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História da Álgebra. Concepções históricas. Álgebra Clássica ou elementar : que trata do estudo das equações e das operações clássicas sobre generalizações discretas ou contínuas. Álgebra Moderna ou abstrata : que trata de estruturas matemáticas tais como grupo, anéis, corpos, etc.

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História da Álgebra

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Presentation Transcript


História da Álgebra


Concepções históricas

  • Álgebra Clássica ou elementar: que trata do estudo das equações e das operações clássicas sobre generalizações discretas ou contínuas.

  • Álgebra Moderna ou abstrata: que trata de estruturas matemáticas tais como grupo, anéis, corpos, etc.


Desenvolvimento em função da sua linguagem

  • Retórica ou verbal

  • Sincopada

  • Simbólica


1. Retórica ou verbal

Não se usava símbolos nem abreviações para expressar o pensamento algébrico, ou seja, as palavras eram empregados em seu próprio sentido simbólico. Esta teria sido a álgebra dos egípcios, dos babilônios e dos gregos pré-diofantinos. Exemplo: quando se diz “a ordem dos fatores de dois números não altera o produto”.


2. Álgebra sincopada

  • Foram usadas mais formas abreviadas e coisas para expressar as palavras e assim convertido em autênticos “ideogramas algébricos”.

  • Diofano foi o primeiro a usar a letra sigma para representar suas equações.

  • No século XVII esse recursos também foi usado por Cardano onde a expressão “cubus p.6 rebus aequalis 20” passaria a ter posteriormente, a forma simbólica x3+6x=20


Retórica  Sincopada

  • minus

  • m

  • -


3. Álgebra simbólica

  • As idéias passariam a ser expressas somente através de símbolos, sem recorrerem ao uso de palavras.

  • Vieté (1540 - 1603) foi um dos principais responsáveis pela introdução de novos símbolos, assim como Descartes (1596 - 1650) pela utilização das últimas do alfabeto x, y e z como incógnitas ou variáveis e as primeiras letras como constantes.


Hindus e Árabes

  • Os hindus desenvolveram os métodos babilônios e Brahmagupta (598 - 665) usava já abreviações para incógnitas e admitia valores negativos.

  • Os árabes não lidavam com negativos nem tinhas abreviações, mas Al-Khwarizmi (800) classificou os diversos tipos de equações algébricas usando raízes, quadrados e números, em linguagem moderna seriam x, x2 e constantes.


Frei Luca Pacioli (1445-1517)

Em 1494 surgiu na Europa a primeira edição de Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita, de Luca Pacioli.

Já resolvia alguns tipos de equações de grau 4.


Scipione del Ferro (1465-1526)

Professor da Universidade de Bologna e conheceu Pacioli quando este visitou Bologna nos anos 1501 e 1502.

Del Ferro conseguia resolver a cúbica da forma x3 + mx = n.


Tartaglia (1499-1557)

Pouco antes de morrer em 1526, Scipione revelou seu método para seu aluno Antonio Fior.

Fior espalhou a notícia e logo Nicolo de Brescia, conhecido como Tartaglia conseguiu resolver equações da forma

x3 + mx2 = n e também espalhou a notícia.

Fior desafiou Tartaglia para uma disputa pública e cada um podia dar ao outro 30 problemas com 40 ou 50 dias para resolvê-los.


Girolamo Cardano (1501-1576)

Tartaglia resolveu todos os problemas de Fior em 2 horas, pois todos eram do tipo

x3 + mx = n.

Mas 8 dias antes do fim do prazo, Tartaglia encontrou um método geral para todos os tipos de cúbicas.

Essa notícia chegou a Girolamo Cardano em Milão onde ele se preparava para publicar sua Practica Arithmeticae (1539).

Cardano convidou Tartaglia para visitá-lo.


Cardano convenceu Tartaglia a contar para ele seu segredo, promentendo aguardar até que Tartaglia o tivesse pulicado, mas em 1545 Cardano publicou o segredo de Tartaglia em seu Ars Magna. Nessa obra, Cardano resolve x3 + mx = n.

Cardano percebeu algo estranho quando aplicava o método a x3 = 15x + 4, obtendo uma expressão envolvendo a raíz quadrada de -121.

Cardano sabia que x = 4 era uma solução da equação. Então escreveu para Tartaglia em 4 de agosto de 1539 para tirar sua dúvida.

Tartaglia não soube explicar, então Cardano publicou sua solução que envolvia “números complexos” sem entendê-los, dizendo que isso era “tão sutil quanto inútil”.


François Viète (1540 - 1603)

O caso irredutível da cúbica, em que a fórmula de Cardano leva a uma raiz quadrada de número negativo, foi resolvido por Rafael Bombelli em

1572.

250 anos se passaram sem que ninguém conseguisse resolver a quíntica, embora muitos matemáticos tenham tentado, como Viète, Harriot, Tschirnhaus, Euler, Bezout

e Descartes.


Paolo Ruffini (1765-1822)

Ruffini, um médico e padre italiano, foi o primeiro a propor uma demonstração de que a equação geral do quinto grau não podia ser resolvida por radicais.

Mas seu tratado de 1798 não apresentava uma demonstração satisfatória.


Niels Henrik Abel (1802-1829)

Um jovem matemático norueguês, Abel, apresentou uma prova completa da impossibilidade da solução da quíntica por radicais.

Sua demonstração envolvia aplicar resultados de permutações sobre o conjunto das raízes da equação.


Abel pesquisou dois problemas:

1. Encontrar todas as equações de grau qualquer que são solúveis algebricamente.

2. Decidir se uma equação dada é soluvel algebricamente ou não.

Embora não tenha resolvido esses problemas em vida, Abel obteve um resultado particularmente interessante.

Abel generalizou a solução de Gauss para a equação xn - 1 = 0, na qual todas as raízes são expressas como potência de uma delas.

Gauss (1777-1855)


Evariste Galois (1811-1832)

Abel não pode terminar seu programa, mas sua tarefa foi levada adiante por outro jovem de vida curta, Galois.

Suas idéias sobre a solução de equações algébricas por radicais foram apresentadas em um manuscrito submetido à Academia Francesa em 1829 (ele tinha 17 anos).


Cauchy (1789-1857)

O que é certo é que Galois teve sua teoria rejeitada muitas vezes.

Seu primeiro manuscrito de 1829 submetido à Academia Francesa foi rejeitado por Cauchy (1789-1857).

Os biógrafos dizem que Cauchy desprezou o artigo, que o perdeu etc.


Desenvolvimento da álgebra

Se deve aos esforços e contribuições dos matemáticos europeus do Renascimento e da época clássica. Dentre eles destacam-se:

  • Fibonacci

  • Pacioli

  • Chuquet

  • Bourrel

  • Stiffel

  • Cardano


Fim


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