文献紹介と題して
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文献紹介と題して. B4 KANEKIYO Michiwo. 卒論の「ウリ」. 心理学に Mixed Model を紹介&適用 今までのはね、代用策なのですよ 特に変量効果を含むモデルにおいて 昨今のコンピュータの発達により、 正しいモデルにおいて分析が可能に パッケージにもなりました♪ 他にもいろいろ出来ますよ♪ だから今こそGLM⇒MIXED. 基礎 Mixed Model とは Mixed Model におけるパラメータ推定・推測 欠測と Mixed Model 歴史? ミニ卒第2章 難しい・・・・. 応用 反復測定分析 乱塊法・分割法

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文献紹介と題して

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Presentation Transcript


B4 kanekiyo michiwo

文献紹介と題して

B4 KANEKIYO Michiwo


B4 kanekiyo michiwo

卒論の「ウリ」

  • 心理学にMixed Modelを紹介&適用

    • 今までのはね、代用策なのですよ

      • 特に変量効果を含むモデルにおいて

    • 昨今のコンピュータの発達により、正しいモデルにおいて分析が可能に

      • パッケージにもなりました♪

      • 他にもいろいろ出来ますよ♪

    • だから今こそGLM⇒MIXED


B4 kanekiyo michiwo

基礎

Mixed Modelとは

Mixed Modelにおけるパラメータ推定・推測

欠測とMixed Model

歴史?

ミニ卒第2章

難しい・・・・

応用

反復測定分析

乱塊法・分割法

経時データに対する分析

二段抽出モデルの分析

欠測値に対する分析

何らかのデータは取るべきかも~

卒論でまとめたいこと


B4 kanekiyo michiwo

今回の文献(論文)は

ここに焦点をあてることにしました

  • 卒論⇒応用⇒反復測定分析

  • 論文

    • Comparing the SAS® GLM and MIXED Procedures for Repeated Measures

      • Russ Wolfinger and Ming Chang (1995)

      • SAS Institute Inc., Cary, NC

        • SUGI Proceedings


Today s contents

Today’s Contents

  • 反復測定分析とは

  • データを紹介

  • 分析例を交えての分析方法の比較

    • PROC GLM(現在)とPROC MIXED(近い将来)

  • まとめ

  • Additional Analyses


B4 kanekiyo michiwo

反復測定分析とは

  • subjectと呼ばれる各個体に対し、複数回測定を行ったデータにおける分析

    • 反復測定データ、経時データの分析

    • 分割法や乱塊法もこれにあたる

  • 反復測定において

    • ある個体における各測定値は相関があり、また、異なった分散を持つだろう

    • 普通のGLMでは無相関、定分散を仮定⇒反復測定に適した分析を行うべき


B4 kanekiyo michiwo

反復測定分析を行うには

  • SAS

    • PROC GLM REPEATEDステートメント

    • PROC MIXED REPEATEDステートメント

  • SASだけではなくSPSSでも可能

    • 分析(A)⇒一般線型モデル(G)⇒反復測定(R)

    • 分析(A)⇒複合モデル⇒線型(L)

    • RにもSにもあるだろう


B4 kanekiyo michiwo

データの紹介

  • Potthoff and Roy(1964)

  • 下垂体から上顎骨の長さ

  • 少女(11人)少年(16人)

    • 人数:アンバランス

  • 8,10,12,14歳時

    • ここが反復測定

  • 付録参照


B4 kanekiyo michiwo

データをグラフで表現


B4 kanekiyo michiwo

男女別


Glm v s mixed

分析方法概観&比較GLM v.s. MIXED


Proc glm

分析方法(PROC GLM)

個体を特定、欠測有は無視

被験者間効果?被験者内効果?変数の変形を選択

被験者間

被験者内

被験者間効果検定

球面性仮定

採択

棄却

被験者内効果

多変量or調整一変量検定

被験者内効果

一変量検定

固定効果推測


Proc mixed

個体特定

固定効果選択

共分散構造選択

モデルチェンジ

モデルチェンジ

共分散パラメータ検定

固定効果検定

固定効果推測

分析方法(PROC MIXED)


Proc mixed1

PROC MIXEDの利点

  • 欠測値のあるオブザベーションも利用できる

    • ただしMARを仮定する

      • ex.5人が欠測1回

NOTE: Observations with missing values will not be included in this analysis. Thus, only 22 observations can be used in this

analysis.

