Vermischungsvorg nge
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Vermischungsvorgänge. Modellierung der Wasserqualität in Fliessgewässern W. Kinzelbach, O. Cirpka SS 06. Molekulare Diffusion (1). Angetrieben durch Brownsche Molekularbewegung Nur wichtig in Grenzschichten und bei Transport über sehr kleine Distanzen

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Vermischungsvorgänge

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Presentation Transcript


Vermischungsvorg nge

Vermischungsvorgänge

Modellierung der Wasserqualität in Fliessgewässern

W. Kinzelbach, O. Cirpka

SS 06


Molekulare diffusion 1

Molekulare Diffusion (1)

  • Angetrieben durch Brownsche Molekularbewegung

  • Nur wichtig in Grenzschichten und bei Transport über sehr kleine Distanzen

  • Beschreibung durch das Fick‘sche Gesetz

  • Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung

  • Diffusionsgleichung

  • Diffusionskonstante ist Produkt aus mittlerer molekularer Geschwindigkeit und mittlerer freier Weglänge

(+ Anfangs- und Randbedingungen)


Molekulare diffusion 2

x

Molekulare Diffusion (2)

  • Asymptotik

    • Wachstum der Verteilungsbreite proportional

    • Nach Einstein: Molekulare Diffusion ist Random Walk Prozess

    • Z. B. in 1D entlang x-Achse: Schrittweite L in Zeit t, N Schritte in Zeit t (N = t/t)

Beweis durch vollständige Induktion.

Aus Richtigkeit für N folgere Richtigkeit für N+1


Turbulente diffusion 1

Turbulente Diffusion (1)

  • Angetrieben durch Turbulenz (Wirbel)

    • Taylor‘s Theorie der turbulenten Diffusion (im mitbewegten Koordinatensystem d.h. <u>=0)

Ensemblemittel


Turbulente diffusion 2

1

t

Turbulente Diffusion (2)

  • Lagrange‘sche Autokorrelationsfunktion für stationäre Turbulenz

R(t)

Lagrangesche Zeitskala

Ersetze s = t2 - t1, t = (t1 + t2)/2

Analog für


Turbulente diffusion 3

Turbulente Diffusion (3)

  • Grenzbetrachtungen

    • Für sehr kleine t ist Rx ungefähr 1

      also kein Diffusionsprozess da proportional zu t2

    • Für sehr grosse t (t > TL)

    • Turbulenter Diffusionskoeffizient


Turbulente diffusion 4

Turbulente Diffusion (4)

  • Zwischen beiden Zeitskalen Richardson/Batchelor

    • Betrachte relative Diffusion bezüglich Schwerpunkt

4/3-Gesetz empirisch bestätigt in „grossen“ Strömungen

Ursache: Energiedichtespektrum der Wirbel, die Energie von grosser zu kleiner Skala transportieren


Turbulente diffusion 5

Turbulente Diffusion (5)

  • Drei Ausbreitungsstadien

    • Differentielle Advektion

    • Zwischenbereich

    • Asymptotische Fick‘sche Diffusion


Formeln f r die turbulente diffusion 1

Formeln für die turbulente Diffusion (1)

Vertikale turbulente Mischung im breiten Fluss

Karmankonstante k

Log-Profil:

z

z‘

und

mit

zb

Reynoldsanalogie

d.h. Annahme der Analogie zwischen turbulentem Impulstransport und

turbulentem Transport des gelösten Stoffes

Mittelung von hturb über die Tiefe und k = 0.4 liefert


Formeln f r die turbulente diffusion 2

Formeln für die turbulente Diffusion (2)

Transversale turbulente Mischung

Empirischer Ansatz in Analogie zur vertikalen Mischung

mit e* = 0.2 ... 0.8

Fischer e* = 0.6


Dispersion in scherenden str mungen

b

y

x

Dispersion in scherenden Strömungen

  • Laminarer Fall: Taylor (2D Strömung zw. Platten, Breiteneinheit)

Transformation ins mitbewegte Koordinatensystem

Vernachlässigung des longitudinalen Diffusionsterms

Annahme: Gleichgewicht zwischen longitudinaler differentieller Advektion und lateraler Diffusion


Reynolds zerlegung

Reynolds-Zerlegung

im Raum

bei Dispersion

in Zeit

bei turb. Diffusion


L sung

Lösung

Einsetzen liefert den Massenfluss über den Querschnitt

Identifikation mit einem Fluss-Gradienten-Gesetz liefert die Definition

des Dispersionskoeffizienten Dx


Analog herleitung des dispersionskoeffizienten in turbulenter str mung

Analog: Herleitung des Dispersionskoeffizienten in turbulenter Strömung

  • Ausgangspunkt: Gleichgewicht zwischen longitudinaler differentieller Advektion und transversaler turbulenter Diffusion

