四川省凉山州教育科学研究所谌业锋 ⊙ 四川省特级教师 ⊙ 凉山州专家型教师 ⊙ 凉山州学术和技术带头人 ⊙ 中学高级教师 ⊙ 中小学教育研究室主任 ⊙ 西昌学院客座教授

数学问题和数学问题解决 四川省凉山州教育科学研究所谌业锋 ⊙ 四川省特级教师⊙ 凉山州专家型教师 ⊙ 凉山州学术和技术带头人 ⊙ 中学高级教师 ⊙ 中小学教育研究室主任 ⊙西昌学院客座教授欢迎访问业锋教育在线http://www.lsyf.cn 谌业锋主页http://www.lsyf.cn/jksyf.html （讲座幻灯课件请在网上下载，让我们一起思考！） QQ:178990915 电话:18981539788E-mail:jksyf@163.com

数学问题和数学问题解决 四川省凉山州教育科学研究所谌业锋 • 一、数学问题 • 二、数学问题解决 • 三、数学问题解决的教学策略

一、数学问题 • （一）对“数学问题”的理解 • 问题是数学的心脏。著名数学教育家波利亚在《数学的发现》一书中曾给出问题明确含义，并从数学角度对问题作了分类。 • 他指出，所谓“问题”就是意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标。 • 《牛津大词典》对“问题”的解释是：指那些并非可以立即求解或较困难的问题，那种需要探索、思考和讨论的问题，那种需要积极思维活动的问题。

在第六届国际数学教育大会上，“问题解决、模型化及应用”课题组提交的课题报告中，对“问题”给出了更为明确而富有启发意义的界定，指出在第六届国际数学教育大会上，“问题解决、模型化及应用”课题组提交的课题报告中，对“问题”给出了更为明确而富有启发意义的界定，指出 • 一个问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待解问题情境。 • 该课题组主席奈斯还进一步把“数学问题解决”中的“问题”具体分为两类：一类是非常规的数学问题；另一类是数学应用问题。这种界定现已经逐渐为人们所接受。

我国的张奠宙、刘鸿坤教授在他们的《数学教育学》里的“数学教育中的问题解决”中，对什么是问题及问题与习题的区别作了很好的探讨。我国的张奠宙、刘鸿坤教授在他们的《数学教育学》里的“数学教育中的问题解决”中，对什么是问题及问题与习题的区别作了很好的探讨。 • 综上，对“问题”可以有以下几个方面的理解和认识：

1. 问题是一种情境状态。 • 这种状态会与学生已有的认知结构之间产生内部矛盾冲突，在当前状态下还没有易于理解的、没有完全确定的解答方法或法则。 • 所谓有问题的状态，即这个人面临着他们不认识的东西，对于这种东西又不能仅仅应用某种典范的解法去解答，因为一个问题一旦可以使使用以前的算法轻易地解答出来，那么它就不是一个问题了。

2. 问题解决中的“问题”，并不包括常规数学问题，而是指非常规数学问题和数学的应用问题。 • 这里的常规数学问题，就是指课本中既已唯一确定的方法或可以遵循的一般规则、原理，而解法程序和每一步骤也都是完全确定的数学问题。

3. 问题是相对的。 • 问题因人因时而宜，对于一个人可能是问题，而对于另一个人只不过是习题或练习，而对于第三个人，却可能是所然无味了。 • 随着人们的数学知识的增长、能力的提高，原先是问题的东西，现在却可能变成常规的问题，或者说已经构不成问题了。

4. 问题情境状态下，要对学生本人构成问题，必须满足三个条件: • （1）可接受性。指学生能够接受这个问题，还可表现出学生对该问题的兴趣。 • （2）障碍性。即学生当时很难看出问题的解法、程序和答案，表现出对问题的反应和处理的习惯模式的失败。 • （3）探索性。该问题又能促使学生深入地研究和进一步的思考，展开各种探究活动，寻求新的解题途径，探求新的处理方法。

5. 问题解决中的“问题”与“习题”或“练习”是有区别的 • 其重要区别在于: • （1）性质不同。 • 中学数学课本中的“习题”或者“练习”属于“常规问题”，教师在课堂中已经提供了典范解法，而学生只不过是这种典范解法的翻版应用，一般不需要学生较高的思考。因此，实际上学生只不过是在学习一种算法，或一种技术，一种应用于同一类“问题”的技术，一种只要避免了无意识的错误就能保证成功的技术。

