2007.05.08-09
Download
1 / 61

基礎数学  IV - PowerPoint PPT Presentation


  • 87 Views
  • Uploaded on

2007.05.08-09. 基礎数学  IV. 0. 揺らぎとその解析例 1.周波数解析 2.データ処理における問題 3.高次スペクトル解析. 参考文献:日野幹雄 スペクトル解析        杉山高一 多変量データ解析入門        榊原進  ウエーブレット. Fluctuation & Self-Organization. Key words. J. Mather G. Smoot. 2006 Nobel Prize. 宇宙からのマイクロ波の背景光の揺らぎ分布  =>  宇宙の構造形成. NASA 2006.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' 基礎数学  IV' - gella


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

2007.05.08-09

基礎数学 IV

0. 揺らぎとその解析例

1.周波数解析

2.データ処理における問題

3.高次スペクトル解析

参考文献:日野幹雄 スペクトル解析

       杉山高一 多変量データ解析入門

       榊原進  ウエーブレット



2006 nobel prize

J. Mather G. Smoot

2006 Nobel Prize

宇宙からのマイクロ波の背景光の揺らぎ分布 => 宇宙の構造形成

NASA 2006


Visible ir emission bb radiation
Visible/IR emission+ BB radiation

Plasma light emission

Spectrum analysis

  • Line emission

  • Continuum emission

  • BB emission

Raju, submitted to NF2007


マイクロ波によるBB連続放射の観測

密度揺らぎ計測

プラズマからの揺らぎ計測システム(Wataya, Idei )

NASA


plasma 分布の瞬時の変化

Xrayカメラ

画像解析


中心の突出した分布から中空の分布へ突然変化

トーラスプラズマのエネルギー配列が突然変化

秩序から秩序への飛び


t=427 429.52 429.84 430.96

Z (mm)

Z (mm)

m=2

DR (mm)

2D reconstructed emissivity at the internal disruption

#72464

H. Zushi PPCF 1997


ms

1ms

t(ms)

秩序の飛びと構造の爆発的成長

構造の成長


crash

before

crash

after crash

秩序形成の過程

構造振幅

中心集積

中空

秩序


time

2.0

2.0

1.5

1.5

m=2 amplitude

1.0

1.0

0.5

0.5

0.0

0.0

ms

388

405

389

404

構造の間欠振動の画像解析例

m=2成分の間欠的発達

time

r

中空分布

After crash

Beam pulse end


秩序と構造

何が中心部への集中を駆動するか

  • 構造

中心集積

中空

秩序


Fluctuations
Fluctuations

任意の物理量Xの時間発展を考える。

ここでXは平均値Xの周りをdXの変動の広がりをもって揺らぎながら変動する。

Define a quantity which represents the average range

of fluctuation!



揺らぎの解析方法

  • フーリエ解析 (周期振動、相関、スペクトル)

  • 多変量解析  (多変数の相関、主成分分析)

  • ウエーブレット解析(バースト的な信号の解析)


フーリエ周波数解析

  • 自己相関関数 auto correlation

  • パワースペクトル power spectrum

  • 相互相関 cross correlation

  • クロススペクトル cross spectrum

    基礎となるのはどのような周期関数も三角関数の級数和で表すことができる というフーリエ理論である。


時間-空間から周波数-空間へ(実際には線スペクトルへの分解ではなく、連続的に変化する周波数スペクトルへの変換)

  • 特定の時間幅に存在する非周期関数を周波数の連続スペクトル

  • (単一の周波数成分が多数重なり合っている)で表現する。

  • X(f)dfは周波数f~f+dfの波の振幅 全体の分布を周波数スペクトル


Correlation
相関 correlation

解析の一つの目的は

1)変動が意味のある周期振動か?

2)変動が他の因子によって駆動され 

  たものか?

3)変動が他の因子に影響を与えてい

  るものか?

