Aula 3 FSA-2011 Antonio Carlos Brolezzi brolezzi@usp.br

1. Fundamentos Teóricos e Metodológicos sobre ensino-aprendizagem de Números e Medidas FSA-2011Antonio Carlos Brolezzibrolezzi@usp.br

2. Aula 3FSA-2011Antonio Carlos Brolezzibrolezzi@usp.br

3. Quantas unidades, quantas dezenas e quantas centenas há em 825?

4. Video Pequenos Cientistas

5. Escreva o número 10.500.000 de três formas diferentes • Qual ou quais formas são mais usadas pela mídia para escrever números? • O que isso acarreta no nosso ensino?

10. Atividade Valores Eu tenho as seguintes moedas: 2 x R$ 0,01 1 x R$ 0,05 2 x R$ 0,10 1 x R$ 0,25 Qual o total de preços diferentes que poderei pagar sem receber troco?

11. Atividade Valores Eu tenho as seguintes moedas: 2 x R$ 0,01 1 x R$ 0,05 2 x R$ 0,10 1 x R$ 0,25 Qual o total de preços diferentes que poderei pagar sem receber troco? Resp: 26 preços diferentes

12. Atividade Valores Qual o menor número de notas (e moedas) de que necessito para compor R$ 87,76?

13. Atividade Valores Qual o menor número de notas (e moedas) de que necessito para compor R$ 87,76? Resp: 50+20+10+5+1+1+0,50+0,25+0,01 = 4 notas e 5 moedas

14. Atividade Tempo Quantos horas, minutos e segundos tem um ano de 365 dias? 8760 horas, 525.600 minutos e 31.536.000 segundos

15. Atividade Calendário O que é o ano bissexto?

16. Atividade - Calendário Ano bissexto O ano bissexto tem 366 dias, um dia a mais que os anos comuns. Coloca-se 1 dia extra a cada 4 anos no mês de fevereiro, que passa a ter 29 dias. Ocorre geralmente de 4 em 4 anos, já que o ano bissexto é divisível por 4. Mas, se o ano terminar em 00, deve ser também divisível por 400 Exemplo: o ano 2000 foi bissexto, pois termina em 00 mas é divisível por 400. Mas o ano 2100 não será, pois não é divisível por 400.

17. Ano bissexto A razão é que o ano de fato dura 365,25 dias. Ou seja, a terra demora aproximadamente 365,25 dias solares para dar uma volta completa ao redor do Sol. O ano comum (por convenção) tem 365 dias. Portanto, faltam aproximadamente seis horas (0,25 dia) a cada ano. Para simplificar, as horas excedentes serão somadas e, a cada quatro anos, adicionadas ao calendário na forma de um dia (4 X 6 horas = 1dia).

18. Atividade Comprimento Uma polegada = 2,54 cm Um pé = 30,48 cm Uma jarda = 91,44 cm Quantos polegadas tem um pé? Quantos pés tem uma jarda? Questão: Essas unidades são usadas até hoje? Por quê?

19. Atividade Comprimento Qual o tamanho da tela de uma televisão de 22 polegadas?

20. Atividade • Velocidade • Que unidade de medida você utilizaria para medir a velocidade: • De um automóvel? • De uma formiga? • Da luz?

21. Atividade • Velocidade • Que unidade de medida você utilizaria para medir a velocidade: • De um automóvel? Km/h (quilômetro por hora) • De uma formiga? (milímetros por segundo) • Da luz? Km/s (quilômetros por segundo)

22. Atividade Distâncias Depois do Sol, qual a distância da estrela mais próxima da Terra?

23. Atividade - Velocidade Qual a distância da estrela mais próxima? A estrela mais próxima de Terra depois do Sol é Alfa Centauro. Ela concentra-se a uma distância de 40 trilhões de quilômetros (40.000.000.000.000) da Terra. Mas, como as distâncias no Universo são imensas, fica difícil utilizar números com tantos zeros.

24. Atividade - Velocidade Qual a distância da estrela mais próxima? Para facilitar a compreensão das distâncias, utilizamos então a unidade de medida chamada ano-luz, que nada mais é do que a distância percorrida pela luz em um ano. A luz viaja a uma velocidade de 300 mil quilômetros por segundo (nada viaja mais rápido do que ela), percorrendo 9,46 trilhões de quilômetros por ano entre os astros. Assim , a distância de Alfa Centauro até nós passa a ser de 4,2 anos-luz (40 trilhões / 9,46).

25. Atividade Volume e capacidade Quantos litros de água tem no Oceano Atlântico?

26. Atividade Capacidade Quantos litros de água tem no Oceano Atlântico? O Oceano Atlântico tem um volume médio de 323.600.000 quilômetros cúbicos. Cada quilômetro cúbico equivale a 1.000.000.000.000 litros (um trilhão de litros). Logo, o Oceano Atlântico tem aproximadamente 323.600.000.000.000.000.000 Trezentos e vinte e três quintilhões e seiscentos quatrilhões de litros.

