第二节   函数的求导法则
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第二节 函数的求导法则. 用导数的定义求导数不方便,为了能较快地求出函数的 导数,我们研究它的四则运算。. 一、 函数的和 , 差 , 积 , 商的导数. 定理 1 如果函数 u(x) , v(x) 都在点 x 处可导,则函数 y=u(x) ±v(x) 在该点也可导,且 [ u(x) ±v(x)] ’ = u(x) ’ ±v(x) ’ “ 两个可导函数之和 ( 差 ) 的导数等于这两个函数的导数之和 ( 差 ).”. 证明 : 给自变量一个增量 △ x, 相应的函数都存在一个增量 △ y, △u, △v ,则.

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第二节 函数的求导法则

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第二节 函数的求导法则

用导数的定义求导数不方便,为了能较快地求出函数的 导数,我们研究它的四则运算。

一、 函数的和 , 差 , 积, 商的导数

定理1 如果函数u(x),v(x)都在点 x 处可导,则函数 y=u(x)±v(x)在该点也可导,且[u(x)±v(x)]’= u(x)’±v(x)’

“两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差).”

证明:给自变量一个增量△x,相应的函数都存在一个增量

△y, △u, △v,则


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此定理可推广到任意有限多个函数的代数和的情况.

定理2 如果函数u(x),v(x)都在点x处可导,则函数

y=u(x)v(x)在该点也可导,且 [uv]’ = u’v + u v’

“两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与

第二个因子的乘积加上第一个因子与第二个因子的

导数的乘积”


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证明:

定理2可以推广到更多个函数相乘的情况,例如:

若函数u(x),v(x),w(x)都在x点可导,则有


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定理2推论: 求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时,

常数 因子可提到求导记号外面 (Cu)’=Cu’

定理3 如果函数u(x),v(x)都在点x处可导,且v’(x)≠0则

函数 y= u(x)/v(x) 在该点也可导,且[u/v]’= u’v -uv’ /v2 .

“两个可导函数之商的导数,等于分子的导数与分母的乘积

减去分母的导数与分子的乘积,再除以分母的平方”


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证明:


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例1 求

的导数

例2 设f(x)=x2sinx, 求f’(π/4),f’(π/2),


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解:

例3 求正切函数y=tgx的导数


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解:

例5 已知 求f’(-1).

例4 求正割函数y=secx的导数


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二、 反函数的求导法则

定理4 设函数y=f(x)在某区间I内严格单调且连续,又在I内的点x处可导,且f’(x)≠0,则它的反函数x=φ(y)在与x对应的点y处可导,且

证明: 由y=f(x)在某区间Ix内严格单调性和连续性,可知

其反函数 x=φ(y)在对应的区间Iy内存在,严格单调且连

续,现在给y一个增量△y≠0,由x= φ(y)的严格单调性得

因为x= φ(y)连续


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例6 求y=arcsinx的导数

解: 因为y=arcsinx 和 x = siny 互为反函数 ,所以


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的导数

例8 求

例7 求y=arctgx(x∈R) 的导数


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三、 复合函数求导法则

定理5 若函数u=φ(x)在某点x可导,又函数y=f(u)在对应的点u可导, 则复合函数y=f[φ(x)]在点x也可导,且其导数

证明: 因为 y = f(u) 在点 u 可导,所以


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我们还可以将它推广到更多的复合情况

求复合函数的导数方法称为链式法,利用这个方法求导时,不能漏下其中任何一个环节.


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例9 求一般幂函数y=xμ(μ∈R,x>0)的导数

分析: 将此幂函数变形为复合函数

于是把幂函数从正整数发展成实数

例10 y=lncosx 求 y’


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例11 设

求 y’

例12 设

求dy / dx


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解:

例14 设


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四. 复合函数求导法则的完整证明

考虑两种情况

情况1

此时由极限的局部保号性可知,当|△x|充分小时,△u/△x≠0,得到△u ≠0,于是前面给出的证明适用,因而链式法则得到证明.

情况2

此时在△x→0的过程中,△x可能取到的值有两类,

一类值使对应的△u=0;另一类值使对应的△u≠0.当

△x取使△u≠0的值而趋于零时,由于


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当△x取那些使△u=0的值而趋于零时,

由于 △y = f(u0+ △u)-f(u0) = f(u0)-f(u0) = 0,

故 △y/ △x = 0, 从而 △y/ △x→0

因此,不论△x取那类值趋于零,总有△y/ △x→0


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从此证明过程得到的启发是对数学命题的推导或证明,可从某些简单的特殊情况开始,先得到部分结果,并从中窥视问题的实质和主要困难所在,然后再进行一般性的处理.这样做容易人手,可在不同的层次上加深对数学命题的理解.


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五、特殊函数得导数

1. 分 段 函 数 的 导 数

求分段函数的导数的步骤:

(1)若函数在各段开区间内可导,则分别求出它在各开区间

内的导数.

(2)判断函数在分段点x0处的可导性:

若函数在x0处不连续,则它在x0处不可导.

若函数在x0处连续,则根据导数的定义,或根据可导的

充分必要条件来判断函数在x0处的可导性,同时得到

在x0处的导数。


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例15 设

求它的导数.

解:(1)先取分段函数的导数

(2)判断函数在分段点x0处的可导性


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2. 含绝对值的函数的导数

考虑两种情况:

(1)设y = ln|u(x)|, u(x) 可导,且u(x)≠0, 求y ’


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(2)设y=|u(x)|,u(x)可导,求y’

例16 设y=ln|sinx| 求dy/dx.

解: y=ln|sinx|在其定义域内处处可导


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六、基本求导法则与导数公式

我们已经学习导数,导数的四则运算,复合导数和反函

数的求导,现在总结一下导数公式:


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2.函数的和,差,积,商的求导法则

设u=u(x),v=v(x)都可导,则

3.反函数的求导法则

设x=f(y)在区间Iy内单调,可导且f’(y)≠0,则它的反函数y=f-1(x),

在Ix上也可导,且


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4.复合函数的求导法则

设y=f(u),而u=g(x)且f(u)及g(x)都可导,则复合函数

y=f[g(x)]的导数为

例17 证明下列双曲函数及反双曲函数的导数公式:

证明 由定理(1),(2),有


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例18 y=sinnx×sinnx (n为常数), 求y’


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