1 / 30

RAČUNARSKA LOGIKA

RAČUNARSKA LOGIKA. Booleova ( logi čka , prekidačka ) algebra. George Boole (1815-1864). sin obućara prekinuo školovanje nakon trećeg razreda postao je briljantan naučnik - predavao latinski i grčki jezik

georgia-stanley
Download Presentation

RAČUNARSKA LOGIKA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. RAČUNARSKA LOGIKA Booleova (logička,prekidačka) algebra

  2. George Boole (1815-1864). • sin obućara • prekinuo školovanje nakon trećeg razreda • postao je briljantan naučnik - predavao latinski i grčki jezik • poznati matematičar po doprinosima u oblasti diferencijalnih jednačina i u algebri • pokušao da izvede matematičku analizu mišljenja (logike) - uspostvio je "logičku algebru" 1854

  3. Claude E. Shanon • 1938. god. u svojoj magistarskoj tezi na MIT-u (Massachusetts Institute of Technology - Boston), opisao metod za predstavljanje sklopova od (tada elektromehaničkih) prekidača, skupom matematičkih izraza na bazi Booleove algebre. • Ta metoda se i danas koristi za dizajn i analizu prekidačkih kola • prednosti matematskog opisivanja rada logičkih sklopova - lakše je projektovati pomoću algebarskih izraza koji opisuju prekidačka kola, nego pomoću šema ili logičkih dijagrama

  4. Booleova algebra • Varijable mogu imati jednu od vrijednosti iz skupa {0,1} • skup operacija nad varijablama {+, , } • logičko sabiranje- X+Y=Z se može čitati "X ili Y jednako Z" ili "X plus Y jednako Z” • logičko množenje - XY=Z se može čitati • "X i Y jednako Z" ili "X puta Y jednako Z” • Invertovanje X=/Y “X jednako ne-Y”

  5. ULAZ ULAZ IZLAZ IZLAZ X X Y Y Z Z 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 Logička kola

  6. ULAZ IZLAZ X Z 0 1 1 0 NI kolo (invertor)

  7. ULAZ IZLAZ X Y Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 NILI kolo

  8. ULAZ IZLAZ X Y Z 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 NI kolo

  9. ULAZ ULAZ IZLAZ IZLAZ X X Y Y Z Z 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 XOR/XNOR

  10. X Y f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Log. op. 0  XZ’ X X’Y Y  +   Y’  X’   1 Sve logičke operacije!

  11. Naziv pravila “I” forma “ILI” forma Zakon identiteta 1  X = X 0 + X = X Zakon nultog elementa 0  X = 0 1 + X = 1 Zakon idempotencije X  X = X X + X = X Zakon inverzije X  X’ = 0 X + X’ = 1 Zakon komutacije X  Y = Y  X X + Y = Y + X Zakon asocijacije (X  Y)  Z = X  (Y  Z) (X+Y)+Z = X+(Y+Z) Zakon distribucije X+YZ=(X+Y)(X+Z) X  (Y+Z) = XZ + YZ Zakon apsorpcije X  (X+Y) = X X + XY = X De Morganov zakon (XY)’ = X’ + Y’ (X+Y)’ = X’  Y’ Pravila Booleove algebre

  12. Važi i ovo! X'' = X X + X'Y = X + Y na osnovu zakona distribucije I-forme za Z=X'

  13. Što ne važi u klasičnoj algebri... (X + Y)(X + Z) = XX + XZ + XY + YZ = X(1 + Y) + XZ + YZ = X + XZ + YZ = X(1+ Z) + YZ = X + YZ

  14. Pojednostavljivanje izraza (X + Y)(X + Y')(X' + Z) Prva dva umnoška se mogu pojednostaviti: (X + Y)(X + Y')= XX + XY' + XY + YY' = X + XY' + XY + 0 = X + 0 a zatim se čitav izraz pojednostavi X(X' + Z) = XZ

  15. Drugi primjer XYZ + XY'Z + XYZ' = X(YZ+Y'Z+YZ')= X[Y(Z+Z’)+Y’Z]= X(Y + Y'Z) = X(Y + Z) = XY + XZ

  16. De Morgan PomoćuDeMorganovihpravilamožesenaćikomplementbilokojegBooleovogizrazailinjegovogdijela (X+YZ)' = X' (YZ)' = X'(Y' + Z') (W'X+YZ')' = (W'X)'(YZ')' = (W + X')(Y' + Z) na osnovu X+XY = X može se tvrditi: X(X+Y) = X

