第十四章 达朗贝尔原理

1. 第十四章 达朗贝尔原理

2. 本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原理。应用这一原理，就将列动力学方程问题从形式上转化为列静力学平衡方程问题。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原理。应用这一原理，就将列动力学方程问题从形式上转化为列静力学平衡方程问题。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。 实质是：用静力学列平衡方程的方法来列动力学方程。 动力学问题没有变。

3. 第十四章 达朗贝尔原理 §14–1 惯性力 · 质点的达朗贝尔原理 §14–2 质点系的达朗贝尔原理 §14–3 刚体惯性力系的简化 §14–4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力

4. 是因为人要改变车的运动状态，由于车的惯性（小车要保持原来的运动状态）而引起的对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。是因为人要改变车的运动状态，由于车的惯性（小车要保持原来的运动状态）而引起的对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。 §14 - 1　惯性力 · 质点的达朗贝尔原理 一、惯性力的概念 人用手推车力为F，车的加速度为a。 由牛顿第二定律： 根据作用与反作用定律： 施力物体(人手)也受到一个力

5. 质点受力作用而改变运动状态时，由于本身的惯性对施力物体的反作用力。质点受力作用而改变运动状态时，由于本身的惯性对施力物体的反作用力。 质点惯性力定义： Force of Inertia [注] 1：质点惯性力不是作用在质点 上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。 [注] 2： 惯性力的作用点在施力体上。 质点惯性力在坐标轴上的投影：

6. 将 移项，得： 二、质点的达朗伯原理 非自由质点M，质量m，受主动力 ，约束力 作用， 质点的加速度 为： 代入上式，得： 质点的达朗伯原理 如果在质点上除了作用真实的主动力和约束力外，再 假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。 这就是质点的达朗伯原理

7. 该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。

8. 例 题 1 例题 达朗贝尔原理 如图所示一圆锥摆。质量m = 0.1 kg的小球系于长l = 0.3 m 的绳上，绳的一端系在固定点O，并与铅直线成θ=60º角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力F的大小。 O θ l

9. 例 题 1 例题 达朗贝尔原理 参见动画：达朗贝尔原理－例题1

10. 例 题 1 eb et en 例题 达朗贝尔原理 以小球为研究的质点。质点作匀速圆周运动，只有法向加速度，在质点上除作用有重力mg和绳拉力F外，再加上法向惯性力F*，如图所示。 解： O θ l 根据达朗贝尔原理，这三力在形式上组成平衡系，即 F 取上式在自然轴上的投影式，有： F* mg

11. 例 题 1 O θ l eb F et en F* mg 例题 达朗贝尔原理 解得：

12. 例 题 2 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。 例题 达朗贝尔原理 参见动画：达朗贝尔原理－例题2

13. 例 题 2 例题 达朗贝尔原理 1、研究对象：摆锤 M 解： 2、受力分析： 3、运动分析：车作平动 惯性力 方向如图所示 4、由动静法, 有： 解得

14. 例 题 2 角随着加速度 的变化而变化，当 不变时， 角也不变。只要测出角，就能知道列车的加速度 。摆式加速计的原理。 例题 达朗贝尔原理

15. 例 题 3 α ω 例题 达朗贝尔原理 球磨机是一种破碎机械，在鼓室中装进物料和钢球，如图所示。当鼓室绕水平轴转动时，钢球被鼓室携带到一定高度，此后脱离壳壁而沿抛物线轨迹落下，最后与物料碰撞以达到破碎的目的。如已知鼓室的转速为nr/min，直径为D。设钢球与壳壁间无滑动，试求最外层钢球的脱离角α 。

16. 例 题 3 α F* F ω FN mg 例题 达朗贝尔原理 解： 以钢球为研究对象。设钢球的质量为m。受力如图示。 鼓室以匀角速度ω转动，钢球尚未脱离壳壁时，其加速度为： 加惯性力，其大小为 应用质点动静法

17. 例 题 3 F FN mg α ω 例题 达朗贝尔原理 求得 显然当钢球脱离壳壁时，FN=0，由此可求出其脱离角α为 即脱离角α与鼓室转速n有关。

18. §16-2 质点系的达朗伯原理 设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 主动力的合力 质点的惯性力 约束力的合力 质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束力和它的惯性力形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。

19. 注意到 , 将质点系受力按内力、外力划分, 则 质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束力和它的惯性力形式上组成平衡力系。——质点系的达朗伯原理。 用方程表示为：

20. 公式表明：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成力系。——这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。公式表明：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成力系。——这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。 可见：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。

21. 用动静法求解动力学问题时， 对平面任意力系： 对于空间任意力系： 实际应用时, 同静力学一样可任意选取研究对象, 列平衡方程求解。

22. 例 题 5 例题 达朗贝尔原理 如图所示，滑轮的半径为r，质量为m均匀分布在轮缘上，可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1和m2的重物,且m1>m2 。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦忽略不计。求重物的加速度。 r O B A

23. 例 题 5 例题 达朗贝尔原理 参见动画：达朗贝尔原理－例题5

24. 例 题 5 FN mg a m2g a m1g 例题 达朗贝尔原理 以滑轮与两重物一起组成的质点系为研究对象。 解： y 在系统中每个质点上假想地加上惯性力后，可以应用达朗贝尔原理。 r O 已知m1>m2，则重物的加速度a方向如图所示。 B 重物的惯性力方向均与加速度a的方向相反，大小分别为： A