27. Números grandes: Quantos zeros tem em um decilhão?

29. Atividade Área Como medir a área da superfície de um lago? Livro: Atividade e jogos com Áreas e Volumes – Marion Smoothey – Editora Scipione, 1997

30. Pode-se dividir a História da Matemática em duas etapas: a matemática pré-helênica e a matemática abstrata, ou matemática propriamente dita, que é aquela que nasceu com os gregos antigos.

33. Há milênios os babilônios possuíam métodos de completar quadrados e assim resolviam problemas que em nossa linguagem resultariam em equações quadráticas. Euclides (300 aC) desenvolveu métodos geométricos de completar quadrados, mas não lidava com equações, e sim com grandezas geométricas

34. Os gregos reverteram a questão dos números. Passaram a considerar “Números” somente os inteiros positivos, a partir do número 2. Estudaram as propriedades dos números naturais. Estudaram as primeiras seqüências infinitas de números figurados.

35. A história das sequencias e séries em matemática mostra as dificuldades em se lidar com a idéia do infinito, que se tornou um desafio para muitos matemáticos. A idéia básica de seqüência está ligada às primeiras manifestações da humanidade no que se refere ao conhecimento que hoje é chamado de matemática. A simples possibilidade de contar ou de ordenar uma lista de objetos ou eventos já é uma idéia matemática. Algumas teorias sobre a origem dos números afirmam que a seqüência dos numerais ordinais (primeiro, segundo, terceiro...) teria sido conhecida da humanidade antes mesmo da seqüência dos numerais cardinais (um, dois, três...).

36. A explicação para isso estaria no fato de que os numerais ordinais estão mais ligados à lógica de uma seqüência de eventos ordenados temporalmente, de acordo com a teoria que diz que a matemática surgiu da observação de padrões e regularidades principalmente em relação à passagem do tempo. Teria sido crucial, para a sobrevivência da espécie humana, a possibilidade de prever a sucessão das estações do ano, de acordo com a contagem dos dias e a construção dos primeiros calendários. A observação das regularidades temporais teria permitido à humanidade desenvolver técnicas de armazenagem de alimentos para sobreviver no inverno, por exemplo. Assim, o tema das sequencias numéricas estaria ligado às sequencias de eventos astronômicos que, estudados, permitiram à humanidade controlar melhor seus mantimentos, o que definiu a sobrevivência da espécie.

37. Ao que tudo indica, as sequencias numéricas passaram a interessar a humanidade devido à necessidade de construção de calendários. Os homens desenvolveram a matemática necessária para registrar e acompanhar os ciclos das estações de um ano completo, percebendo que este ciclo dura aproximadamente 360 dias. Perceberam que o ciclo lunar dura aproximadamente 28 dias. Dividiram o mês lunar em 4 semanas de 7 dias cada uma. Depois, percebendo a necessidade de adequar essas medidas à passagem real do tempo, criaram calendários mais sofisticados, com dias de festa para completar o ano em 365 dias, aumentando para isso a duração de alguns meses. Todo esse estudo das sequencias temporais ajudou a desenvolver a matemática.

38. Além de desenvolver a astronomia, os gregos antigos passaram a estudar a chamada Teoria dos Números, identificando as propriedades das sequencias numéricas. Dividiram os números em pares e ímpares, percebendo que formavam sequencias e iniciaram o estudo das chamadas séries matemáticas, ou seja, a soma dos termos de uma seqüência. É atribuída aos pitagóricos (seguidores de Pitágoras de Samos, que viveu entre 570 e 497 aC) a percepção de diversas propriedades das sequencias e séries numéricas. Por exemplo, perceberam que a soma dos n primeiros números é sempre um número triangular, como vemos nos seguintes diagramas:

39. 1 3 6 10 15 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5

40. Observaram também que a soma dos primeiros n números ímpares é sempre um número quadrado. Veja: 1 4 9 16 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7

41. Atividade Mostre que todo número quadrado é a soma de dois triângulares consecutivos.

44. Os números quadrados e o teorema de Pitágoras.

45. 1 4 9 16 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7

46. 1 4 9 16 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 n2 + (2n + 1) = (n+1)2 Se 2n + 1 = m2 , então n = (m2 – 1)/2 e n + 1 = (m2 + 1)/2

47. n2 + (2n + 1) = (n+1)2 Se 2n + 1 = m2 , então n = (m2 – 1)/2 e n + 1 = (m2 + 1)/2, isto é, a fórmula acima se escreve como (m2 – 1)2/4 + m2 = (m2 + 1)2/4

48. O quadrado da soma: uma relação conhecida há muitos milênios a2 + b2 + 2ab = (a+b)2

49. Álgebra Geométrica • Típica da Grécia Antiga • Assunto do Livro II de Os Elementos de Euclides • Um número é representado por um segmento de reta

50. Álgebra Geométrica Livro II de Os Elementos de Euclides (300 aC) Fragmento da Proposição 5 ab + (a-b)2/4 = (a+b)2/4