GLM

MIXED


Proc mixed2

PROC MIXEDの利点

  • 平均構造(固定効果)を柔軟に指定

    • 被験者間要因と被験者内要因の交互作用を取り除いた分析が可能

      • gender*ageという交互作用を取り除ける

    • 被験者内効果に連続変数を指定できる

      • ageを連続変数とすることが可能

      • PROC GLMでは分類変数となってしまう

        • Additional Analysesも参照


Proc mixed3

PROC MIXEDの利点

  • 被験者内の共分散構造を柔軟に指定

    • 測定値間の関係をいろいろ指定可能

    • さらに共分散構造を考慮した固定効果の検定可能


Glm v s mixd

分析例を交えてGLM v.s. MIXD


Proc glm analysis

PROC GLM analysis

MODELステートメントに被験者間要因REPEATEDステートメントに被験者内要因

  • 以下のようにプログラム

    • ageは分類変数となる

      • genderとの交互作用も勝手に作ってくれる

      • age8,age10,age12とage14とを比較

      • polynomial transformationをすることでageを連続変数っぽく扱うことが可能⇒後述

PROC GLM DATA=my.forglm;

CLASS gender;

MODEL y1-y4 = gender / nouni;

REPEATED age 4 (8 10 12 14) / printe;

RUN;


Sphericity

Sphericity(球面性:球形)?

  • 被験者内要因の水準間には相関関係有⇒効果の有無を検定するF比が、帰無仮説のもとで必ずしも正確なF分布に従うとは限らない

  • F分布に従う必要十分条件として「球面性仮定」があげられる


Sphericity1

Sphericity

  • 対称性仮定⇒S型行列

    • σ21=σ22=・・・=σ2p

    • σ21=σ31=・・・=σp,p-1

      • 定分散、定相関

  • 循環性仮定⇒H型行列

    • V(Yi-Yi’)=σ2i+σ2i’-2σii’=const, i≠I’

      • ある被験者における各測定値の差の分散は一定

    • V(C’ y)=C’ V(y)C=C’ΣC =c2Im

      • 変換した反復測定値は定分散、無相関

ある被験者内の分散共分散行列

差を見る→被験者効果が落ちる


B4 kanekiyo michiwo

循環性仮定詳細

  • V(My)=MV(y)M’=MΣM’=c2Imとも書く

    • Mはm×pの直交正規対比行列

    • MM’=Im(直交)、Mの各行の要素の和は0(対比)

  • M’=C


Mauchly

Mauchlyの等方性検定

  • p次元多変量正規分布Np(μ,Σ)からの無作為標本を元に「H0:Σ=σ2Ip」を検定するもの

  • 反復測定分析では、直交対比行列によって変換した測定値に対して、これを使用する


Output

Output:球面性仮定の検定

  • Orthogonal~の結果を見る

    • 非有意⇒球面性仮定○⇒一変量

      • 被験者内の検定は一変量の部分を見る

    • 有意⇒球面性×⇒F分布歪む⇒修正一変量

    • 高度に有意(p<0.0001)⇒同上⇒多変量

Sphericity Tests

Mauchly's

Variables DF Criterion Chi-Square Pr > ChiSq

Transformed Variates 5 0.4998695 16.449181 0.0057

Orthogonal Components 5 0.7353334 7.2929515 0.1997


Output1

Output:一変量検定結果(被験者内)

  • 年齢のみ5%水準で有意

    • 球面性仮定が棄却された場合、F分布を修正したG-G、H-Fの部分を見る(小サンプル時H-Fに比べG-Gは保守的)