（2）服务的目的不同。 • 尽管有些困难的习题对大部份学生实际上也可能是真正的问题，但数学课本中的习题是为日常训练技巧等设计的，而真正的问题则适合于学习发现和探索的技巧，适合于进行数学原始发现以及学习如何思考。 • 因此，练习技巧与解真正问题所要达到的学习目的不大相同，也正因为它们各自服务于一种目的，所以中学教学课本中的“习题”、“练习”不应该从课本中被除去，而应该被保留。 • 然而，解决了这些常规问题后，并不意味着已经掌握了“问题解决”。

（二）好问题的“数学标准” • 以问题解决作为数学教育的中心事实上集中体现了数学观和数学思想的重要变化，也即意味着数学教育的一个根本性的变革，正是在这样的意义上，数学教育家伦伯格指出：解决非单纯练习题式的问题正是数学教育改革的一个中心论题。 • 那么，从数学教育的角度看，究竟什么是一个“好”的问题，它的标准该是什么？ • 一般来说，一个好问题标准应体现在以下三个方面：

1、应该具有较强的探究性 • 好问题能启迪思维，激发和调动探究意识，展现思维过程。 • 如同波利亚所指出的“我们这里所指的问题，不仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神”。 • 这里的“探究性（或创造精神）”的要求应当是与学生实际水平相适应的，既然我们的数学教育是面向大多数学生的。

因此，对于大多数学生而言，具有探索性或创造性的问题，正是数学上“普遍的高标准”，这又并非是“高不可及”的，而是可通过努力得到解决的。因此，对于大多数学生而言，具有探索性或创造性的问题，正是数学上“普遍的高标准”，这又并非是“高不可及”的，而是可通过努力得到解决的。 • 从这个意义上来说，我们这里说的好问题并不是指问题应有较高的难度，这一点与现在数学奥林匹克竞赛中所选用的大部份试题是有区别的。 • 在竞赛中，“问题解决”在很大程度上所发挥的只是一种“筛子”的作用，这是与以“问题解决”作为数学教育的中心环节和根本目标有区分的。

2、应该具有一定的启发性和可发展空间 • 一个好问题的启发性不仅指问题的解答中包含着重要的数学原理，对于这些问题或者能启发学生寻找应该能够识别的模式，或者通过基本技巧的某种运用很快地得到解决。 • 同时，“问题解决”还能够促进学生对于数学基本知识和技能的掌握，有利于学生掌握有关的数学知识和思想方法，这就与所谓的“偏题”、“怪题”划清了界线。

一个好问题的可发展空间是说问题并不一定在找到解答时就会结束，所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部份作种种变化，由此可以引出新的问题和进一步的结论。一个好问题的可发展空间是说问题并不一定在找到解答时就会结束，所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部份作种种变化，由此可以引出新的问题和进一步的结论。 • 问题的发展性可以把问题延伸、拓广、扩充到一般情形或其他特殊情形，它将给学生一个充分自由思考、充分展现自己思维的空间。

3、应该具有一定的“开放性” • 好问题的“开放性”，首先表现在问题来源的“开放”。问题应具有一定的现实意义，与现实社会、生活实际有着直接关系，这种对社会、生活的“开放”，能够使学生体现出数学的价值和开展“问题解决”的意义。 • 同时，问题的“开放性”，还包括问题具有多种不同的解法，或者多种可能的解答，打破“每一问题都有唯一的标准解答”和“问题中所给的信息都有用”的传统观念，这对于学生的思想解放和创新能力的发挥具有极为重要的意义。

二、数学问题解决 • （一）对“问题解决”的理解 • 从国际上看，对“问题解决”长期以来有着不同的理解，因而赋予“问题解决”以多种含义，总括起来有以下六种：

1、把“问题解决”作为一种教学目的。 • 例如美国的贝格教授认为：“教授数学的真正理由是因为数学有着广泛的应用，教授数学要有利于解决各种问题”，“学习怎样解决问题是学习数学的目的”。 • E.A.Silver教授也认为本世纪80年代以来，世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决的能力作为数学教学的主要目的之一。

当“问题解决”被认为是数学教学的一个目的时，它就独立于特殊的问题，独立于一般过程和方法以及数学的具体内容，此时，这种观点将影响到数学课程的设计和确定，并对课堂教学实践有重要的指导作用。

2、把“问题解决”作为一个数学基本技能。 • 例如美国教育咨询委员会认为“问题解决”是一种数学基本技能，他们对如何定义和评价这项技能进行了许多探索和研究。 • 当“问题解决”被视为一个基本技能时，它远非一个单一的技巧，而是若干个技巧的一个整体，需要人们从具体内容、问题的形式、构造数学模型、设计求解模型的方法等等综合考虑。

