SEMINAR IZ KOLEGIJA “POVIJEST MATEMATIKE”:

1. Priredila studentica: Maja Redžep SEMINAR IZ KOLEGIJA “POVIJEST MATEMATIKE”: Kako su nastali dokazi?

2. Uvod • Što je dokaz? • Dokaz kakvog znamo danas. • “Pretpostavimo suprotno”, izvod, matematička indukcija, dokaz eshaustijom, direktno dokazivanje,...

3. Na samom početku, naravno, Grci ... • Klasični period grčkih matematičara 600. – 300. godine prije Krista. • Forma dokaza datira iz klasičnog perioda grčkih matematičara. • “Kolekcija praktičnih tehnika” = matematika • Deduktivno zaključivanje – primarna metoda dokazivanja matematičkih istina.

4. Deduktivno zaključivanje • Argumentiramo da je određena premisa istinita. • Zaključak ili konkluzija neminovno proizlazi iz premise. • Primjer: Premisa 1:Svi ljudi su smrtni. Premisa 2:Sokrat je čovijek. Konkluzija: Sokrat je smrtan.

5. Deduktivno zaključivanje • Princip “modus ponens”: “ako A implicira B, i A je točna tvrdnja, tada je i B točna tvrdnja”. • Sistematizirao Aristotel u svojoj silogističkoj logici. • Kasnije se pokazalo da deduktivna metoda nije nepogiješiva. • Primjer: Neka je a = b. Stoga a² = ab.

6. Nastavak primjera... a² + a² = a2 + ab 2a² = a² + ab 2a² – 2ab = a² + ab – 2ab 2a² – 2ab = a² – ab Prepišemo to kao 2(a² - ab) = 1(a² - ab) Obje strane dijelimo s (a² - ab) i dobijemo 2 = 1 . Q.E.D.

7. Euklidova geometrija • Rođen otprilike 325. godine pr.Kr. u Aleksandriji, a umro 265. godine pr.Kr.. • Neki podaci ukazuju da je rođen 365., a umro 300.

8. “Elementi” • “Elementi” = udžbenik matematike gotovo 2000 godina. • Prezentiraju jedno od najranijih korištenja dokaza u povijesti. • 23 definicije, 5 aksioma i 5 postulata. • Ovih 10 aksioma i postulata predstavljaju aksiome Euklidske geometrije. • Prvi poznati aksiomatski sustav. • Euklid koristi deduktivnu metodu dokazivanja.

9. Euklidova geometrija • Primjer propozicije i Euklidovog dokaza: Propozicija 6:Ako su u trokutu dva kuta jednaka, stranice uz te kuteve su takođej jednake. Odnosno u modernijoj formi: Trokut je jednakokračan ako su kutevi uz te stranice jednaki.

10. Euklidova geometrija Dokaz: • Neka je trokut ABC takav da je kut ABC jednak kutu ACB. • Tvrdimo da je stranica AB također jednaka stranici AC. • Ako stranica AB nije jednaka stranici AC, tada jedna mora biti veća.

11. Euklidova geometrija Neka je AB veća stranica. Tada na stranici AB označimo točku D tako daDB bude jednaka manjoj stranici AC. Imamo dva trokuta, trokut ABC i trokut DCB. AC je jednako DB, BC je zajednička stranica, te su stranice DB i BC jednake stranicama AC i CB. Iz toga proizlazi da su trokuti ABC i DBC jednaki. Dobili smo da je stranica AB jednaka stranici DB, odnosno da je trokut DBC jednak trokutu ABC, odnosno dobili smo da je „manje“ jednako „većem“, što je apsurdno. Iz toga proizlazi da AB nije jednako AC, odnosno suprotno (jer je dokazano apsurdno). Q.E.D.

12. Nedostaci dedukcije • Točnost Euklidovog aksiomatskog sustava? • Nastojanje matematičara da dokažu 5. postulat i neuspjeli pokušaji. • Euklidov 5. postulat: (Postulat o paralelama) Ako pravac siječe dva pravca tako da je zbroj kuteva s iste strane manji od dva prava kuta, onda se ta dva pravca (ako se dovoljno produže) sijeku.

13. Nedostaci dedukcije • U 19. stoljeću dolazi do otkrića ne-Euklidske geometrije i dokaza da 5. postulat ne vrijedi u toj geometriji, npr. sfera. • Tome pridonjeli Gauss, Legendre, Riemann,.. • Bolan i dugotrajan proces dokazivanja 5. postulata pokazao nedostatke deduktivne metode: odnosno dokazana je činjenica da je svaki dokaz onoliko točan koliko su točni aksiomi od kojih je proizašao.