  • Im mitbewegten Koordinatensystem x = x – ut gilt:

(*)

Sowohl vertikales u‘-Profil als auch horizontales u‘-Profil wirken bei der

Längsdispersion mit. I. Allg. ist das Querprofil wichtiger, da das log. Tiefenprofil

ausgeglichener ist. Gleichung (*) wird deshalb tiefengemittelt


L sung1

Lösung

  • Zweimalige Integration über y von 0 bis y liefert

  • Daraus folgt der dispersive Massenfluss

  • und durch Vergleich mit der Fluss-Gradienten-Form der Dispersionskoeffizient Dx

(**)


Formeln f r die dispersion

Formeln für die Dispersion

  • Formel von Fischer (aus (**) formal durch Einsetzen von konstanter Tiefe)

    u‘ aus gemessenen Profilen

  • Näherungsformel für (***)

  • Werte für den Rhein: Dx = 100 – 1000 m2/s

  • (***)


Analytische l sungen der transportgleichung 1

Analytische Lösungen der Transportgleichung (1)

  • Momentaner Tracerstoss

  • Permanente Tracereinleitung

  • Tracerstoss der Dauer Dt


Analytische l sungen der transportgleichung 2

Analytische Lösungen der Transportgleichung (2)

  • Stationäre Lösung ( t gegen unendlich in cpermanent)

  • Für x > 0:

  • Für x < 0:

  • Anwendung: Bestimmung des Dispersionskoeffizienten in einem gut durchmischten Ästuar aus Salinitätsverteilung (l = 0)

„Upstream“ Dispersion

Meer

c = c0

x > 0

Ästuar

c < c0

x > 0

x = 0


Analytische l sungen der transportgleichung 3

u

y

s(x)

x

Analytische Lösungen der Transportgleichung (3)

  • Stationäre Lösung für Fahne in Ufernähe

  • Approximation falls:

  • Fahnenbreite

    Methode zur Messung von ey im Tracerversuch

K0 ist eine Besselfunktion)

Falls Anfangsbreite >0


Probleme der 1d behandlung

Probleme der 1D-Behandlung

  • 1D-Modell in natürlichen Flüssen oft nicht bestätigt, Totwasserzonen!!

  • Ausweg: Heterogenes Modell (2 Transportgleichungen)

  • Anwendbarkeit des 1D-Modells erst nach Fliesslänge L mit

Hauptfluss

u < 0

Totwasser

u = 0


Tiefenmischung in seen

Tiefenmischung in Seen

  • Tiefenmischung in Seen wird behindert durch stabile Dichteschichtung

  • Dichteschichtungen kommen zustande durch:

    • Temperaturgradienten

    • Salinitätsgradienten

  • Stabile Schichtung:

  • Stabil bedeutet: Wasserpaket kehrt nach Auslenkung in die Ausgangslage zurück


Stabilit tsfrequenz 1

Stabilitätsfrequenz (1)

  • Infinitesimale Auslenkung eines Wasserpakets mit Masse m, Volumen V um Strecke z führt zu Auftriebskraft:

  • Das Wasserpaket schwingt mit der Frequenz N (T = 2p/N)

  • N heisst Stabilitätsfrequenz (oder Brunt–Väisälä-Frequenz)

z

z


Stabilit tsfrequenz 2

Stabilitätsfrequenz (2)

  • Bei negativem N ist die Schichtung instabil

  • Der vertikale Mischungskoeffizient ist ein Funktion von N

  • Falls auch die Salinität an der Dichteverteilung über die Tiefe beteiligt ist, gilt:

  • Berücksichtigt man die Abhängigkeit der Dichte vom Druck, so muss die potentielle Temperatur q statt der tatsächlichen Temperatur T betrachtet werden, d.h. die um den adiabatischen Temperaturverlauf bereinigte Temperaturverteilung (erst im tiefen Ozean wichtig)


Vertikale turbulente vermischung

Vertikale turbulente Vermischung

  • Turbulente Vermischung wirkt der stabilen Schichtung entgegen

  • Instabile Schichtung erzeugt konvektive Turbulenz und damit Vermischung

  • Bezogen auf die Masse

  • N2 < 0 Turbulenz wird angefacht, N2 > 0 Turbulenz wird gedämpft


Charakteristische dimensionslose zahl

Charakteristische dimensionslose Zahl

  • Gradienten-Richardson-Zahl:

  • Vergleicht die relative Wichtigkeit von Turbulenz und Stratifikation

  • Definition:

Stratifikation

Produktion von Turbulenz


Vertikaler vermischungskoeffizient

Vertikaler Vermischungskoeffizient

  • Empirische Ansätze haben die Form:

  • Messung von ez aus Spurenstoffprofilen (z. B. Radon) oder Temperaturprofilen


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