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

age 3 209.4369739 69.8123246 35.35 <.0001

age*gender 3 13.9925295 4.6641765 2.36 0.0781

Error(age) 75 148.1278409 1.9750379

Adj Pr > F

Source G - G H - F

age <.0001 <.0001

age*gender 0.0878 0.0781

Error(age)

Greenhouse-Geisser Epsilon 0.8672

Huynh-Feldt Epsilon 1.0156


Output2

Output:多変量検定結果(被験者内)

  • 上:age、下:gender*age

    • 球面性の仮定が大幅にダメ(p<.0001)なときに見る

Statistic Value F Value Num DF Den DF Pr > F

Wilks' Lambda 0.19479424 31.69 3 23 <.0001

Pillai's Trace 0.80520576 31.69 3 23 <.0001

Hotelling-Lawley Trace 4.13362211 31.69 3 23 <.0001

Roy's Greatest Root 4.13362211 31.69 3 23 <.0001

Statistic Value F Value Num DF Den DF Pr > F

Wilks' Lambda 0.73988739 2.70 3 23 0.0696

Pillai's Trace 0.26011261 2.70 3 23 0.0696

Hotelling-Lawley Trace 0.35155702 2.70 3 23 0.0696

Roy's Greatest Root 0.35155702 2.70 3 23 0.0696


Output3

Output:被験者間要因の検定

  • 1%水準で有意

    • 男女差がある

      • 体型によるものだと考えられる

  • 被験者内測定値間の関係に依存しない

    • 球面性仮定とは関係なし

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

gender 1 140.4648569 140.4648569 9.29 0.0054

Error 25 377.9147727 15.1165909


Glm v s mixd proc mixed

分析例を交えてGLM v.s. MIXD次はPROC MIXED


Proc mixed analysis

PROC MIXED analysis

さらにTYPE=HFとTYPE=UNを指定

  • 以下

    • CLASSステートメントから“age”取り除くと

      • ageを連続変数とみなす

      • 今回はPROC GLMとの比較のため残す

    • 被験者間&内効果、全てMODELステートメント

      • gender*ageを取り除くということも可能

PROC MIXED DATA=my.formixed;

CLASS gender age person;

MODEL y = gender | age; /* もしくはgender age gender*age */

REPEATED / TYPE = CS SUB=person; /* TYPE=(共分散構造指定) */

RUN;


Cs hf un

なぜCS,HF,UNを撰んだのか?

  • GLMとの対応を考えてみよう

    • CS

      • 普通の分割法

    • HF

      • 球面性仮定が成り立つとき、測定値間の構造は少なくともこれになる

    • UN

      • MANOVAの分析はこれにあたる


Type cs

TYPE=CS

Covariance Parameter Estimates

Cov Parm Subject Estimate

CS person 3.2854

Residual 1.9750

S型行列


Type hf

TYPE=HF

Covariance Parameter Estimates

Cov

Parm Subject Estimate

Var(1) person 5.0264

Var(2) person 4.3951

Var(3) person 6.1739

Var(4) person 5.2848

HF person 1.9750

H型行列


Type un

TYPE=UN

Covariance Parameter Estimates

Cov Parm Subject Estimate

UN(1,1) person 5.4155

UN(2,1) person 2.7168

UN(2,2) person 4.1848

UN(3,1) person 3.9102

UN(3,2) person 2.9272

UN(3,3) person 6.4557

UN(4,1) person 2.7102

UN(4,2) person 3.3172

UN(4,3) person 4.1307

UN(4,4) person 4.9857


B4 kanekiyo michiwo

共分散構造の選択

  • 情報量基準や尤度比検定

    • HF v.s. UN LRtest

      • LR=7.6858 df=5 p>.1⇒HFを選択

    • CS v.s. HF LRtest

      • LR=1.6879 df=3 p>.1⇒CSを選択


B4 kanekiyo michiwo

測定値間の関係(共分散構造)

  • Q.共分散構造は、あらかじめ決めておくものなのか?それともデータから考えるものなのか?