4)変動が他の因子と相関があるもの 

  か? などを調べることである。

rを相関係数、Eをアンサンブル平均

(母集団平均)という。


Self correlation
自己相関 self correlation

変動の周期性を調べるには、信号x(t)と少し時間をずらした

同じ信号x(t+t)の相関を調べればよい。

この場合だと時間平均のために

時間積分して、時間の間隔でわる。

自己相関係数


周期関数の相関関数は

周期関数

ノイズ成分が大きくなると

周期関数の周期性はみる

ことができにくい

ノイズ成分の性質によって

相関時間が変化する。

無相関ノイズはd関数となる


揺らぎの寿命と自己相関

相関関数の対称性(偶関数)

不規則振動の性質の指標

ここで、tcを相関時間といい、不規則振動の時間スケールの

目安である。たとえば揺らぎの寿命に相当する。


Power spectrum
Power spectrum

Eはensemble average

X(w)は複素フーリエ成分

Tは観測時間幅

Sは実数の偶関数

Wiener-Khintchine formula


1 markov
例1)1次Markov 過程



1 f noise spectrum
“1/f noise spectrum”は何を意味しているか

J. Appl. Phys. 1973


揺らぎの中で大きなパワーを持つ成分を調べる。

マイクロ波の漏洩強度計測

プラズマ密度の増加


Boltzmann
剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)(希薄な場合はBoltzmann 分布)

低密度

速度相関関数

拡散係数

C(t)

高密度

衝突時間で規格化

した時間

(1次でTaylor expansion)

Alder PRL 1967


C(t)-C剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)B(t)

高密度では長時間記憶が保持

衝突時間で規格化した時間


Cross correlation
複数の信号間の相関剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)Cross correlation


相互相関の特性剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

一般にlag time=0に対して

非対称


Cross spectrum
Cross spectrum剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

X,Y信号のうち相関の強い周波数帯の強度分布が解析可能。


Cross phase
Cross phase剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

ここで、qxyは信号xおよび信号yの位相角の差を表す。

qxy(w)= qx(w)- qy(w)

X、Y揺らぎの信号がお互いに位相がずれていることを意味する。


密度と電位の揺らぎ剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

密度の空間分布をBoltzmann 分布とすると、電位の揺らぎによる

密度分布は

となり、電位揺らぎが運動エネルギーに比べて十分小さい近似の下

では密度揺らぎは

と書ける。

一方、電位変動による磁場に垂直方向の流体のドリフト速度は


揺らぎに駆動された拡散束剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

平衡状態では流れがない

もし、密度揺らぎと径方向速度揺らぎが90度位相のずれがあれば、

いくら揺らぎ振幅が大きくても、正味の拡散束は0となる。

すべての周波数帯の積分から、正方向の拡散束が得られれば、

“観測位置においては”、揺らぎによって粒子が“磁場のかご”から

漏れだしていると結論できる。

1)磁場のかごのすべての位置からの正味の損失を意味するもの

  ではない。


Coherence
揺らぎの剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)coherence

gが1に近いということは二つの信号が極めて強い相関のある

揺らぎであることを意味している。


降雨と河川流出量の相互相関剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

一日程度の時間遅れ

流出量=地表面流出+

時間遅れのある滲透流成分


Coherence1
降雨と流出量の剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)coherence

f=0.25 day-1 でcoherenceに差がある。

1)即ち四日周期以下は表面流出と考えられる。そのピークはほぼ半日周期であり、

  降雨後、6時間後に最大である。

2)浸透流出は0.325,0.42d-1程度の周期性を有す。


実空間と波数空間剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

二点の観測点が距離Lだけ離れていれば、

coherentな波動の揺動振幅とその周波数に

おける位相差から、

揺動の伝播速度が求まる。


2 2b ha t 0
2-2b剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)Haの応答時間遅れ(t=0:密度上昇時と定義)

Toroidal array

Ha摂動のFFT解析

1)Pol 断面では

 内側ー外側に変動振幅のピーク

 基本周期は1.5 Hz

Poloidal array

閉じ込め緩和振動に伴うHa変動は同一トーラス位置で内外位相遅れを保持したまま、トーラス全体のHaを変動させている。


揺らぎの伝播速度  の決定例剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)


