x

X

z

Z

局部坐标系

世界坐标系

世界和局部坐标系:单位立方体

定义在局部坐标系和世界坐标系中的单位立方体:前者表示更为简洁


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世界坐标系和局部坐标系

  • 在局部坐标系中而不是在世界坐标系中直接表示物体的优势

    • 表示形式简洁

    • 在同一几何场景中,一个物体可能会多次出现,它们可以通过复制加变换的方式得到:

      标准体素“+”变换“=”新的物体

    • 局部坐标系便于进行几何操作


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局部坐标系和世界坐标系中的变换

y

Y

x

X

z

Z

世界坐标系中的旋转

局部坐标系中的旋转

在局部坐标系和世界坐标系中旋转一个圆柱面


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世界坐标系和局部坐标系

  • 世界坐标系和局部坐标系之间相互转换:简单的线性变换,如平移、旋转、放缩、剪切以及这些简单变换的组合


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内容

  • 世界坐标系和景物(局部)坐标系

  • 多边形表示

    • 多边形表示的来源

    • 多边形表示的数据结构

    • 多边形表示的优势与不足


1

内容

  • 世界坐标系和景物(局部)坐标系

  • 多边形表示

    • 多边形表示物体的主要来源

    • 多边形表示的数据结构

    • 多边形表示的优势与不足


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物体的多边形表示实例

(b) 原始法向着色图

(c) 平均法向着色图

(a) 线框图

野鸭模型的多边形表示,有6656个面片,3474个顶点


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物体的多边形表示

  • 物体的多边形表示

    • 大量的平面片:三角形、四边形或n-边形

    • 本质:线性表示形式


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内容

  • 世界坐标系和景物(局部)坐标系

  • 多边形表示

    • 多边形表示物体的主要来源

    • 多边形表示的数据结构

    • 多边形表示的优势与不足


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多边形表示物体的主要来源

  • 三维测量与扫描

    • 原始数据一般为三维空间中的点集

    • 采用适当的重建算法得到其多边形表示

    • 该方法更适用于数学公式难以直接描述的自然界已有实物

  • 断层扫描重建

    • CT、MRI等值面抽取


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扫描重建与等值面多边形物体


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多边形表示物体的主要来源

  • 解析数学公式的逼近

    • 常用的物体外形数学表示方法包括参数曲面、细分曲面、隐式曲面等

    • 通过控制逼近误差,总可以得到满足精度的曲面物体的多边形逼近表示

参数曲面的多边形逼近

细分曲面的多边形逼近

隐式曲面的多边形逼近


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内容

  • 世界坐标系和景物(局部)坐标系

  • 多边形表示

    • 多边形表示物体的主要来源

    • 多边形表示的数据结构

    • 多边形表示的优势与不足

  • 参数曲面表示


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多边形表示方法:OBJ格式

  • 顶点坐标表(x,y,z) :每个顶点处可能有多个平面片,一般情况下顶点数小于面片数。鸭子模型中含有3474个顶点

  • 纹理坐标表(u,v):控制纹理映射时纹理在表面上的位置。鸭子的身体、脚趾、眼睛和嘴具有不同的颜色


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多边形表示方法:OBJ格式

  • 法向表 (nx,ny,nz):控制物体绘制时的着色光滑程度

    • 如果顶点法向为取作该面片的法向,绘制出来的多边形物体是处棱角分明的

    • 如果顶点法向是周围面片法向的某种平均,则绘制结果是光滑的

  • 面表:由指向顶点、纹理坐标以及法向的指针组成。鸭子模型含有6656个面

基于面片法向着色

基于平均法向着色


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多边形表示的OBJ格式数据结构

详细信息可以参考:

http://ozviz.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/dataformats/obj/


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三角形网格表示的数据结构(可选)

  • 存储空间的考虑

  • 拓扑上的考虑

    • 闭流形或开流形?

    • 三角网格曲面或任意多边形曲面?

    • 能否表示非流形曲面?

    • 层次结构或者单一分辨率的曲面?


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三角形网格表示的数据结构

  • 算法上的考虑:数据结构所适用的算法

    • 绘制网格曲面

    • 几何形状编辑

    • 拓扑连接关系的改变

    • 在顶点、边、面上附着其它信息

    • 邻接关系的查询:顶点的邻边、邻面?边的顶点、邻接面?面的顶点、边、相邻的面…

    • 曲面是否可定向的?


1

指向顶点

指向半边

指向相邻的半边

指向面

三角形网格表示的数据结构

  • 半边结构(Half-Edge Structure):可定向的二维流形及其子集


Half edge structure

半边结构(Half-Edge Structure)

  • 每条边被记为两条半边,记录每条半边:

    • 起始顶点的指针

    • 邻接面的指针(如果为边界,指针为NULL )

    • 下一条半边(逆时针方向)

    • 相邻的半边

    • 前一条半边(可选)

  • 面:边界上的一条半边

  • 顶点

    • 坐标值

    • 指向以此顶点为起始端点的半边


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v5

v2

e5,1

e4,1

f2

e3,1

e3,2

e7,1

f3

e1,1

f1

e4,2

v4

e6,1

v3

e2,1

v1

半边结构的实例


1

v5

v2

e5,1

e4,1

f2

e3,1

e3,2

e7,1

f3

e1,1

f1

e4,2

v4

e6,1

v3

e2,1

v1

半边结构的实例


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关于半边结构

  • 半边结构讨论:

    • 优势:查询时间 O(1),操作时间 (通常) O(1)

    • 缺点:只能表示可定向流形,信息冗余

  • 关于半边结构更多信息

    • CGAL:the Computational Geometry Algorithms Library, http://www.cgal.org

    • OpenMesh: http://www.openmesh.org


1

内容

  • 世界坐标系和景物(局部)坐标系

  • 多边形表示

    • 多边形表示物体的主要来源

    • 多边形表示的数据结构

    • 多边形表示的优势与不足


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多边形表示的优势

  • 表示简单

  • 可以表示具有任意拓扑的物体

  • 可以表示具有丰富细节的物体

  • 大部分图形硬件支持多边形物体的加速绘制


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多边形表示的不足

  • 逼近表示,难以满足交互时放大要求

  • 难以用传统方法修改(编辑)物体外形

  • 缺乏解析表达式,几何属性计算困难

  • 在表示复杂拓扑和具有丰富细节的物体时,数据量庞大,建模、编辑、绘制、存储的负担重


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网格曲面的来源

三维扫描

CAD输出

断层扫描

输入数据的预处理

几何误差的消除

拓扑误差的消除

网格曲面的数字几何处理(1)


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网格曲面的质量检测

曲率图

曲率线图

网格去噪与光顺

几何特征、细节与噪音

保持几何特征与细节的前提下去噪音

网格曲面的数字几何处理(2)


1

网格曲面的参数化

重新网格化

形状编辑

纹理映射

……

网格曲面的简化

降低几何复杂性

提高处理、显式效率

网格曲面的数字几何处理(3)


1

重新网格化以提高网格曲面的质量

面片简化

逼近与拟合

网格曲面编辑

多分辨率编辑

自由编辑

网格曲面的数字几何处理(4)


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多边形表示的大规模场景:草地

16.7×106个多边形


1

多边形表示的复杂物体:油轮


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大规模网格模型:雕塑


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小结

  • 世界坐标系和景物(局部)坐标系

  • 物体的多边形表示:来源、数据结构、优势与不足


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