Capitolo I
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Capitolo I. Richiami di teoria dei processi di diffusione. QuantoElettroDinamica. Diffusione elastica elettrone-nucleone; fattori di forma elastici del nucleone. Bibliografia: - F.Halzen, A.D.Martin , “Quarks & leptons”, Wiley & Sons, 1984 cap.5, 6, e 8

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Capitolo i

Capitolo I

Richiami di teoria dei processi di diffusione.QuantoElettroDinamica. Diffusione elastica elettrone-nucleone; fattori di forma elastici del nucleone.

  • Bibliografia:

  • - F.Halzen, A.D.Martin , “Quarks & leptons”, Wiley & Sons, 1984

  • cap.5, 6, e 8

  • D.H. Perkins, “Introduction to High Energy Physics”, Addison-Wesley ,1987

  • cap.6


Qed brevi richiami

E’ il “prototipo” di teoria quantistica di campo di gauge (basata

sul gruppo abeliano U1):

descrive l’ interazione elettromagnetica tra particelle cariche

‘point-like’ di Spin ½ ( e.g. elettroni, muoni, quarks…

la cui equazione del moto ‘libera’ e’ data dall’ eq. di Dirac)

mediata dal fotone, il quanto del campo elettromagnetico.

QED : brevi richiami

L’ interazione e.m. elettrone-fotone e’ introdotta nell’ eq. di Dirac

per una particelle libera:

(1.1)

gm matrici di Dirac:

[ sk matrici di Pauli:

]

inserendo nell’ eq. del moto la “derivata covariante”:

(1.2)


Richiami di qed ii

Richiami di QED (II)

L’ eq. del moto di un elettrone (carica elettrica -e ) in presenza di

un campo e.m. e’ quindi :

(1.3)

dove Am = ( F, A) e’ il quadri-potenziale del campo e.m. :

(1.4)

(ricordiamo che i campi E, B sono invarianti rispetto ad una

“trasformazione di gauge” del potenziale:

(1.5)

con a(x) funzione scalare qualsiasi delle quadri-coordinate ;


Richiami di qed

Richiami di QED

La forma dell’ eq. (1.2) discende dalla richiesta di rendere

invariante la descrizione dell’ interazione rispetto a una

trasformazione “locale” (=dipendente dalle coordinate) di gauge

a(x), data dalla (1.4) per il campo Am(x) e, contestualmente,

da una arbitrario cambiamento di fase dello spinore

dell’ elettrone:

(1.5’)

[  gli osservabili fisici, come la sezione d’urto di diffusione

derivabile dalla ampiezza di transizione che si ottiene dalla (1.3),

sono invarianti rispetto alla trasformazione (1.5), (1.5’) ]

E’ interessante ricordare come gia’ in meccanica quantistica non

relativistica, la prescrizione di invarianza di gauge porti

‘naturalmente’ alla descrizione dell’ interazione e.m. tra particelle

cariche e campi (forza di Lorentz)


Richiami di qed1

Richiami di QED

[ Nel formalismo operatoriale:

(1.6)

che in meccanica quantistica (non relativistica), dall’

Hamiltoniana di una particella in un potenziale elettrostatico F(x):

porta all’ eq. di Schroedinger:

la prescrizione di derivata

covariante (1.2) diviene:

(1.2’)

L’ hamiltoniana viene modificata:

La lagrangiana associata

all ‘ hamiltoniana e’:

(v= velocita’ della

particella)

(1.7)

( ricordiamo che :

, con: )

(1.8)

L’ eq. del moto di Eulero-Lagrange:

applicata alla lagrangiana (1.8) coincide con l’eq. del moto di una particella carica sotto l’ azione

della forza di Lorentz (utilizzando le relazioni (1.4)):

per una completa discussione, cfr.:

Goldstein, ”Meccanica Classica” ]


Richiami di qed scattering e e e m e quark

Richiami di QED: scattering e-e, e-m, e-quark

Siamo interessati al processo di diffusione tra due fermioni carichi

puntiformi, ad esempio: e-e-  e-e-, e-m-e-m, e q  e q

(q=quark)

