C09 ネットワーク問題のモデル化とアルゴリズムの研究

C09ネットワーク問題のモデル化とアルゴリズムの研究C09ネットワーク問題のモデル化とアルゴリズムの研究伊藤大雄(京大) 岩間一雄(京大) 増澤利光(阪大) 宮崎修一(京大) 堀山貴史(埼玉大)

今回紹介する成果 • P2P探索の効率化 • 安定結婚問題の近似アルゴリズム • 競合比の自動証明 • 孤立クリーク・密部分グラフの列挙 • 組合せゲーム・パズルの成果

Peer to Peer (P2P) 探索の効率化 P2Pファイル共有システムピア（Peer）間の直接通信によるファイル交換例：Napster, Gnutella, BitTorrent, Winny 探索問題目的オブジェクト（ファイル等）を持つピアの探索最適化探索に要するメッセージ数の最小化探索問題の難しさ莫大な数のピア動的ネットワーク環境（ノードの参加・離脱）適応的な分散型解法が必要

ランダム探索モデル ランダム探索 (Miura, Tagawa, Kakugawa, IEEE TPDS, 2006) ファイル所有者はインデックスをランダムに散布探索者はランダムに探索クエリーを送付 B A A：Searcher B： Owner ：Object ：Index 散布・更新コストと探索コストのトレードオフ

研究成果（１） システム全体の総通信コストの最小化総コスト：（インデックス散布・更新コスト）　　　　　　　　　　　＋（探索コスト）＊（探索頻度）オブジェクトの探索頻度に応じてインデックス数を最適化

研究成果（２） • 自己適応型の探索アルゴリズム • 　　　　　ファイルの探索頻度（人気度）の変化 • 　　総コストの最適化（インデックス数の自己最適化）人気度が連続変化する場合人気度が離散変化する場合

安定結婚問題 例（N=5）男性女性 • 1: a c b d e a: 2 1 3 4 5 • 2: c a e b d b: 2 1 4 5 3 • 3: b a e d c c: 1 2 3 5 4 • 4: c b d e a d: 3 1 4 2 5 • 5: c d b e a e: 4 3 1 2 5 入力：男性　N 人女性　N 人各人の希望リスト出力：男女間の安定マッチング

安定結婚問題の応用 病院　－　研修医 NRMP (National Resident Matching Program) CaRMS (Canadian Resident Matching Service) SPA (Scottish Pre-registration house officer Allocations) JRMP (Japanese Resident Matching Program) 学校　－　生徒 Singapore [Teo, Sethuraman, Tan 1999]

本特定領域研究での成果 同順位と不完全リストを許す拡張に対して最大サイズの安定マッチングを求めることはＮＰ困難であることが知られていた。この問題に対して多項式時間近似アルゴリズムを与えた。 log N 2 - c ・[Iwama, Miyazaki, Okamoto; SWAT 2004, IEICE Trans. 2006] N 1 2 - c ・ [Iwama, Miyazaki, Yamauchi; ISAAC 2005] √ N ・ 1.875 [Iwama, Miyazaki, Yamauchi; SODA 2007] ・ 1.8 [現在] 男女にできるだけ平等な安定マッチングを求める問題はNP完全であることが知られていた。この問題に対し近似アルゴリズムを与えた。[Iwama, Miyazaki, Yanagisawa; WADS 2007]

オフラインの利得 競合比＝の最悪値オンラインアルゴリズムの利得オンライン・アルゴリズムの性能保証 • 競合比の解析 • 将来の情報なしに、いかにうまい行動をとるか • 将来の情報をすべて知っている場合の最良の選択にどれだけ迫れるかより良い競合比を示すには、詳細な場合分けに基づくアルゴリズム設計と競合比解析が必要

競合比改善のアイデアはあっても、場合分けが膨大となるため、競合比改善のアイデアはあっても、場合分けが膨大となるため、証明が困難計算機の援用による自動解析オフラインの利得競合比＝の最悪値オンラインアルゴリズムの利得オンライン・アルゴリズムの性能保証 • 競合比の解析 • 将来の情報なしに、いかにうまい行動をとるか • 将来の情報をすべて知っている場合の最良の選択にどれだけ迫れるかより良い競合比を示すには、詳細な場合分けに基づくアルゴリズム設計と競合比解析が必要

競合比の自動解析 • ２ビンのオンラインナップザック問題 • 競合比　上界 1.334 • 下界 1.281 • アイデア（無限を有限におさえる） • アルゴリズムの状態の遷移を自動生成、各状態で競合比解析 • アイテムを大きさをクラス分けして扱い、入力を網羅 • クラスに基づくと、ビンの状態は有限 • SS+LL≦１ or ＞１等の場合分けを自動生成 → 1.301（上下限一致）（人手による解析）

状態遷移図 276状態 • 状態遷移をすべて列挙 2. 各状態で競合比 ≦ 1.3334 を証明

< ck本の枝 k節点孤立クリーク・密部分グラフの列挙 • クリーク列挙：ウェブ探索などで近年注目されている。 • しかしクリークの問題は難しい・・・ • 最大クリーク発見問題⇒近似比: Ω (n1-ε) [Hastad 99] • 極大クリーク列挙⇒指数(Θ(3n/3))個ありうる[Moon, et al. 65] • そこで我々は・・・孤立クリークを導入 • 全c-孤立クリークをO(c422cm)時間で列挙！ • さらにc=O(1)⇔線形時間、c=O(logn)⇔多項式時間を証明。

孤立クリーク・密部分グラフの列挙 • 擬クリークPC(α,β): 誘導部分グラフの平均次数≧αかつ最小次数≧β、を定義し、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1-孤立擬クリーク　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ε>0)に対し、「ε=0 ⇔ 多項式時間列挙可能」を証明。 • 1-孤立２部クリークに対し、 • それが指数個存在し得ること • 部の大きさの比が定数のときの多項式時間総列挙アルゴリズム　を示した。

組合せゲーム・パズルの成果 • 半順序集合ゲーム（ニム、チョンプ等を含む古典的ゲーム）を拡張し重み付き半順序集合ゲームを提案。 • (0,1)重み：（重み無し）半順序ゲームに多項式時間帰着。 • 実数重み：半順序が全順序であるものに対する多項式時間必勝手順。 • 一般化三並べ • スネーキーの置き石１の必勝法　　　　　　　　　　⇒スネーキーのハンディキャップ数は0か1。

今回紹介した成果 • P2P探索の効率化 • 安定結婚問題の近似アルゴリズム • 競合比の自動証明 • 孤立クリーク・密部分グラフの列挙 • 組合せゲーム・パズルの成果

C09 ネットワーク問題のモデル化と アルゴリズムの研究