14. Keplerovi dokazi • Tijekom renesanse “filozozi prirode” tj. fizičari oslanjali su se na matematičare da im pomognu objasniti pojave u svemiru i prirodi. • Astronom i matematičar Johannes Kepler (1571 - 1630) bio je pobornik teorije o heliocentričnom sustavu Nikole Kopernika. • Kepler poznat najviše po svojim trima zakonima kojim potpuno opisuje Sunčev sustav i njegove zakonitosti.

15. Keplerovi dokazi U modernijim formama, ta tri zakona su: • Svi planeti se kreću po elipsama sa Suncem u nekom od žarišta. • Planet u jednakim vremenskim razmacima prebriše jednake površine. • Vrijeme ophodnje planeta proporcionalno je veličini orbite potenciranoj sa 3/2, odnosno kvadratnom korjenu iz kuba veličine orbite.

16. Keplerovi dokazi • Da bi uspio u pokušajima da dokaže te tri svoje tvrdnje uvelike mu je pomogao Tyho Brahe. • On je prvi koji je došao na ideju da pažljivo prati i bilježi gdje se točno na nebu pojavljuju planeti, te je sve to dokumentirao. • Da bi Kepler dokazao svoje zakone, uveo je nove metode i pojmove kod dokazivanja stvari – metoda pokušaja i pogreške i promatračeva pogreška. • Keplerova metoda dokazivanja utjecala je na tadašnji intelektualni svijet i vrlo je važan korak u razvoju dokaza kakvog mi danas poznajemo u znanosti.

17. Dokaz prvog zakona • Puno vremena je posvetio traženju krivulja po kojima se kreću planeti. • Kružnice, ali Sunce nije u središtu! • Zatim je primjetio da Mars odstupa od izračunata položaja za 8 kutnih minuta. • Koristeći Braheova mjerenja računao je položaje planeta u odnosu na Sunce u različitim vremenskim razmacima. • Tako je došao do otkrića da se planeti oko Sunca kreću po krivulji koja je sličila elipsi i da je Sunce u jednom od žarišta. • Bitan dio metode koju je koristio u svojim izračunima, Kepler je zapravo uspoređivao veličinu pogreške u Braheovim računima kako bi ustanovio koliko je njegova teorija daleko od Braheovih opažanja.

18. Dokaz drugog zakona • Na početku Keplerove metode za traženje površina račun je bio aproksimativan. On je zapravo sumirao površine trokuta pokazane na sljedećoj slici. U tim trokutima šiljasti kutevi iznosili su 1 minutu. • Točke M1, M2,M3, … su pozicije Marsa. Sunce je u sredini. • Ova Keplerova metoda nesumnjivo podsjeća na integraciju.

19. O trećem zakonu... • Treći zakon zapravo predstavljao je čistu aritmetiku. • Do tada Kepler je već znao točne putanje za sve planete. • Zapravo ne zna se točno kojim redosljedom razmišljanja je Kepler došao do preciziranja ovog zakona, no smatra se je isprobavao različite matematičke formule i uspoređivao ih sa brojevima iz opažanja.

20. O važnosti Keplera i Brahea... • Keplerovi dokazi bili su dovoljno dobri za ono vrijeme u kojem je on živio. • Za prve prave deduktivne dokaze Keplerovih zakona, svijet je morao pričekati Isaaca Newtona. • O Kepleru i Braheu dovoljno je reći da su njihove zajedničke metode, metoda pokušaja i pogreške, te ideja o promatranju stvari i bilježenje detalja, zapravo ključ i osnova u istraživanju svake današnje moderne znanosti.

21. Povijest nastajanja dokaza • Sama povijest dokaza jako opširna. • Jedna od ... matematička indukcija. • 1575. godini prvi eksplicitno formulirao Francesco Maurolyeus (1494. – 1575.) u svom djelu Arithmeticorum libri fuo. • On je dokazao da je suma prvih neparnih cijelih brojeva n², odnosno 1 +3 + 5 + 9 + ... + (2 n - 1) = n². • Na moderan način u aksiomatsku izgradnju realnih brojeva prvi je princip matematičke indukcije uveo talijanski matematičar Giuseppe Peano (1858. – 1932. ) kao aksiom matematičke indukcije.

22. Zaključak • Znanstvenici i matematičari spomenuti u ovom seminaru su začetnici same ideje o dokazivanju matematičkih istina. • Danas je poznato mnogo načina dokazivanja u matematici, zapravo postoji grana matematike koja se bavi samo time– Teorija dokaza. • Gottlob Frege, zatim Descarte, Peana, Newtona i Leibniza, zatim Cantor, te začetnika moderne teorije dokaza Davida Hilberta. • Zbog svih njih zajedno mi danas matematiku nazivamo najegzaktnijom znanosti.