Nella teoria perturbativa dello scattering da un potenziale, la

ampiezza di transizione tra uno stato iniziale (spinorei con

4-impulso (Ei,pi) ) ad uno stato finale (spinorefcon

4-impulso (Ef,pf) ) e’ data da:

(1.9)

dove V(x) e’ il potenziale che perturba l’ hamiltoniana di particella

libera Ho : H = H0 + V

e si e’ introdotto lo spinore coniugato

(la quantita’ e’ definita positiva e ha il significato di

una densita’ di probabilita’)


Richiami di qed scattering e e e m e quark1

Richiami di QED: scattering e-e, e-m, e-quark

In QED, per la quale l’eq. del moto e’:

(1.3’)

il potenziale e’:

ossia:

i(x)

(1.10)

f (x)

e-

e-

dove si e’ introdotta la “corrente elettro-magnetica”:

Am(x)

(1.11)


Richiami di qed scattering e e e m e quark2

Richiami di QED: scattering e-e, e-m, e-quark

[ che abbia il significato fisico di densita’

di 4-corrente jm=(r,j) deriva dal fatto che vale l’eq. di

continuita’: , come si puo’ verificare dall’eq. di

Dirac e dalla sua equazione aggiunta per lo spinore coniugato;

cfr., ad es., Halzen-Martin, pg.103 ]

Nello scattering e-quark, il campo Am e’

il 4-potenziale del campo e.m. associato

alla presenza del quark: la ‘sorgente’ del campo e’

la corrente e.m. del quark:

i(x)

f (x)

e-

e-

k

k’

4-impulso

iniziale dell’elettr.

Am(x)

q(x)

p’

p

(vedremo successivamente come gli

esperimenti giustificano questa assegnazione)

4-impulso

iniziale del quark

4-impulso finale


Richiami di qed scattering e e e m e quark3

Richiami di QED: scattering e-e, e-m, e-quark

La relazione tra il campo e la sua sorgente jmquark e’ data

dall’ eq. di Maxwell (nella gauge di Lorentz: ):

(1.12)

(c = 1)

Al primo ordine della teoria perturbativa, possiamo prendere per

jmquark la soluzione del campo yq che viene dalla eq. libera di Dirac:

ossia:

= q (4-momento

trasferito nel processo)

Nota: la conserv. del 4-impulso: k+ p = k’+p’

implica: q = p’-p = k-k’


Richiami di qed scattering e e e m e quark4

Richiami di QED: scattering e-e, e-m, e-quark

Da tale soluzione libera, si vede che:

e confrontando con (1.12):

L’ ampiezza di transizione , al primo ordine perturbativo, e’ allora:


Richiami di qed scattering e e e m e quark5

Richiami di QED: scattering e-e, e-m, e-quark

Esprimendo anche la corrente dell’ elettrone

in termini di soluzione dell’ eq. libera di Dirac:

si ha:

dove si e’ definito l’ elemento di matrice di transizione:

(1.13)


Sezione d urto per lo scattering di qed e q

Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q

In un processo di diffusione, la quantita’ osservabile sperimentalmente e’ la

sezione d’urto differenziale per avere, ad esempio, l’elettrone diffuso ad un certo

angolo solido dW=2psinqdq;

essa e’ legata all’ elemento di matrice Mif dalla “regola d’oro” di Fermi

[cfr. Perkins, app. E] :

No di stati finali disponibili

che competono all’ energia E

dello scattering:

(frequenza normalizzata ad un flusso

unitario di particelle incidenti)

q

p

f


Sezione d urto per lo scattering di qed e q1

Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q

L’ espressione data per ds/dWnon e’ Lorentz-invariante;

la sua espressione Lorentz-invariante dipende dalla normalizzazione

delle funzioni d’onda spinorialiye, yquarkche compaiono in Mif.