  17. IZVOĐENJE BOOLEOVIH JEDNAČINA • standardni logički proizvodi (engl. minterms)m0 , m1 itd. • standardne logičke sume (engl. maksterms). M0, M1 itd. • I i II kanonska forma funkcija

  18. Prvo se mora znati • koja su moguća stanja na ulazima, i • željeni odziv na svako stanje na ulazu • Na osnovu tih podataka se formira tabela istine

  19. ULAZ IZLAZ Standardni logički proizvodi X Y Z 0 0 1 X’Y’ 0 1 0 X’Y 1 0 1 XY’ 1 1 1 XY Primjer tabele istine

  20. prva kanonska forma date funkcije X'Y' + XY' +XY = Z što se može pojednostaviti kako slijedi: X'Y' + XY' + XY = Z X'Y' + X(Y' + Y) = Z X'Y' + X = Z X + Y' = Z

  21. ULAZI IZLAZ Standardni logički proizvodi X Y Z A 0 0 0 1 m0=X’Y’Z’ 0 0 1 0 m1=X’Y’Z 0 1 0 1 m2=X’YZ’ 0 1 1 0 m3=X’YZ 1 0 0 1 m4=XY’Z’ 1 0 1 0 m5=XY’Z 1 1 0 1 m6=ZYZ’ 1 1 1 0 m7=XYZ i sa 3 ulazne varijable

  22. SUMA PROIZVODA I PROIZVOD SUME • logički proizvod (engl. product term) je varijabla ili logički proizvod više varijabli (koplementiranih ili ne) • Logička suma (engl. sum term) je varijabla ili logička suma više varijabli (koplementiranih ili ne)

  23. Suma proizvoda - je logički proizvod ili više logičkih proizvoda, logički sabranih. X XY + Z X'Y' + X'Y'Z' X + Y

  24. Proizvod suma - je logička suma, ili više njih međusobno logički pomnoženih. (X + Y)(X + Y')(X' + Y') (X + Y + Z)(X + Y')(X' + Y') (X' + Z) X' (X + Y)X

  25. ULAZI IZLAZ Standardni logički proizvodi Standardne logičke sume X Y Z A 0 0 0 0 m0=X’Y’Z’ M0=X+Y+Z 0 0 1 0 m1=X’Y’Z M1=X+Y+Z’ 0 1 0 1 m2=X’YZ’ M2=X+Y’+Z 0 1 1 1 m3=X’YZ M3=X+Y’+Z’ 1 0 0 0 m4=XY’Z’ M4=X’+Y+Z 1 0 1 0 m5=XY’Z M5=X’+Y+Z’ 1 1 0 1 m6=XYZ’ M6=X’+Y’+Z 1 1 1 0 m7=XYZ M7=X’+Y’+Z’ pisanje izraza

  26. Prva forma se može pojednostaviti ovako: X'YZ' + X'YZ + XYZ' = X'(YZ'+YZ)+XYZ' = ("ILI" forma zakona distribucije ) X'Y+XYZ' = ("ILI" forma zakona inverzije) Y(X'+XZ') = ("ILI" forma zakona distribucije ) X'Y+YZ' ("I" forma zakona distribucije) a druga ovako: (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X'+Y+Z)(X'+Y+Z')(X'+Y'+Z') = (X+Y)(X'+Y)(X'+Z') = /* jer je (X+Y+Z)(X+Y+Z') =(X+Y) itd.*/ Y(X'+Z') što je isto!

  27. I i II kanonska forma logičke jednačine izgledaju ovako: A = S(m0, m2 , m4 , m6 ) A = P(M1 , M3 , M5 , M7 ) Jednačina izlaza A je: A = X'Y'Z' + X'YZ' + XY'Z' + XYZ' a može biti pojednostavljena kako slijedi: A = X'(Y'Z' + YZ') + X(Y'Z' + YZ') = (X' + X)(Z'(Y + Y')) = Z'

  28. Y 1 0 1 1 Konture X pa se sabiranjem jednačina te dvije konture dobije Z = X + Y'

  29. Y 0 1 X 0 0 0 1 Z 0 1 pa je zbir te dvije konture A = X'Y + YZ'

  30. Y m0 m1 X m2 m3 Y m0 m1 m3 m2 X m4 m5 m7 m6 Z Y m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 W X m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 Z KARNAUGHOVE MAPE

More Related