Download
1 / 10
100 likes | 286 Views
Matematika. Obsah. Úvod. Kombinatorika Kvadratická rovnica. O začiatkoch kombinatoriky toho veľa nevieme,ale hneď prvá informácia je veľmi zaujímavá.Kombinatorika,na rozdiel od mnohých iných častí matematiky,nepochádza z Grécka,ale z Indie.
E N D
Obsah • Úvod • Kombinatorika • Kvadratická rovnica
O začiatkoch kombinatoriky toho veľa nevieme,ale hneď prvá informácia je veľmi zaujímavá.Kombinatorika,na rozdiel od mnohých iných častí matematiky,nepochádza z Grécka,ale z Indie. Spočiatku sa kombinátorické úlohy riešili vypisovaním všetkých možností,no prvé vzorce môžeme predpokladať u Varahamihiru,ktorý chystajúc sa vyrábať parfumy, uvažoval,že ak vždy zmieša štyri zo 16 základných ingrediencií,tak dostane 1820 voňa- viek. „Z dvoch kameňov postavíš dva domy,z troch kameňov postavíš šesť domov,zo štyroch postavíš dvadsaťštyri domov,z piatich stodvadsať,zo šiestich sedemstodvadsať a zo sied- mich päťtisíc štyridsať.’’- tvrdí mystická židovská kniha Sefer Yetzirah. Teraz je už jasné, že autor v 3.storočí n.l. nehovorí o ničom inom ako o faktoriáloch. Abraham ibn Ezra (1090-1167),rabín žijúci vo Francúzsku,pozerajúc na hviezdy podrobne odvodil pravidlo na výpočet k-prvkových kombinácií zo 7 prvkov (pre k = 2 až 7).Urobil to preto,lebo ho zaujímal počet všetkých možných konjukcií siedmich (podľa neho) planét- Slnka,Mesiaca,Merkúra,Venuše,Marsu,Jupitera a Saturnu. Od 13.stor.sa už v mnohých prácach objavujú aj kombinatorické dôkazy a matematici odvodzujú zložitejšie vzťahy.
Faktoriál n! = súčin prirodzených čísel 1- n 1!=1 0!=1 Kombinačné číslo -je celé nezáporné číslo n - n nad k k n - počet prvkov množiny n! n = k k-prvkové podmnožiny (n - k)! k!
Binomická veta n n n n n (a+b)n = an + an-1 b+ an-2 b2+…+ abn-1+ bn 1 n-1 n 0 2 n Pre k-tý člen platí:Ak= an-k+1 *bk-1 k-1 Variácie a permutácie Variáciou k-tej triedy z n prvkov bez opakovania dnej základnej n- prvkovejmnožiny (0 je menšia,alebo rovná ka zároveň k je menšie,alebo rovné) je každá usporiadaná k-tica zostavená z týchto prvkov tak,že záleží na ich poradí. n! V(k,n)= V´(k,n) = nk (n-k)! ak k=n - V(n,n)=P(n)=n! -permutácie
Kombinácie Kombináciou k-tej triedy z n prvkov bez opakovania danej základnej n - prkovejmnožiny(0<alebo=k a k<=n ) je každá k-tica rôznych prvkov zostavená z prvkov základnej množiny tak,že nezáleží na ich poradí. n! C(k,n )= (n-k)!k!
Čo je matematika? Matematika je veda ktorá študuje čísla(kvantita- tívne vzťahy) a útvary(priestorové vzťahy). Postupným vývojom vznikli rôzne odvetvia matematiky,ako napr.algebra(zovšeobecnené vý- počty) alebo geometria(náuka o tvaroch), ktoré pomáhajú konštruovať stroje,budovy a vyhodno- covať skutočnosti okolo nás.
Lineárne a kvadratické rovnice vedeli ľudia riešiť už od prvých počiatkov matematiky.Situácia s rovnicami „obsahujúcimi x3”,tj.kubickými rovnicami,bola však iná.Fibonacci(15.stor.) dokonca vyslovil názor,že sa ich nikdy nepodarí vyriešiť.Takýto názor však niektorých skôr vyprovokuje k úpornému hľadaniu, ako odradí.A naozaj,Scipionovi del Ferro(1465-1526),profesorovi matematiky v Bologni,sa podarí nájsť riešenie.Necháva si to pre seba a až na smrteľnej posteli prezrádza svoje umenie svojmu nástupcovi na katedre-zaťovi Hannibalovi de la Nave a žiakovi Mariovi Fioremu.Fiore po smrti svojho učiteľa to chce zúročiť. Vyzve na súťaž v riešení problémov benátskeho matematika Tartagliu(1500?-1557)(bolo to vtedy bežné,jeden druhému poslali úlohy a po nejakom čase ich potom pred obecenstvom riešili.Ten, kto prehral,platil potom pohostenie pre celú spoločnosť,víťazova sláva sa zas šírila svetom).Medzi úlohami ,ktoré Fiore poslal,boli aj kubické rovnice.Trataglia bol pokojný,lebo si myslel ,že ani Fiore sám ich nevie riešiť.Potom sa však dopočul,že Fiore ich vie rišiť.Tartaglia pochopil,že situácia je vážna,snažil sa zo všetkých síl a…8 dní pred súťažou sa mu to podarí vyriešiť.Tartaglia súťaž vyhráva. Cardano(1501-1576)úskokom vymáni od Tartagliu tajomstvo a napriek sľubu ho publikuje pod svojím menom v knihe Ars magna…‘‘ Veľké umenie alebo o pravidlách algebry“ a stane sa slávny.
Kvadratickú rovnicu s jednou neznámou „ x “ možno vyjadriť v tvare ax2 +bx + c = 0 , kde a,b,c sú reálne čísla, a = 0. - b + b2 -4ac Vzorec: x1/2 = 2a D = b2 - 4ac ak D = 0 tak 1 rieš D 0 nemá riešenie D 0 2 riešenia normovaný tvar= x2 + px + q = 0 platí: x1+ x2 = - p a x1 . x2= q