Se nel rest-frame della particella la densita’ di probabilita’ e’:

in un altro sistema di riferimento (ad es., quello del C.M. della collisione)

in cui l’ energia della particella e’ E = mg, il volume viene contratto:

la densita’ osservata diviene:

(ossia cresce di un fattore E/m)

La sezione d’urto va allora normalizzata per un fattore

per ognuna delle funzioni d’onda che compaiono nell’interazione.


Sezione d urto per lo scattering di qed e q2

Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q

( in unita’ naturali:

)

In genere, lo stato finale osservato e’ quello che si ottiene mediando sugli stati

iniziali di spin dell’ elettrone e del quark; in definitiva:

(1.14)

[cfr. Perkins, app.F e G ]

Nel CM dello scattering, il momento dell’ elettrone diffuso e’ p=E/2

dove si e’ introdotta la

variabile di Mandelstam:

(1.14’)

[  esercizio

1.1 ]

[ trascurando le masse: p2/EeEq=1, EeEq=E’eE’q=ECM2/4=s/4, ECM=2Ee]


Sezione d urto per lo scattering di qed e q3

Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q

Inseriamo ora nell’ espressione generale (1.14) per la sezione d’urto l’elemento

di matrice (1.13) derivato dalla dinamica della QED; utilizzando l’algebra delle

matrici di Dirac [ la cosa e’ laboriosa… per una discussione completa si vedano

Perkins, app.G ; Halzen-Martin, cap. 6 ] :

(1.15)

e-

e-

k

k’

4-impulso

iniziale dell’elettr.

dove si e’ trascurata la massa me

(ma non quella del quark)

p’

quark

p


Sezione d urto per lo scattering di qed e q4

Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q

L’ espressione (1.15) e’ Lorentz-invariante; e’ interessante esprimerla nel sistema

del laboratorio, nel quale viene misurato l’ angolo di scattering dell’ elettrone

diffuso:

k=(E,k), k’ = (E’, k’), p = (M,0)

(M=mq)

Si ottiene, utilizzando la conservazione del 4-impulso, k+p = k’+p’ [  es.1.3]:

(1.15’)

dove il quadrato del momento trasferito e’ esprimibile in funzione dell’angolo

di scattering nel laboratorio[  es.1.2]::

k’

q

e-

k

M


Sezione d urto per lo scattering di qed e q5

Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q

Inserendo (1.15’) in (1.14), si ottiene infine il risultato finale per lo scattering di

QED di un elettrone su una targhetta ‘point-like’di spin ½ e massa M:

(1.16)

( “sezione d’urto

di Mott” )

dove si e’ introdotta la costante di struttura fine:

e la carica del quark e’ ora espressa in unita’ di carica dell’elettrone:

Nell’ ultima espressione di (1.16), si e’ di nuovo usata la

In definitiva:

(1.16’)

(sezione d’urto “classica” per lo scattering

coulombiano di particelle non relativistiche prive di spin)


Sezione d urto per lo scattering di qed e q6

Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q

E’ importante sottolineare che per un fissato valore dell’ energia incidente E,

la sezione d’ urto e’ solo funzione dell’ angolo di scattering q, essendo

[vedi es.1.4]:

Infine, e’ utile esprimere la sezione d’urto elementare di Mott in forma

Lorentz-invariante, utilizzando le variabili di Mandelstam:

k

k’

Dalla forma Lorentz-invariante (1.15) dell’ ampiezza

di transizione (trascurando la massa del quark):

p

p’

k’

k

q

quark

e

p


Sezione d urto per lo scattering di qed e q7

Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q

Inserendo nella (1.14):

si ha :

(1.16’’)

(nell’ ultima espressione la carica del quark si intende espressa

in unita’ di carica elementare: )

Utilizzeremo questa espressione nella discussione del

processo di ‘Deep Inelastic Scattering” elettrone-nucleone.