空間モード数の決定(例)剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

円柱プラズマの周囲にポロイダル磁場を

計測するコイルを配置する。

コイルの巻き線数N

磁束の時間変化

あるいは特定の周波数

に比例した電圧が発生

プラズマ中に揺らぎの電流密度が存在すると

11

10

ある特定の周波数に対して、

のポロイダル構造を持つ場合について考える。


低位のモード剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

膨張と収縮

1)m=0

3) m=2 cos2q

楕円変形

2) m=1 cosq

4)m=3 cos3q

△変形

Horizontal shift

bent


モードの決定剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

1)coherentな周波数 fc を探す

2)基準のコイルに対して、cross phaseを fcの場合について

  計算する。

q11,q12, q13………… q1n

3)コイルの設置角度を基準に、観測位相差を表示し、最小2乗

fitを行う。

m=infinite

m=2

位相差

m=1

m=0

1

n

コイル位置


モード数の最大値は?剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

  • 設置可能なプローブ数N(たとえば均等配置)と決定可能なモード数の関係は?


2.データ処理の問題点剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

  • 0)digital 計測(サンプリング時間)に伴う誤差

  • 1)有限観測時間と周波数解析

  • 2)信号のdrift除去

  • 3)アンプの周波数特性と周波数解析

  • 4)FFT


1. 剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)有限長のデータ列と分割平均

1) データ列の長さTで決まるより低周波数(1/2T)は解析できない

2) データ列の長さTを長さsの分割で解析する場合は1/2sより高

   周波数は解析できない


Ultra low frequency events
Ultra Low Frequency Events剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

  • Very low frequency semi-regular oscillations are found in signals on heat loads, particle recycling, and impurity influx and contents.

  • Frequency ~ 1-210-3 Hz

    amplitude ~a few %– 100 %

  • During the last ULF event, the five hour discharge terminated.


0 aliasing in digital sampling
0. Aliasing in digital sampling剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

離散的なデータ点に基づくスペクトルには真のスペクトルと

2fN=Dtの整数倍だけ異なった周波数が同一視される。

Nyquist frequency


Drift
2.剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)Drift 除去

低周波のdriftがある場合はあらかじめ

その成分を除去しておく


3 amp
3. Amp 剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)の周波数応答

Amp

Frequency response

detector

ADC

X(t)

X(t)W(f)

fN=0.5 fadc

W(f)

-3dB

f

fN


4 fft
4. FFT剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

  • N=2p整数で且つ2のべき乗に選ぶ、たとえば、N=64,128

  • …,足らなければ 0を足す。多ければ除く

  • 2.時間を切り取るので滑らかなデータwindowを掛ける。

  •   適切に処理することにより、負のスペクトル裾野の出現を押さえる。(最後に強度<x2>が減ったことを補正)

  • 3.スペクトルの平滑化

  •   3-1)統計平均 (同様な条件下でのデータを平均する)

  •   3-2)分割平均(1つのデータ長をs個の部分に分割し

  •               各の区間のFFTスペクトルの平均をとる)

  • N=4096 s=64とすれば64個のスペクト  

  •               ルの平均となる)

  • 3-3)周波数平均(スペクトルwindow W(f)を用いてFFT

  •                スペクトルを平滑化)


4 fft ii
4. FFT II剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

4. Coherence :1個のデータのみからこれを計算すると、 

g(f)=1となる。従って、X(f),Y(f)はアンサン

           ブル平均(前述)か周波数windowによる平滑 

           化の処理を行った後、coherenceを計算する。


練習問題 I剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)

  • 電流密度と温度分布の逆相関の緩和振動が観測された。

  • プラズマの熱輸送に電流密度分布が重要な役割を果たしているという作業仮説を立てる。

  • 電流分布が中心ピーク形状の時内部の熱輸送は大きくなり、中心から熱が外部に運ばれる。そのため中心にピークを持つ温度分布は緩和し、中心部が平坦な分布となる。この温度分布は電流密度分布に影響を及ぼし、電流密度分布を平坦化する。その結果、再び熱輸送が減少するので、中心部の温度は上昇し中心ピークの温度分布が形成される。

  • こうして観測された電流密度と温度分布の緩和振動が説明できる。


0次元の非線形モデル方程式剛体球の弾性散乱の計算機シミュレーション (例)


ad