3、把“问题解决”作为一种教学形式。 • 例如英国的柯可劳夫特等人认为，应当在教学形式中增加讨论、研究问题解决和探索等形式，他还指出在英国，教师们还远远没有把“问题解决”的活动形式作为教学的类型。

4、把“问题解决”作为一种过程。 • 例如《21世纪的数学纲要》中提出“问题解决”是学生应用以前获得的知识投入到新或不熟悉的情境中的一个过程。 • 美国的雷布朗斯认为：“个体已经形成的有关过程的认识结构被用来处理个体所面临的问题”？此种解释，可以使一个人使用原先所掌握的知识、技巧以及对问题的理解来适应一种不熟悉状况所需要的这样一种手段，它着重考虑学生用以解决问题的方法、策略和猜想。

5、把“问题解决”作为法则。 • 例如在《国际教育辞典》中指出，“问题解决”的特性是用新颖的方法组合两个或更多的法则去解决一个问题。

6、把“问题解决”作为能力。 • 例如1982年英国的《Cockcroft report》认为那种把数学用之于各种情况的能力，称之为“问题解决”。

综合以上各种观点，虽然对“问题解决”的描述不同，形式不一，但是，它们所强调的有着共同的东西，即“问题解决”不应该仅仅理解为一种具体教学形式或技能，它应贯穿在整个教学教育之中。综合以上各种观点，虽然对“问题解决”的描述不同，形式不一，但是，它们所强调的有着共同的东西，即“问题解决”不应该仅仅理解为一种具体教学形式或技能，它应贯穿在整个教学教育之中。

“问题解决”的教学目的是很明确的，那就是要帮助学生提高解决实际问题能力，而且“问题解决”的过程是一个创造性的活动，因而是数学教学中最重要的一种活动？“问题解决”的教学目的是很明确的，那就是要帮助学生提高解决实际问题能力，而且“问题解决”的过程是一个创造性的活动，因而是数学教学中最重要的一种活动？ • 以下是从文献中对“问题解决”的六个不同的概念：

问题解决 • （1）解决教科书中标题文字题，有也叫做练习题； • （2）解决非常规的问题； • （3）逻辑问题和“游戏”； • （4）构造性问题； • （5）计算机模拟题； • （6） “现实生活”情境题。

在“问题解决”中，相当一部份是实际生活中例子。从构造数学模型、设计求解模型的方法，再到检验与回顾等整个过程要由学生去发现、去设计、去创新、去完成，这是“问题解决”与创造性思维密切联系之所在。在“问题解决”中，相当一部份是实际生活中例子。从构造数学模型、设计求解模型的方法，再到检验与回顾等整个过程要由学生去发现、去设计、去创新、去完成，这是“问题解决”与创造性思维密切联系之所在。 • 数学教师应创造更有利于问题解决的条件，在为所有年级编制出好的问题并传授解决问题的技能、技巧的同时，尽力为学生的创造性思维提供良好的课堂环境与机会、乃至服务。

（二）数学问题解决的心理分析 • 1、从学习心理学看“问题解决” • 从学习心理学角度来看，问题解决一般理解为一种认知操作过程或心理活动过程。

问题解决 • 所谓“问题解决”指的是一系列有目的指向认知操作过程，是以思考为内涵、以问题为目标定向的心理活动过程。具体来说，问题解决是指人们面临新的问题情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己缺少现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动过程。

问题解决是一种带有创造性的高级心理活动，其核心是思考与探索。问题解决是一种带有创造性的高级心理活动，其核心是思考与探索。 • 认知心理学家认为，问题解决有两种基本类型： • 一是需要产生新的程序的问题解决，属于创造性问题解决； • 一是运用已知或现成程序的问题解决，是常规性问题解决。 • 数学中的问题解决一般属于创造性问题解决，不仅需要构建适当的程序达到问题的目标，而且更侧重于探索达到目标的过程。

问题解决有两种形式的探索途径：试误式和顿悟式。问题解决有两种形式的探索途径：试误式和顿悟式。 • 试误式是对头脑中出现的解决问题的各种途径进行尝试筛选，直至发现问题解决的合理途径。 • 顿悟式是在长期不懈地思考而又不得其解时，受某种情境或因素的启发，突然发现解决的方法和途径或方式。对中学生而言，这两种探索形式都是问题解决不可缺少策略。

