Dinámica de la partícula

1. Dinámica de la partícula Ivana Devita Alejandro Brusco Federico Senattore 2008

2. Índice • Introducción • Letra del problema • Fundamento teórico • Desarrollo de ideas • Resolución del ejercicio • Otros casos • Gráficos

3. Introducción • Estudiaremos el movimiento de un sistema de 2 masas vinculadas por una cuerda. Por lo tanto, el movimiento de cada una, está relacionado con el movimiento de la otra. Resolveremos el ejercicio y luego procederemos a realizar algunos cambios, asignanado diferentes condiciones iniciales con el fin de ampliar el ejercicio. Estos cambios serán en cuánto a las aceleraciones, y la relación entre las masas.

4. Hombre parado sobre plataforma Bloque de masa M Cuerda Plataforma Representación gráfica Las flechas gruesas indican para dónde se mueve la cuerda en el primer caso

5. Problema • ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? • El bloque llega a la polea que cuelga del techo antes que la plataforma. • El bloque llega a la polea que cuelga del techo después que la plataforma. • El bloque y la plataforma llegan simultáneamente a la polea que cuelga del techo. • Sólo el bloque llega a la polea que cuelga del techo ya que la plataforma permanece en su posición inicial. • No es posible que el bloque o la plataforma lleguen hasta la polea que cuelga del techo.”

6. Plataforma Comenzamos explicando porque tomar el sistema hombre-plataforma como uno sólo y no por separado, estudiando en él las fuerzas internas j j) T + FP->H – mH.g = mH.a - FH->P – mP.g = mP.a Por acción y reación (3era ley): FP->H = - FH->P T – g.(mH + mP) = a.(mH + mP) mH + mP = MPor hipótesis T – g.M = M.a ---> Sistema hombre - plataforma

7. 1 2 Nos tomamos un sistema de referencia inercial, aplicando la primera ley de Newton, luego desarrollamos el diagrama de cuerpo libre para identificar por separado las fuerzas existentes sobre cada objeto. 2da Ley de Newton Aplicando la Ley Horaria llegamos a la conclusión que las velocidades son iguales y por partir desde la misma altura, llegarán a la polea a la vez. Solución: Opción C

8. ¿Cómo reaccionaría el sistema en cada uno de estos casos? • Caso 1: a1 > a2 • Caso 2: a1 < a2 • Caso 3: a1 = 0 • Caso 4: a2 = 0 • Variando las masas Aplicando una fuerza externa

9. 1 2 x1 x2 k Para generar estas aceleraciones, es necesario ejercer una Fuerza (Tensión) externa

10. Caso1: ¿es posible que a1>a2 ? Definimos α: Aplicando ley horaria vemos que v1>v2 M1 llega antes a la polea que M2 ¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra?

11. Caso2: ¿es posible que a1<a2 ? Definimos β: Aplicando ley horaria vemos que v1<v2 M2 llega antes a la polea que M1 ¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra?

12. Caso3: a1=0 --> a2 =g ¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra? M1 queda quieto porque su velocidad inicial y aceleración, valen 0. En cambio M2 sube por tener velocidad positiva. Sólo cuando M2 llega a la polea, M1 comienza a subir. Conclusión, M2 llega antes a la polea que M1.

13. Caso4: a2=0 --> a1=(-g/2) ¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra? Aplicando ley horaria vemos que v1<0 Entonces M1 y M2 nunca llegan a la polea.

14. ¿Qué pasa con el sistema si variamos las masas? Diagrama de cuerpo libre

15. Gráficos

16. De ésta gráfica podemos concluir que cuando la a2=g, y gamma=1 (o sea que m1=m2), a1=0. Además, otra curiosidad es que cuánto mayor es gamma (o sea que cuánto mayor es m1 con respecto a m2), la a1 es cada vez menor. Concluimos entonces, que la relación entre m1 y m2, es inversamente proporcional a a1.

17. Aquí observamos que el menor valor que toman las 3 funciones es -9,8 (-g) para cuando gamma toma un valor tendiendo a ∞. Conclusión: Cuando m1/m2 tiende a 0, a1 tiende a +∞. Cuando m1/m2 tiende a +∞, a1 tiende a –g. Cuando m1/m2=1 y a2=g, a1=0.

18. Según la gráfica, ésta función es uniformemente continua en el intervalo (0,+∞). Cuando gamma tiende a 0, la función (a2) tiende a -g. Y cuando gamma tiende a +∞, la función (a2) tiende a +∞. La función es una recta, esto significa que es a2 es linealmente proporcional a gamma. Entonces se corresponde con una ecuación de 1er grado.

19. Al observar la segunda gráfica con únicamente puntos extremos (gamma=1,00x10-300 y gamma=1,00x10300), comprobamos que el codominio de la función es el intervalo [g,+∞).