La costante di struttura fine

La costante di struttura fine

La costante fondamentale dell’ interazione e.m.:

detta “costante di struttura fine” (si misura con grande precisione osservando

la struttura fine dei livelli energetici atomici) e’ espressa in unita naturali

nel sistema di unita’ di misura “razionalizzato” di Heaviside-Lorentz, nel quale la 1a eq.di Maxwell per il campo E (la legge di Gauss)

e’ espressa nella forma:

(ossia e0=1 ; nel S.I. invece: ) , o equivalentemente la

legge di Coulomb che definisce il valore della carica elettrica e’:

La costante a e’ adimensionale: essa entra in (1.16) [eq. espressa in unita’

naturali ] , come rapporto tra una sezione d’ urto ( dimensione: [s] = m2)

e l’ inverso del quadrato di un’ energia ( [1/s] = J-2 ) ; queste quantita’

sono tra loro omogenee, essendo: [h] = Js e [c] = m s-1.

Nel S.I., l’ espressione di a e’:


La costante di struttura fine1

La costante di struttura fine

Infatti:

(dalla legge di Coulomb)

e quindi la combinazione e’ adimensionale.

Numericamente:


Scattering elastico elettrone nucleone

Scattering elastico elettrone-nucleone

Il processo di scattering elettromagnetico epep non e’ un

processo point-like (come eq eq o em em)

La sezione d’urto di Mott, che nel sistema del laboratorio e’

data dalla (1.16):

va modificata.

La corrente adronica viene modificata:

e-

e-

k

k’

protone

p’

(1.17)

p

con:

ed M e’ ora la massa del nucleone.


Scattering elastico e n

Scattering elastico e-N

Si dimostra che il termine entro parentesi nella corrente (1.17) e’ il piu’

generale 4-vettore che puo’ essere costruito dalle matrici di Dirac e dai

4-momenti in gioco p, p’ e q=p’-p, tenendo conto che la 4-corrente jmhadr deve

essere conservata: , ossia qmjm = 0.

[ per una completa discussione, vedi Halzen-Martin, es. 8.5 ]

Le funzioni F1(q2), F2(q2) parametrizzano la nostra ignoranza della struttura

dell’ adrone, e devono essere determinate sperimentalmente, come verra’

discusso in seguito.

Notiamo che il fattore ek/2M che moltiplica F2(q2) e’ il momento magnetico

del nucleone ( k e’ il “momento magnetico anomalo”: misura il rapporto tra

il momento magnetico del nucleone e quello e/2M di una particella point-like

di spin ½ come l’ elettrone).


Scattering elastico e n1

Scattering elastico e-N

In effetti si dimostra che nel limite non relativistico, l’interazione (1.10) tra

una corrente e il 4-potenziale:

(1.10)

si decompone in una parte elettrica e una magnetica. Cio’ discende dalla

eguaglianza (“decomposizione di Gordon” della corrente):

(1.18)

e dal fatto che il 2o termine in (1.18) inserito in (1.10) da’, nel limite non

relativistico:

dove y(2) e’ uno spinore bidimensionale, sono le matrici di

Pauli; il termine a destra da’ l’interazione mB di una particella di momento

magnetico m=e/2M col campo magnetico B

[per maggiori dettagli, vedi Halzen-Martin, cap.6.2]


Scattering elastico e n2

Scattering elastico e-N

Se si inserisce jmhadr nell’ elemento di matrice (1.13):

(ricordiamo che: )

la sezione d’urto che si ottiene e’ data dalla “formula di Rosenbluth”:

(1.19)

dove ora M e’ la massa del nucleone.


Scattering elastico e n3

Scattering elastico e-N

E’ utile introdurre le combinazioni lineari:

(1.20)

che sono, come vedremo, interpretabili come ‘fattori di forma’ magnetico

ed elettrico del nucleone: esse sono la trasformata di Fourier delle

distribuzioni di carica elettrica e di momento magnetico nel nucleone.

