Théorie des Jeux
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Théorie des Jeux. John von Neumann & Oskar Morgenstern (1944) Comportements humains. Lewontin, Hamilton, Maynard-Smith, Charnov, Price Biologie Evolutive. ESS: Evolutionary Stable Strategy ou Equilibre de Nash (~1950) (Prix Nobel 1954) Stratégie qui ne peut pas être envahie.

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Presentation Transcript

Théorie des Jeux

John von Neumann & Oskar Morgenstern (1944)

Comportements humains

Lewontin, Hamilton, Maynard-Smith, Charnov, Price

Biologie Evolutive

ESS: Evolutionary Stable Strategy

ou Equilibre de Nash (~1950) (Prix Nobel 1954)

Stratégie qui ne peut pas être envahie


Dilemme du prisonnier

Equilibre de Nash

ESS

Optimum de Pareto

Vilfredo Pareto (1848-1923)

sociologue

Maximisation individuelle ≠ Maximisation du système

Jeu sans équilibre


Jeux du faucon-colombe-bourgeois

Maynar-Smith

ESS si C<V

Si C>V, une fréquence d'équilibre existe, f(faucon)=V/C

Mixte envahit tout et n'est pas envahit→Mixte=ESS


Stratégie du bourgeois

Si V>C faucon=ESS

Si V<C bourgeois=ESS (mais n'envahit pas colombe)


Les bourgeois dans la vie

Pararge aegeria (tircis)

=>


V>C, ESS=Faucon

V<C, Pas d'ESS

1) n=1

n<1+V/C, ESS=Faucon

n≥1+V/C, ESS=Faucon et Tit For Tat

Stratégie du Tit For Tat

V>C

V<C, ESS=Tit For Tat

2) n>1


Parasite

Killer

Diplomate

Wh = Ph(Whmax-Rh)

Wp = Pp(Wpmax-Vp)

Wh = Whmax-Rh

Wp = 0

Killer

W

Hôte

WB

Wh = 0

Wp = Wpmax-Vp

Wh = Whmax-Gh

Wp = Wpmax-Gp

Diplomate

Mutualisme (c<0)

Commensalisme c=0

Wmax

Parasitisme W = Wmax-c (c>0)

Parasitoïdisme

W = p(Wmax-c)

p=f(c)

c

0

Wmax


Vigilance des oiseaux (Maynard-Smith, 1989)

Proportion de temps passé

au nourrissage

pour les stratèges x

(mêmes stratèges cherchent en même temps)

Probabilité d'être prédaté

si non vigilant

Gain par unité

de temps de nourrissage

k

x*=ESS recherchée

x le mutant qui ne peut

envahir que si x=x*

xx*=proportion de temps

de non vigilance de tous les

oiseaux

kxx*=proportion de x prédatés

x

c

W(x/x*)=Valeur sélective de x chez x*=cx(1-kxx*)=cx-ckx*x²

On désire que W(x/x*) soit maximisé quand x=x*


Vigilance des oiseaux

  • W(x/x*)=Valeur sélective de x chez x*=cx(1-kxx*)=cx-ckx*x²

  • On désire que W(x/x*) soit maximisé quand x=x*

  • dW(x/x*)/dx=0 et d²W(x/x*)/dx<0 quand x=x*

  • dW(x/x*)/dx=c-2ckx*x=0 si x=x*

  • x*²=c/(2ck)(c≠0)

  • x*=1/√(2k)

    Si k=1/2, x*=1

    Donc ici, si la probabilité de se faire prédater est de 1/2

    l'ESS est de se nourrir 100% du temps (100% de non vigilance)


Dispersion des graines (Hamilton & May, 1977)

n cases, une plante par case

(1-m)N

N graines

produites

par plante

mN

mNp

p=survie

à la dispersion


Dispersion des graines (Hamilton & May, 1977)

n cases, une plante par case

On cherche m* tel que

si un mutant m survient dans une population m*,

ce dernier ne peut envahir que si m=m*

C'est-à-dire que

W(m/m*) est maximum pour m=m*

ou bien

dW(m/m*)/dm=0 et d²W(m/m*)/dm<0 quand m=m*

Case quelconque m*

(n-1)Nm*p(1/n) + Nmp(1/n) + N(1-m*) graines

soitenvirons, si n>>1

N(m*p+(1-m*)) graines en compétition

Case de la plante mutante m

(n-1)Nm*p(1/n) + Nmp(1/n) + N(1-m)

soitenvirons, si n>>1

N(m*p+(1-m)) graines en compétition

Dans la case m

W(m/m*)=N (1-m)/( N(m*p+(1-m)))

soitenvirons, si n>>1

W(m/m*) m=(1-m)/( m*p+(1-m) )

Dans les cases m

W(m/m*)=(n-1)Nmp(1/n)/( N(m*p+(1-m*)))

soitenvirons, si n>>1

W(m/m*)m*=mp/( m*p+(1-m*) )

W(m/m*)=mp/( m*p+1-m* ) + (1-m)/( m*p+1-m )


Dispersion des graines (Hamilton & May, 1977)

W(m/m*)=mp/(m*p+1-m*) + (1-m)/( m*p+1-m)

Rappel: (f/g)'=(f'g-fg')/g²

On veut que dW(m/m*)/dm=0 pour m=m*, soit

Si p≠0 et m*≠1/(1-p) et donc p≠1

m*p+1-m*-m*=0  m*(p-2)+1=0  m*=1/(2-p)

Donc même si la survie à la dispersion p est proche de 0, l'ESS m*≈1/2


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