最高公因式與最小公倍式

1. 最高公因式定義： 多項式f(x)與g(x) 若h(x)是他們公因式中次數最高的, 稱h(x)為f(x)和g(x)的最高公因式, 以H.C.F或g.c.d表之,即(f(x),g(x))=H.C.F 最高公因式與最小公倍式

2. 最小公倍式定義： 多項式f(x)與g(x), 若L(x)是他們公倍式中次數最低的, 稱L(x)為f(x)和g(x)的最高公因式, 以L.C.M表之,即[f(x),g(x)]=L.C.M

3. 因式分解法：先將各多項式因式分解，再取相同的公因式次數最小的，乘起來即可。因式分解法：先將各多項式因式分解，再取相同的公因式次數最小的，乘起來即可。 輾轉相除法： 最高公因式的求法

4. 範例一 _____________

5. 範例二

6. 因式分解法：先將各多項式因式分解，再取相同的公因式次數最大的，乘起來即可。因式分解法：先將各多項式因式分解，再取相同的公因式次數最大的，乘起來即可。 輾轉相除法：利用輾轉相除法，求得f(x)、g(x)的最高公因式d(x)，則 [f(x)，g(x)]=f(x) × g(x) / d(x) 最小公倍式的求法

7. f(x) ×g(x) = ( f(x) , g(x) ) ×[ f(x) , g(x) ] 若設d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，則d(x)|m(x)f(x)+n(x)g(x)。 當多項式f(x),g(x)互質時，符號：(f(x),g(x))=1 特殊的性質

8. 設有二多項式，其最高次項係數均為1，且最高公因式為x – 3，最低公倍式為x3 – 7x2 + 15x – 9，試求此二多項式。 解：(x3 – 7x2 + 15x – 9)  ( x – 3) = x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)∴所求為(x – 3)，(x – 3)2(x – 1)或(x – 1)(x – 3)，(x – 3)2。 範例一

9. 若f (x) = x3 + ax2 + 11x + 6與g(x) = x3 + bx2 + 14x + 8之最高公因式為二次式，則a =______，b =______。 解：設最高公因式為d(x)d(x) | f (x) – g(x) d(x) | (a – b)x2 – 3x - 2 d(x) = (a - b)x2 – 3x – 2d(x) | 4f (x) – g(x) d(x) | [x2 + (4a – 3b)x + 2] d(x) = x2 + (4a – 3b)x + 2∴a = 6，b = 7。 範例二

10. 整數系與多項式的比較