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BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL

BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL. Definição 1:- Seja B = {v 1 , v 2 , v 3 , ... v n } um conjunto de vetores. Os vetores de B são ditos linearmente dependentes. se existirem os escalares a 1 , a 2 , a 3 ... a n , nem todos nulos,. a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + .... + a n v n = 0. de modo que.

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BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL

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  1. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL

  2. Definição 1:- Seja B = {v1, v2, v3, ... vn} um conjunto de vetores. Os vetores de B são ditos linearmente dependentes se existirem os escalares a1, a2, a3 ... an, nem todos nulos, a1v1+ a2v2+ a3v3 + .... + anvn = 0. de modo que DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Se todos os ai forem nulos os vetores v1, v2, v3, ... vn são ditos linearmente independentes. Conseqüência da definição, podemos fazerv1 = (-a2/a1)v2+ (-a3 /a1)v3 + .... + (-an/a1)vn v1 = b1v2+ b2v3 + .... + bnvn. Se existirem b1, b2, ..., bn então os vetores v1, v2, v3, ..., vn são linearmente dependentes. Definição 2:- Um conjunto de vetores é linearmente dependente se um deles for uma combinação linear dos demais.

  3. Exemplo 1: verificar se o conjunto (2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1) é linearmente dependente ou independente. Aplicando a definição 2, verifiquemos se existem x e y, tais que (2, 1, 1) = x(-1, 0, 2) + y(1, 2, 1). Da igualdade tiramos: (1) -x + y = 2                (2) 0 + 2y = 1 e              (3) 2x + y = 1. Resolvendo o sistema: De (2) y = 1/2. (4) De (4) e (1): x = y – 2 = (1/2) – 2 = -3/2 Estes valores devem verificar a equação (3). 2.(-3/2) + 1/2 = -3 + 1/2 = - 5/2  1. Portanto, não existem valores para x e y que satisfaçam às três igualdades. O conjunto é então: linearmente independente.

  4. Exemplo 2:- Verificar se o conjunto (2, 1, 3), (3, 1, 2), (5, 2, 5) é linearmente dependente ou independente. Pela definição: x.(2, 1, 3) + y.(3, 1, 2) = (5, 2, 5) • Temos então: • 2x + 3y = 5 , • (2) x + y = 2  e • (3) 3x + 2y = 5. • De (1) e (2): 2x + 3(2 – x) = 5  2x + 6 – 3x = 5 • -x = -1  x = 1. • Levando esse valor em (2) 1 + y = 2  y = 1 Verificando a equação (3): 3.1 + 2.1 = 5. O que confere a equação (3). Assim, o sistema tem solução única x = 1 e y = 1. Portanto, cada vetor  é uma combinação linear dos outros dois. Concluindo, os vetores são: linearmente dependentes.

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