第二章逻辑和证明

第二章逻辑和证明 2.7小结数理逻辑的基本思想：逻辑推理机械（演算）化数理逻辑的基本方法：符号化两个层次的符号化：命题公式、一阶谓词公式数理逻辑只关心命题和推理的结构（框架）、形式，不关心命题的具体含义

2.7.1命题逻辑 • 数理逻辑的基本元素---命题符号化：用字母表示原子命题比较：命题变量与代数变量、命题符号与常量符号、具体命题与具体数值 • 命题的真值：命题的真假，T（1）或F（0） • 复合命题的符号化：使用联结词连接多个命题，命题公式 • 五种联结词的符号化：，，，，（注意优先级） • 命题公式：表示了命题的组成结构，但不是命题，数理逻辑不关心具体的命题比较：命题公式与代数公式

真值表：给出命题真值之间的关系 代数公式的数值表？ • 永真公式、永假公式、可能公式代数公式的相应物？ • 命题公式的逻辑等价 14组基本等价式，与集合的恒等式做比较对偶原理命题等值演算比较：命题公式的等价与代数公式的相等、命题等值演算与代数演算 • 主析取范式和主合取范式：真值表求法 • 命题符号化过程：找出原子命题，用适当的联结词联结起来 • 命题逻辑的局限

2.7.2一阶谓词 • 原子命题（陈述句）进一步分解为两个组成成分：主语和谓语 “命题函数”进一步分解为两个组成成分：变量和谓词变量：某个对象，谓词：对象的性质或相互之间的关系 • 谓词：论域到{T,F}的函数符号化：大写字母 • 全称判断和特称判断的符号化：全称量词、存在量词  • 全称判断和特称判断的含义和真假性判断 • 谓词公式：含谓词、变量、量词的公式进一步深入地表示出原子命题的组成结构，把不同的原子命题关联起来

谓词公式的逻辑等价 命题公式的等价模式在谓词公式中都成立有关量词顺序 xyP(x,y) yxP(x,y) xyP(x,y) yxP(x,y) xyP(x,y)≠ yxP(x,y) 有关量词的否定 xP(x) xP(x) xP(x) xP(x) 有关变量名 xBB（B不含自由的x） xBB xA(x) yA(y)（A(x)不含y） xA(x) yA(y)

(接上页)有关量词作用域： • 前束范式 • 一阶谓词符号化：全称量化使用蕴涵式、存在量化使用合取式

2.7.3推理 • 推理、正确的推理 • 数理逻辑只关心推理的形式（框架） • 正确的推理对应一个永真的蕴涵公式和 • 定理：公理 定理成立 • 证明：满足一定条件的公式的序列 • 常用推理规则 • 各种证明方法的符号表示和验证 • 两种数学归纳法和良序性

2.7.4递归定义 • 函数和集合的递归定义 • 归纳证明

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