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Método dos Mínimos Quadrados

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Método dos Mínimos Quadrados. Motivação. A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros.

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Presentation Transcript
motiva o
Motivação
  • A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar
  • Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros
slide3
Há necessidade de ajustar à função tabelada, uma função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados
  • Esta boa aproximação deve permitir extrapolação com uma certa margem de segurança
caso discreto
Caso discreto
  • Sejam dados os pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), ..., (xm,f(xm)) os pontos conhecidos
  • Sejam g1(x), g2(x), ..., gn(x) funções escolhidas de alguma forma
  • Sendo m >= n
slide12
O objetivo é determinar coeficientes α1, α2,..., αn tal que
  • h(x)= α1g1(x)+ α2g2(x)+...+ αngn(x)
  • E h(x) se aproxime ao máximo de f(x)
slide13
Seja dk = f(xk) – h(xk) o desvio em xk
  • O objetivo é encontrar α tal que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima
minimizando os desvios
Minimizando os desvios
  • Do cálculo diferencial: para obter um ponto de mínimo de F(α1,α2,...,αn) devemos encontrar os pontos críticos
  • Devemos encontrar os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero
propriedades
Propriedades
  • aij = aji – a matriz A é simétrica
  • Se as funções gi(x) forem tais que os vetores gi resultantes forem linearmente independentes, o sistema admite uma única solução
  • Se o sistema tem uma única solução, esta solução é o ponto mínimo da função F(α1,α2,...,αn)
exemplo
Exemplo
  • Seja o conjunto de pontos:
  • Ajuste uma parábola do tipo x2aos pontos usando MQ
slide25
Assim, h(x)=2,0642 x2 é a parábola que melhor se aproxima no sentido dos mínimos quadrados, da função tabelada
para o caso cont nuo
Para o caso contínuo
  • Vimos o método dos mínimos quadrados para o caso discreto
  • Como fazer para o caso contínuo?
slide29

...

Onde [a,b] é o intervalo onde f(x) e todas as gi(x) são contínuas

casos n o lineares
Casos não Lineares
  • Em alguns casos a família de funções pode ser não linear nos parâmetros
  • Nestes casos, deve-se linearizar o problema através de uma transformação conveniente
  • O método dos mínimos quadrados pode ser aplicado no problema linearizado
  • Os parâmetros obtidos não são ótimos porque o ajuste é feito no problema linearizado e não no problema original
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