最高公因式定義
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最高公因式與最小公倍式 PowerPoint PPT Presentation


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最高公因式定義 : 多項式 f(x) 與 g(x) 若 h(x) 是他們公因式中次數最高的 , 稱 h(x) 為 f(x) 和 g(x) 的最高公因式 , 以 H.C.F 或 g.c.d 表之 , 即 (f(x),g(x))=H.C.F. 最高公因式與最小公倍式. 最小公倍式定義 : 多項式 f(x) 與 g(x), 若 L(x) 是他們公倍式中次數最低的 , 稱 L(x) 為 f(x) 和 g(x) 的最高公因式 , 以 L.C.M 表之 , 即 [f(x),g(x)]=L.C.M. 因式分解法 :先將各多項式因式分解,再取相同的公因式次數最小的,乘起來即可。

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最高公因式與最小公倍式

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Presentation Transcript


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最高公因式定義:

多項式f(x)與g(x)

若h(x)是他們公因式中次數最高的,

稱h(x)為f(x)和g(x)的最高公因式,

以H.C.F或g.c.d表之,即(f(x),g(x))=H.C.F

最高公因式與最小公倍式


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最小公倍式定義:

多項式f(x)與g(x),

若L(x)是他們公倍式中次數最低的,

稱L(x)為f(x)和g(x)的最高公因式,

以L.C.M表之,即[f(x),g(x)]=L.C.M


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因式分解法:先將各多項式因式分解,再取相同的公因式次數最小的,乘起來即可。

輾轉相除法:

最高公因式的求法


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範例一

_____________


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範例二


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因式分解法:先將各多項式因式分解,再取相同的公因式次數最大的,乘起來即可。

輾轉相除法:利用輾轉相除法,求得f(x)、g(x)的最高公因式d(x),則

[f(x),g(x)]=f(x) × g(x) / d(x)

最小公倍式的求法


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f(x) ×g(x) = ( f(x) , g(x) ) ×[ f(x) , g(x) ]

若設d(x)|f(x),d(x)|g(x),則d(x)|m(x)f(x)+n(x)g(x)。

當多項式f(x),g(x)互質時,符號:(f(x),g(x))=1

特殊的性質


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設有二多項式,其最高次項係數均為1,且最高公因式為x – 3,最低公倍式為x3 – 7x2 + 15x – 9,試求此二多項式。

解:(x3 – 7x2 + 15x – 9)  ( x – 3) = x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)∴所求為(x – 3),(x – 3)2(x – 1)或(x – 1)(x – 3),(x – 3)2。

範例一


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若f (x) = x3 + ax2 + 11x + 6與g(x) = x3 + bx2 + 14x + 8之最高公因式為二次式,則a =______,b =______。

解:設最高公因式為d(x)d(x) | f (x) – g(x) d(x) | (a – b)x2 – 3x - 2 d(x) = (a - b)x2 – 3x – 2d(x) | 4f (x) – g(x) d(x) | [x2 + (4a – 3b)x + 2] d(x) = x2 + (4a – 3b)x + 2∴a = 6,b = 7。

範例二


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整數系與多項式的比較


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