    • つまり、検証的or探索的?ということ

  • A.どちらでもあると考える

    • 測定値間にどのような関係があるか、前もって考慮することには意味があるだろう

      • ただしそれが正しいとは限らない&修正も必要である

    • どちらにしてもその結果に対する考察が必要と考える


Output4

Output:固定効果の検定

Type 3 Tests of Fixed Effects

Num Den

Effect DF DF F Value Pr > F

gender 1 25 9.29 0.0054

age 3 75 35.35 <.0001

gender*age 3 75 2.36 0.0781

  • CS

  • HF

  • UN

Num Den

Effect DF DF F Value Pr > F

gender 1 25 9.39 0.0052

age 3 75 35.35 <.0001

gender*age 3 75 2.36 0.0781

Num Den

Effect DF DF F Value Pr > F

gender 1 25 9.29 0.0054

age 3 25 34.45 <.0001

gender*age 3 25 2.93 0.0532


B4 kanekiyo michiwo

被験者間効果の検定

  • genderの効果の検定

  • 全て同じ(PROC GLMみたく)であってほしい

    • 被験者内共分散構造は関係ないから

    • HFだけ違う⇒Mixed ModelのF値の計算方法が原因

      • ただし、どうしてそうなのかは不明


B4 kanekiyo michiwo

被験者内効果の検定

  • age、gender*ageの効果の検定

  • CS、HFが未修正一変量検定の結果と一致

    • 「球面性仮定」採択から適切

  • UNの結果が違う!!

    • 小サンプルではTYPE=UNの検定結果⇒革新的

    • 「HLPS」「HLM」←修正オプション

      • バランスデータのMANOVAと同じ結果となる

      • アンバランスの時は?→まだ研究されていない


Mixed model type un

Mixed Model TYPE=UNについて

  • HLPSオプション

    • Hotelling-Lawley-Pillai-Samsonの略

    • このHLPS統計量はHotelling-Lawley Trace統計量と同じである

  • HLMオプション

    • Hotelling-Lawley-McKeonの略

    • HLPS統計量よりわずかにF近似がよい

SASマニュアル→PROC MIXED→REPEATEDステートメントの部分より


Mixed model disadvantage

Mixed Modelのdisadvantage

  • 効果のF検定における分母自由度は算出しにくい

    • 線型結合の分散にどれだけの情報を使用したかが分かりづらい

    • GLMの場合はわかる

      • 分散分析表を見たら一発です

  • SASでは近似計算を用いている

    • オプションで指定する

    • 帰無仮説が複雑でなければ大体デフォルトでいける


B4 kanekiyo michiwo

自由度の近似計算法

  • MODELステートメント、ddfm=オプションで指定

    • ddfm=residual

      • 残差自由度で近似、あまりよくない

    • ddfm=betwithin

      • 被験者間と被験者内の自由度に分ける

      • REPEATEDステートメントでのデフォルト

    • ddfm=containment

      • 固定×変量の交互作用の自由度を使用

      • RANDOMステートメントでのデフォルト

    • ddfm=satterth

      • サタースウェイトの方法

      • これが一番近似できると考える


B4 kanekiyo michiwo

まとめ

  • Mixed Model(PROC MIXED)の利点

    • 欠測が扱える(→扱えるが正しいのか?)

      • いつかデモンストレーションしよう

    • 被験者内共分散構造の柔軟な指定

      • GLMは今回ので手一杯 MIXEDはまだまだ余裕

      • TYPE=UNでの分析は構造指定の手助けとなる

    • 固定効果に対しても柔軟な指定

      • 今回のgender*ageの交互作用とか

      • 多要因になると重宝すること間違いなし


Additional analyses

Additional Analyses


B4 kanekiyo michiwo

「AGE」は連続変数だろう

  • 今回のデータ年齢毎に平均が違うっ!8歳と12歳の平均に差があるっ!とかが言いたいようには思えません

  • むしろ年をとると距離はどのように変化するのか直線的?二次関数っぽく?などが興味あるところだろう


Proc glm1

PROC GLMではどうする?

