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Método dos Mínimos Quadrados - PowerPoint PPT Presentation


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Método dos Mínimos Quadrados. Motivação. A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros.

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Presentation Transcript

Motiva o
Motivação

  • A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar

  • Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros



M todo dos m nimos quadrados1
Método dos mínimos Quadrados função que seja uma


M todo dos m nimos quadrados2
Método dos mínimos Quadrados função que seja uma


M todo dos m nimos quadrados3
Método dos mínimos Quadrados função que seja uma


M todo dos m nimos quadrados4
Método dos mínimos Quadrados função que seja uma

h(x)

f(x) – h(x)


M todo dos m nimos quadrados5
Método dos mínimos Quadrados função que seja uma


M todo dos m nimos quadrados6
Método dos mínimos Quadrados função que seja uma

h(x)


M todo dos m nimos quadrados7
Método dos mínimos Quadrados função que seja uma

h(x)


Caso discreto
Caso discreto função que seja uma

  • Sejam dados os pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), ..., (xm,f(xm)) os pontos conhecidos

  • Sejam g1(x), g2(x), ..., gn(x) funções escolhidas de alguma forma

  • Sendo m >= n



  • Seja d função que seja uma k = f(xk) – h(xk) o desvio em xk

  • O objetivo é encontrar α tal que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima


Minimizando os desvios
Minimizando os desvios função que seja uma

  • Do cálculo diferencial: para obter um ponto de mínimo de F(α1,α2,...,αn) devemos encontrar os pontos críticos

  • Devemos encontrar os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero


Regra da Cadeia função que seja uma


... função que seja uma


... função que seja uma


... função que seja uma


Propriedades
Propriedades função que seja uma

  • aij = aji – a matriz A é simétrica

  • Se as funções gi(x) forem tais que os vetores gi resultantes forem linearmente independentes, o sistema admite uma única solução

  • Se o sistema tem uma única solução, esta solução é o ponto mínimo da função F(α1,α2,...,αn)


Exemplo
Exemplo função que seja uma

  • Seja o conjunto de pontos:

  • Ajuste uma parábola do tipo x2aos pontos usando MQ


2,8464 função que seja uma α = 5,8756

α = 2,0642


  • Assim, h(x)=2,0642 x função que seja uma 2 é a parábola que melhor se aproxima no sentido dos mínimos quadrados, da função tabelada


Para o caso cont nuo
Para o caso contínuo função que seja uma

  • Vimos o método dos mínimos quadrados para o caso discreto

  • Como fazer para o caso contínuo?


... função que seja uma


... função que seja uma


... função que seja uma

Onde [a,b] é o intervalo onde f(x) e todas as gi(x) são contínuas


Casos n o lineares
Casos não Lineares função que seja uma

  • Em alguns casos a família de funções pode ser não linear nos parâmetros

  • Nestes casos, deve-se linearizar o problema através de uma transformação conveniente

  • O método dos mínimos quadrados pode ser aplicado no problema linearizado

  • Os parâmetros obtidos não são ótimos porque o ajuste é feito no problema linearizado e não no problema original


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