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Ecuaciones Cuadráticas

Una Ecuación Cuadrática es una Expresión Algebraica que tiene por lo menos un Término Cuadrático. La forma General de una Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado es:. ax 2 + bx + c = Ø. Término Independiente. Ecuaciones Cuadráticas. Término Lineal. Término Cuadrático. Puras. Incompletas.

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Ecuaciones Cuadráticas

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Presentation Transcript

  1. Una Ecuación Cuadrática es una Expresión Algebraica que tiene por lo menos un Término Cuadrático. La forma General de una Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado es: ax2 + bx + c = Ø Término Independiente Ecuaciones Cuadráticas Término Lineal Término Cuadrático Puras Incompletas Mixtas Ecuaciones Cuadráticas Trinomio Cuadrado Perfecto a = 1 Factorización a ≠ 1 Completas a = 1 Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto a ≠ 1 Por Fórmula General Fin Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

  2. Una Ecuación Cuadrática Pura, es aquella Expresión Algebraica que consta de Dos Términos, el Término Cuadrático y el Término Independiente. ax2 + c = Ø Ecuación Cuadrática Pura Donde “a” es el Coeficiente del Término Cuadrático y “c” es el Término Independiente. Si 4x2 – 1ØØ = Ø Entonces X1,2 = ± X1,2 = ± = ± = ± = ± 5 X1 = 5 X2 = – 5 Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

  3. Una Ecuación Cuadrática Mixta, es aquella Expresión Algebraica que consta de Dos Términos, el Término Cuadrático y el Término Lineal. ax2 + bx = Ø Ecuación Cuadrática Mixta Donde “a” es el Coeficiente del Término Cuadrático y “b” es el Coeficiente del Término Lineal. Si 4x2 – 1ØØx = Ø Entonces X1 = Ø = 25 X2 =  X2 = = X1 = Ø X2 = 25 Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

  4. Paso No. 1 Raiz Cuadrada del Primer Término (Término Cuadrático) Paso No. 2 Signo del Segundo Término (Término Lineal) Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto Paso No. 3 Raiz Cuadrada del Tercer Término (Término Independiente) Paso No. 4 El Binomio obtenido, se encierra entre paréntesis, se eleva al cuadrado y finalmente se Iguala a cero – = Ø ( 7 ) 5x 2 Paso No. 5 Se despeja la Variable x, aplicando las leyes del Despeje 5x – 7 = 5x – 7 = Ø X1 = X2 = 5x = 7 x = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

  5. Paso No. 1 Raiz Cuadrada del Primer Término (Término Cuadrático) formando dos Factores e igualándolos a cero. Paso No. 2 Se buscan todos los pares de números cuyo producto entre ellos, sea igual al Tercer Término (Término Independiente) incluyendo el signo. Factorización de un Trinomio Cuadrado de la Forma “a = 1” Paso No. 3 Seleccionar el par de números que sumados sea igual al Coeficiente del Segundo Término (Término Lineal) incluyendo el signo. Paso No. 4 El par de números seleccionados, se acomodarán en los dos factores Binomiales según se muestra en el ejemplo. ( 1 ) ( 6 ) = 6 ( x ) ( x ) = Ø – 3 – 2 ( 2 ) ( 3 ) = 6 ( -2 ) ( -3 ) = 6 y ( -2 ) + ( -3 ) = -5 Paso No. 5 Igualar a cero cada uno de los factores y en cada uno de ellos despejar la incógnita “x”, aplicando las leyes del Despeje. x – 2 = Ø x = 2 x – 3 = Ø x = 3 X1 = 2 X2 = 3 Paso No. 6 Finalmente a una de las incógnitas se asigna como Raíz1 y a la otra Raíz2 Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

  6. Paso No. 1 Se multiplica el coeficiente del Término Cuadrático por el Término Independiente, incluyendo los signos. a · c = ( 3 ) ( 8 ) = 24 Paso No. 2 ( 1 ) ( 24 ) = 24 ( 2 ) ( 12 ) = 24 ( 3 ) ( 8 ) = 24 ( 4 ) ( 6 ) = 24 Se buscan todos los pares de números cuyo producto entre ellos, sea igual al resultado del Paso No. 1, incluyendo los signos. Factorización de un Trinomio Cuadrado de la Forma “a ≠ 1” Se selecciona el par de números que sumados sea igual al coeficiente del Término Lineal. Paso No. 3 ( 4 ) ( 6 ) = 24 y ( 4 ) + ( 6 ) = 1Ø Paso No. 4 El par de números seleccionados, se sustituirán por el Término Lineal en la Ecuación Cuadrática Original. 3x2 + 4x + 6x + 8 = Ø Paso No. 5 De la nueva Ecuación Cuadrática, se formarán Dos Factores, donde cada uno de ellos será un Binomio. Observar que estos factores se encontrarán Sumándoce y se igualará a cero. ( ) + ( ) = Ø Posteriormente se llevará a cabo una serie de factorizaciones para obtener al final Dos Factores que se encuentren Multiplicándoce e igualados a cero. Para evitar doble trabajo o innecesario, si gusta puede llevar a cabo los Siguientes Consejos. Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