  • Orthogonal Polynomial Contrast

    • 直交多項対比(?)によって測定値を変換

    • 1次項、2次項、3次項として検定

  • プログラムは以下

SS3よりSS1が適切

PROC GLM DATA=my.forglm;

CLASS gender;

MODEL y1-y4 = gender / nouni ss1;

REPEATED age 4 (8 10 12 14) polynomial / summary printM ;

RUN;


B4 kanekiyo michiwo

なぜSS3よりSS1

  • SS1は逐次平方和

    • sequential sums of squares

  • 詳細はいつか・・・・


B4 kanekiyo michiwo

測定値をどう変換するのか?

  • 変換行列一行目*測定値は平均を表す

  • という風に・・・


B4 kanekiyo michiwo

1次の項

  • 傾きはSxy/Sxxと表される

    • 想起・回帰直線

= 0

yiの重み付け平均みたく考えられる


B4 kanekiyo michiwo

1次の項

  • よって、このように書ける(Sxx =Σ(xi-x)2=20)

  • 1次項=1次傾き=0の検定を行う


B4 kanekiyo michiwo

以下、2次3次に変換、検定

1次の項については有意である

  • Output(summaryオプション)

age_N represents the nth degree polynomial contrast for age

Contrast Variable: age_1

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

Mean 1 235.3560185 235.3560185 99.45 <.0001

gender 1 12.1141519 12.1141519 5.12 0.0326

Error 25 59.1673295 2.3666932

Contrast Variable: age_2

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

Mean 1 1.44675926 1.44675926 1.39 0.2497

gender 1 1.19954756 1.19954756 1.15 0.2935

Error 25 26.04119318 1.04164773

Contrast Variable: age_3

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

Mean 1 0.38935185 0.38935185 0.15 0.6974

gender 1 0.67882997 0.67882997 0.27 0.6081

Error 25 62.91931818 2.51677273

2次、3次は非有意


Proc glm2

PROC GLM:結果より

  • 年齢による変化は直線的であろう

    • さらに性別で傾きが違う

  • じゃあ、係数は?⇒ちょっと調べ辛い

  • また、本当の変換行列は3行4列

    • 平均を表す行(1 1 1 1)はない

    • printMオプションで表示される

      • 計算簡単のためさらに定数倍されていることがある

      • 各要素の比率は同じ


Proc mixed4

→PROC MIXED


Proc mixed5

PROC MIXEDでは?

  • 以下、プログラム参照

    • ageは連続変数とみなされる

    • 追記:SS1に対応するのがある htype=1

      • PROC GLMを含んでしまう勢いだ

      • ミニ卒発表会の質問に対応

PROC MIXED DATA=my.formixed;

CLASS gender person;

MODEL y = gender | age | age | age / htype=1;

REPEATED / TYPE = un SUB = person;

RUN;


Output5

Output

  • PROC GLMと同じ(1次項部分は有意)

Type 1 Tests of Fixed Effects

Num Den

Effect DF DF F Value Pr > F

gender 1 25 9.29 0.0054

age 1 25 99.45 <.0001

age*gender 1 25 5.12 0.0326

age*age 1 25 1.39 0.2497

age*age*gender 1 25 1.15 0.2935

age*age*age 1 25 0.15 0.6974

age*age*age*gender 1 25 0.27 0.6081


B4 kanekiyo michiwo

非有意効果を取り除く

  • Reduced Model

    • 2次、3次の効果は不要⇒以下プログラムで再分析

    • MODELステートメントを再指定

    • PROC GLMでは取り除けない

PROC MIXED DATA=my.formixed;

CLASS gender person;

MODEL y = gender | age / htype=1;

REPEATED / TYPE = un SUB = person;

RUN;


Output6

Output

  • 全て有意である

  • より詳細を次スライドへ

    • MODELステートメント、SOLUTIONオプション

Type 1 Tests of Fixed Effects

Num Den

Effect DF DF F Value Pr > F

gender 1 25 9.40 0.0051

age 1 25 116.81 <.0001

age*gender 1 25 7.40 0.0117


Output solution

Output(solutionオプション)

  • このように係数も出力できる

Solution for Fixed Effects

Standard

Effect gender Estimate Error DF t Value Pr > |t|

Intercept 15.8423 0.9723 25 16.29 <.0001

gender F 1.5831 1.5233 25 1.04 0.3086

gender M 0 . . . .

age 0.8268 0.08222 25 10.06 <.0001

age*gender F -0.3504 0.1288 25 -2.72 0.0117

age*gender M 0 . . . .