La formula di Rosenbluth viene riscritta:

(1.19’)


Scattering elastico e n4

Negli esperimenti di scattering elastico su targhetta fissa, il

momento trasferito e’ determinato dalla misura dell’ energia E’

dell’ elettrone diffuso e dall’ angolo di diffusione:

Scattering elastico e-N

E’

q

e-

E

M

Nel “diagramma di Rosenbluth” costruito selezionando dati a q2 fissato:

[ da: Perkins fig.6.4]

la pendenza misura direttamente il fattore di forma magnetico GM(q2)

al valore scelto di q2; dall’ intercetta A(q2) si determina GE(q2).


Scattering elastico e n5

Scattering elastico e-N

Esperimenti allo Stanford Linear Accelerator (SLAC) sono stati fatti su targhette

di idrogeno (=> protoni) e su deuterio (=>neutroni+protoni)). Per sottrazione,

da questi ultimi e’ possibile ottenere la sezione d’urto su neutroni:

e quindi determinare i fattori di forma anche del neutrone.

GE,Mp,n(q2) sono stati misurati in un esteso intervallo di momenti trasferiti

[vedi, e.g., Phys.Rev.139B(458),1965]

2.79

[da: Burkam-Jobes

Fig.12.8]

2.0

GMp

GMn/(1.91)

1.0

GEp

GEn


Scattering elastico e n6

Scattering elastico e-N

Tutti i dati sono descritti da un unico andamento di dipolo:

(1.21)

dove il fit ai dati sperimentali da’: m2= 0.71 GeV2

e le quantita’:

misurano i momenti magnetici del protone e del neutrone:

[

(1.22)

e’ il ‘magnetone nucleare’, momento

magnetico di una particelle di Dirac point-like

di massa mN ; si ricordi che il

“magnetone di Bhor” vale:


Scattering elastico e n7

Scattering elastico e-N

Come detto, GE e GM sono i ‘fattori di forma’ elettrico e magnetico

del nucleone, sono cioe’ in relazione con la sua distribuzione di densita’

di carica elettrica e di momento magnetico .

Osserviamo infatti che dalla (1.20):

e inoltre, dalla formula di Rosenbluth (1.19’), per q2  0 :

(1.23)

A bassi q2( basse velocita’), l’ elettrone ‘vede’ solo il potenziale

elettrostatico (la parte magnetica e’ trascurabile), ossia nell’ ampiezza

di scattering

possiamo porre: con


Scattering elastico e n8

Scattering elastico e-N

F(x) non dipende

dal tempo

dove:

Utilizzando l’ integrazione per parti:

( r e’ la densita’

di carica elettrica)

e l’ eq. di Poisson per il potenziale:


Scattering elastico e n9

Scattering elastico e-N

Inserendo in Tif tale espressione si ottiene:

con:

Se inserisce questa espressione di Mif nel calcolo della sezione d’urto:

(1.24)

si ottiene:


Scattering elastico e n10

Scattering elastico e-N

e confrontando con (1.23) si vede che:

(1.25)

ossia il fattore di forma elettrico GE(q2) e’ la trasformata di Fourier

della densita’ di carica elettrica er(r) del nucleone.

Sperimentalmente, abbiamo visto che :

Con m2=0.71 GeV2; questo risultato puo’ essere direttamente messo in

relazione con le dimensioni del nucleone.

Consideriamo una distribuzione a simmetria sferica:

(la costante di normalizzazione e’ A=m3/8p, imponendo: )

Dalla (1.25)

si ha:

-dcosq


Scattering elastico e n11

Scattering elastico e-N

con:

In definitiva, inserendo si ottiene:

dove per brevita’ negli integrali si e’ sempre inteso q=|q| e quindi q2= |q|2 >0;

nell’ espressione

con q2 si intende invece il modulo quadro del 4-impulso trasferito

q=(k’-k): q2-2kk’=-|q|2 <0, e quindi le due espressioni coincidono.


Scattering elastico e n12

Scattering elastico e-N

Il valore m2=0.71 GeV2 e’ quindi legato al “raggio” R della distribuzione

di carica:

(vedi Es. 1.5)

Il raggio del nucleone misurato dal fattore di forma elettrico del

protone e’ dell’ ordine di qualche frazione di Fermi.