25. 例 题 5 y FN r mi O mg B A a m2g a m1g 例题 达朗贝尔原理 滑轮边缘上各点的质量为mi ，切向惯性力的大小为 ，方向沿轮缘切线，指向如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，at=a ; 法向惯性力的大小为 方向沿半径背离中心。 应用对转轴的力矩方程 MO（F）=0，得 或

26. 例 题 5 y FN r mi O mg B A a m2g a m1g 例题 达朗贝尔原理 因为 解得

27. §16-3 刚体惯性力系的简化 简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 （主矢） 和一个惯性力偶 （主矩）。 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 下面讨论刚体作平动、定轴转动和平面运动时惯性力偶（主矩）。

28. 质心相对质心的距离。 一、刚体作平动 向质心C简化： 刚体平动时惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。

29. 二、定轴转动刚体 向转轴上任一点O简化： 刚体上任一点i的惯性力： 下面分别计算惯性力系对x，y，z轴的矩，分别以MIx， MIy， MIz表示

30. 令： 称为对z轴的惯性积，它取决于刚体质量对于坐标轴的分布情况

31. 刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点O简化的主矩为刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点O简化的主矩为 如果刚体具有垂直于转轴的质量对称平面，简化中心O取为此平面与转轴的交点，则 惯性力系简化的主矩为 当刚体质量有对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。

32. 向O点简化：（转轴） 作用在O点。 向质点C点简化： 作用在C点。

33. 讨论： ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。

34. 讨论： ②转轴过质点C，但0，惯性力偶 （与反向） 参见动画：刚体惯性力系的简化－讨论2

35. 讨论： ③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则 （主矢、主矩均为零） 参见动画：刚体惯性力系的简化－讨论3

36. 三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。 刚体平面运动可分解为 随基点（质点C）的平动： 绕通过质心轴的转动：  作用于质心 有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。

37. 对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程： 实质上：

38. 例题 达朗贝尔原理 例 题 6 C h c b A B 汽车连同货物的总质量是m，其质心 C离前后轮的水平距离分别是 b和 c，离地面的高度是 h。当汽车以加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。轮子的质量不计。

39. 例题 达朗贝尔原理 例 题 6 F * a FB mg FNA FNB C h c b A B 取汽车连同货物为研究对象。 解： 受力分析：mg ，FNA ， FNB以及 FB(注意：前轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不计)。 运动分析加惯性力：汽车作平动， F *= Ma，加在质心 C。 于是可写出汽车的动态平衡方程 由式(1)和(2)解得

40. 例 题 7 例题 达朗贝尔原理 起重装置由匀质鼓轮D（半径为R，重为W1）及均质梁AB（长l=4R，重W2=W1）组成，鼓轮通过电机C（质量不计）安装在梁的中点，被提升的重物E重 。电机通电后的驱动力矩为M，求重物E上升的加速度a及支座A，B的约束力FNA及FNB。 D O C A B A E

41. 例题 达朗贝尔原理 例 题 7 以鼓轮D，重物E及与鼓轮固结的电机转子所组成的系统（图b）为研究对象。 解： FOy M FOx D O M为电机定子作用在转子的驱动力矩。 O  α W1 其中 E (b) 解得 W

42. 例 题 7 例题 达朗贝尔原理 2. 考虑整个系统（图c） ，加惯性力后受力如图。 M* D C O  W1 Fx A A B FNB W2 FNA E W F* (c)

43. 例题 达朗贝尔原理 例 题 8 R C O W1 A W2 半径为R，重量为W1的大圆轮，由绳索牵引，在重量为W2的重物A的作用下，在水平地面上作纯滚动，系统中的小圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。

44. 例题 达朗贝尔原理 例 题 8 参见动画：达朗贝尔原理－例题8

45. 例题 达朗贝尔原理 例 题 8 FOy C FOx O R FN F A W2 解： 考察整个系统，有4个未知 约束力。 W1 如果直接采用动静法，需将系统拆开。因为系统为一个自由度，所以考虑先应用动能定理，求出加速度，再对大圆轮应用动静法。 1. 应用动能定理。

46. 例题 达朗贝尔原理 例 题 8 FOy C FOx O R FN F A W2 两边对时间t求导，且 W1 得 1. 应用动能定理。

47. 例题 达朗贝尔原理 例 题 8 FOy C O R FN F A a MIC W2 将 代入上式得 a FIR W1 F FN 2. 应用动静法。 取轮子为研究对象。 FOx W1 C

48. 例题 达朗贝尔原理 例 题 9 O l l l A B C 用长 l的两根绳子 AO和 BO 把长l ，质量是 m 的匀质细杆悬在点 O (图 a)。当杆静止时，突然剪断绳子BO，试求刚剪断瞬时另一绳子 AO的拉力。 （a）

49. 例题 达朗贝尔原理 例 题 9 参见动画：达朗贝尔原理－例题9

50. 例题 达朗贝尔原理 例 题 9 O l l F θ A B C mg （b） O B θ A x C α （c） y 绳子BO剪断后，杆AB将开始在铅直面内作平面运动。由于受到绳OA的约束，点A将在铅直平面内作圆周运动。在绳子BO刚剪断的瞬时，杆AB上的实际力只有绳子AO的拉力F和杆的重力mg。 解： 在引入杆的惯性力之前，须对杆作加速度分析。取坐标系Axyz 如图(c)所示。 利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心C作基点，则点A的加速度为 aA= anA+ atA= aCx + aCy + atAC+ anAC