PROC MIXED DATA=my.formixed;

CLASS gender person;

MODEL y = gender | age / htype=1 solution;

REPEATED / TYPE = un SUB = person;

RUN;


Additional analyses1

Additional Analyses


B4 kanekiyo michiwo

Ageの2,3次効果を取り除く前に

  • 共分散構造について検討

    • UN v.s. CSの尤度比検定を行う

      • LR=9.3737 df=8 p>.3

      • 共分散構造CSを指定っ!!

  • 固定効果検定

    • 1次のみ有意である

Type 1 Tests of Fixed Effects

Num Den

Effect DF DF F Value Pr > F

gender 1 25 9.29 0.0054

age 1 75 119.17 <.0001

age*gender 1 75 6.13 0.0155

age*age 1 75 0.73 0.3948

age*age*gender 1 75 0.61 0.4382

age*age*age 1 75 0.20 0.6583

age*age*age*gender 1 75 0.34 0.5595


B4 kanekiyo michiwo

晴れて2,3次を取り除き

Solution for Fixed Effects

Standard

Effect gender Estimate Error DF t Value Pr > |t|

Intercept 16.3406 0.9813 25 16.65 <.0001

gender F 1.0321 1.5374 25 0.67 0.5082

gender M 0 . . . .

age 0.7844 0.07750 79 10.12 <.0001

age*gender F -0.3048 0.1214 79 -2.51 0.0141

age*gender M 0 . . . .

Type 1 Tests of Fixed Effects

Num Den

Effect DF DF F Value Pr > F

gender 1 25 9.29 0.0054

age 1 79 122.45 <.0001

age*gender 1 79 6.30 0.0141


B4 kanekiyo michiwo

結果より

  • 年齢による変化は直線的であろう

    • さらに性別で傾きが違う

  • 男女それぞれの式

    • female: y=17.37 + 0.48age

    • male: y=16.34 + 0.78age

    • 切片同じというモデルは可能?

      • 1次(age*gender)がある

      • 基本は高次なものから外してゆく


B4 kanekiyo michiwo

切片同じモデル

  • t検定非有意(p>.51)=切片には差がない?

  • 切片違う v.s.切片同じの尤度比検定

    • LR=0.467 df=1 p>.4

    • 切片は同じとしてもよい(検定上は)

      • 尤度比検定:平均構造の場合はMLで

  • 男女それぞれの式

    • female: 16.76 + 0.52age

    • male : 16.76 + 0.76age


B4 kanekiyo michiwo

その他

  • 変量効果によるアプローチ

    • CSモデル=変量切片モデル

  • 性別ごとに違う共分散構造

    • groupオプション

  • などなどなど


Mixed model

やっぱMixed Modelでしょ!ご清聴ありがとうございました鳥居さんに続く・・・?

と、いうわけで


B4 kanekiyo michiwo

参考文献

  • まぜなれ資料

  • いつもの文献

    • 青本と黄本

  • Potthoff and Roy(1964)A Generalized Multivariate Analysis of Variance Model Useful Especially for Growth Curve Problems. Biometrika. 51, 313-326.データに関する部分のみ

  • David Hand and Martin Crowder(1996)PRACTICAL LONGITUDINAL DATA ANALYSISCHAPMAN&HALL (p15-24:直交対比の変換行列について)


B4 kanekiyo michiwo

参考HP

  • 千野研究室HP講義ノート

    • 反復測定(度)分散分析/基礎と応用

    • http://www.aichi-gakuin.ac.jp/~chino/anova/contents.html


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