Piu’ precisamente, il valor medio del quadrato del raggio della distribuzione

di carica e’:

SLAC,

Hofstadter

e collab.

=(4!) / m5


Es 1 1 variabile s di mandelstam

Es.1.1: variabile s di Mandelstam

essendo ECM=2p

per me, mq << E

e-

In un esperimento su taghetta fissa: pq=(m,0)

e-

pe’

pe

Ad esempio, negli esperimenti a SLAC:

Ee=20 GeV, m= mN=0.94 GeV ECM 6 GeV

Ad un collisore con fasci “simmetrici” invece:

ECM = 2 Ebeam

(esempio: LEP1 ,2 : Ebeam:44-47 GeV, 80 -105 GeV; Tevatrone: 0.9 TeV );

con fasci asimmetrici di energie E1, E2 :

(esempio: collisore e-p HERA (Desy,Amburgo):

Ee=27.5 GeV, Ep=920 GeV  ECM 320 GeV )

pq’

pq


Es 1 2 momento trasferito e angolo di scattering

Es.1.2: momento trasferito e angolo di scattering

Dimostrare che:

E’

q

e-

E

M

Si ha:

angolo di scattering

nel laboratorio


Es 1 3 formula di mott

Es.1.3: formula di Mott

Dimostrare che:

Utilizzando la conserv. del 4-impulso: p’= p+q = p + k - k’ , si ha:

q2=(k-k’)2  -2kk’

 0

 0

Nel laboratorio:

p=( M, 0)

k=( E , k)

k’=(E’, k’)


Es 1 3 formula di mott cont

Es.1.3: formula di Mott (cont.)

Allora:

[es. 1.2]

[si osservi:

]

In definitiva:

 0


Es 1 4 energia dell elettrone uscente nello scattering elastico e p

Es.1.4: energia dell’ elettrone uscente nello scattering elastico e-p

Dimostrare:

Abbiamo visto che [es. 1.3]:

Allora:

Esperimento a SLAC:

E= 401 MeV, q=75o

M=939 MeV

(targhetta di idrogeno)

 E’ = 305 MeV

[Hofstadter e collab.,

1956]


Es 1 5 raggio del nucleone

Ricordiamo che in “unita’ naturali”:

Es.1.5: raggio del nucleone

inoltre:

Pertanto:

[nota: un altro utile fattore di conversione e’ il seguente:

infatti: 1 barn = 10-24 cm2= 10-28 m2 1 mb = 10-31 m2 = 0.1 fm2 ]

Allora:

Come gia’ discusso:


Esperimenti di scattering elastico e n a stanford

Esperimenti di scattering elastico e-N a Stanford

LINAC da 550 MeV di energia massima entrato in funzione a

Stanford (California) a meta’ degli anni ’50:

contatore di

elettroni

Spettrometro su

piattaforma rotante

[R.Taylor,J.Friedman,

W.Kendall

Lectures for Nobel Prize,

1990;

Rev.Mod.Phys63 (1991),573]


Lo stanford linear accelerator slac

Lo Stanford Linear Accelerator (SLAC)

Alla fine degli anni ’60, e’ entrato in funzione l’ acceleratore

Lineare lungo 2 Miglia: Ebeam=20 GeV

- l’intervallo di q2 e’ stato notevolmente esteso

- si ha accesso allo scattering inelastico (il nucleone viene spaccato con

produzione di adroni nello stato finale)

Furono realizzati

3 spettrometri

dedicati per

elettroni da 1.6,

8 e 20 GeV


Gli esperimenti a slac

Gli esperimenti a SLAC

Spettrometri a piccola

accettanza angolare

(dW1 msterad)

posizionabili a diversi

angoli di diffusione

(1,5 - 250 per E=20 GeV)


Gli esperimenti a slac1

Gli esperimenti a SLAC

separatore e/p

Esperimenti precedenti:

1 GeV2


Gli esperimenti a slac ii

Gli esperimenti a SLAC (II)

Spettrometro da

20 GeV

Primo uso massiccio

di computer nel

controllo on-line…


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