  7. Consejo 1 El Término Cuadrático y el Término Independiente, bajan directamente y forman el Primer Término del Primer Factor y el Segundo Término del Segundo Factor respectivamente. a · c = ( 3 ) ( 8 ) = 24 ( 1 ) ( 24 ) = 24 ( 2 ) ( 12 ) = 24 ( 3 ) ( 8 ) = 24 ( 4 ) ( 6 ) = 24 Los Términos Centrales o Lineales, se acomodorán en los dos factores cuidando de que queden uno con respecto al otro sean: Iguales, Múltiplos, Submúltiplos o exista un Número Común entre ellos. Consejo 2 Factorización de un Trinomio Cuadrado de la Forma “a ≠ 1” ( 4 ) ( 6 ) = 24 y ( 4 ) + ( 6 ) = 1Ø 3x2 + 4x + 6x + 8 = Ø ( ) + ( ) = Ø Consejo 3 Factorizar por Término Común ambos factores. Tomando en cuenta que sale en el Primer Factor la Variable de menor grado y el coeficiente menor. Y en el Segundo Factor, sale nada más el coeficiente menor. 3x2 + 6x + 8 4x 3x ( x + 2) + 4 ( x + 2 ) = Ø ( x + 2 ) ( 3x + 4 ) = Ø 3x + 4 = Ø 3x = – 4 x = – 4/3 x + 2 = Ø x = – 2 Paso No. 6 Factorizar por Factor Común ambos Factores. De tal forma que ahora los dos Factores Binomiales se encuentren Multiplicándoce. Paso No. 7 Igualar a cero cada uno de los factores y en cada uno de ellos despejar la incógnita “x”, aplicando las leyes del Despeje. X1 = –2 X2 = – 4/3 Paso No. 8 Finalmente a una de las incógnitas se asigna como Raíz1 y a la otra Raíz2. Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

  8. de las formas a = 1 y a ≠ 1 3x2 + 13x – 1Ø = Ø 3 El procedimiento para resolver dichas formas, es práctcamente el mismo. A excepción por el paso “Ø” que sólo se aplica a la forma “a ≠ 1”, los pasos del 1 al 6 se aplican para ambas formas. = Ø x2 + Completando un Trinomio Cuadrado Perfecto x2 + Paso No. Ø Se divide toda la Ecuación Cuadrática entre el Coeficiente del Término Cuadrático. La ecuación de Forma “a ≠ 1” es convertida a la Forma “a = 1” x2 + Paso No. 1 Se envía el Término Independiente al Segundo Miembro. Aplicando las Leyes del Despeje Paso No. 2 El Coeficiente del Término Lineal se Divide entre 2 o se Multiplica por 1/2 y se Eleva al Cuadrado. Paso No. 3 El resultado del Paso No. 2 se suma en ambos miembros de la Ecuación Obtenida del Paso No. 1.  Paso No. 4 El Primer Miembro se Factoriza con el procedimento del Trinomio Cuadrádo Perfecto. Y en el Segundo Miembro se realiza la Operación correspondiente. Paso No. 5 Se despeja la variable “x”. Asignándole a la Raíz1 a la parte positiva del Radical y a la Raíz2 se le asigna la parte negativa del Radical. X1 = 2/3 X2 = – 5 Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

  9. – (13) ± (13)2– 4(3)(–1Ø) Donde “a” es el Coeficiente del Término Cuadrático, “b” es el Coeficiente del Término Lineal y “c” es el Término Independiente. X1,2 = 2(3) – 13 ± 169 + 12Ø Por Fórmula General X1,2 = 6 Tomando en cuenta el Trinomio que se encuentra sobre el recuadro, entonces: – 13 ± 289 X1,2 = 6 a = 3 b = 13 c = -1Ø – 13 ± 17 X1,2 = 6 Se lleva a cabo una simple sustitución de los valores en la Fórmula General y se resuelve en base a Operaciones Aritméticas. 4 2 – 13 + 17 = = X1 = 6 3 6 – 30 – 13 – 17 – 5 = = X2 = 6 6 Nota: Es muy importante tomar el cuenta los signos de los coeficientes. X1 = 2/3 X2 = – 5 Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo

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