2、数学问题解决的心理过程 • 现代学习心理学探究表明，问题分为三种状态，即初始状态、中间状态和目的状态。 • 问题解决就是从问题的初始状态开始，寻求适当的途径和方法达到目的状态的过程。 • 因此，问题解决实质上是运用已有的知识经验，通过思考探索新情境中问题结果和达到问题的目的状态的过程。

以数学对象和数学课题为研究客体的问题解决叫做数学问题解决。以数学对象和数学课题为研究客体的问题解决叫做数学问题解决。 • 一般来说，数学问题解决是在一定的问题情境中开始。 • 所谓问题情境，是指问题的刺激模式，即问题是以什么样的形态、方式组成和出现的。

其内涵包括三个方面： • 第一、个体试图达到某一目标； • 第二、个体与目标之间存在一定的距离，它将引起学生内部的认知矛盾冲突； • 第三、能激起个体积极心理状态，即产生思考、探索和达到目标的心向，从而刺激学生积极主动的思维活动。 • 因此，数学问题解决是从问题情境开始，运用已有的知识经验，克服认知矛盾冲突，积极主动地寻求和达到问题结果的过程。

数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出：数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出： • 数学问题解决过程必须经过下列四个步骤， • 即理解问题、明确任务； • 拟定求解计划；实现求解计划； • 检验和回顾。

关于问题解决的过程讨论，数学问题解决在一定的问题情境中开始，要求教师根据问题的性质、学生的认识规律和学生所学知识的内部联系，创造一种教学中问题情境，以引起学生内部的认知矛盾冲突，激发起学生积极、主动的思维活动，再经过教师启发和帮助，通过学生主动地分析、探索并提出解决问题方法、检验这种方法等思维活动，从而达到掌握知识、发展能力的教学目的。

三、数学问题解决的教学策略 • （一）问题解决教学的策略分析 • “问题解决教学”是以数学问题为中心，在教师的引导下，通过学生独立思考和交流讨论等形式，对数学问题进行求解、发展与延伸、迁移与变形等环节，培养学生处理信息、获取新知、应用新知的能力、积极探索的科学精神、团结协作的能力。

1、“问题解决”是数学教育的核心。 • 在课堂教学中设计“好”的问题是极其重要的。在每节课中，问题要努力做到： • ①包含明显的数学概念或技巧； • ②能推广或扩充到数学各单元知识和各种情形； • ③有着多种解决方法。

2、怎样进行问题解决教学？ • ①给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼的环境； • ②从学生的已有经验出发提出问题，引起学生对结论的迫切追求的愿望，将学生置于一种主动参与的位置； • ③大胆鼓励学生运用直觉去寻求解题策略，必要时给一些提示； • ④讨论各种成功的解决，归纳出问题解决的核心。如果可能的话和以前的问题联系起来，对问题进行推广，概括出一般原理。

3、“问题解决”的心理机制。 • 在从已知状态到目标状态的问题过程中，要进行一系列心理操作，课堂教学中要努力地解决： • ①领会与同化。学生要用自己的语言转换命题，并整体地将问题吸入已有的认知结构中去； • ②寻求策略与验证。思维有跃向结论的倾向，分析解题的过程有助于学生寻求策略技能的提高，各种解题策略的比较与验证更可以增强学生的创造性与批判精神。

4、在数学问题解决过程中，策略的产生和执行，首先取决于概念是否清楚。4、在数学问题解决过程中，策略的产生和执行，首先取决于概念是否清楚。 • 理解是第一位的，没有理解的训练是毫无价值和意义的。 • 当然对概念的理解也是动态的，当学生对二次函数的定义、性质、图像、最值有了初步的正确的理解以后，在具体的应用中，不但巩固了原有的理解，并且还会达到新的高度，深度的理解。

5、能否在数学知识的应用中，迸发出灿烂的思维火花，学生的智力基础，认知方式是及其重要的，原有数学知识基础也很重要。5、能否在数学知识的应用中，迸发出灿烂的思维火花，学生的智力基础，认知方式是及其重要的，原有数学知识基础也很重要。 • 但是教学设计也是至关重要的：精选“好的”问题，铺设合适的坡度，营造良好的氛围。 • 这需要教师的精心的教学设计，在“好的”问题合适的坡度和良好的氛围创设过程中，把握“量”的度、“强”、“难”的度。

6、理解和技能如何进行定量把握：要考察学生的智力基础，能力基础和认知方式等。6、理解和技能如何进行定量把握：要考察学生的智力基础，能力基础和认知方式等。 • 依据学生的基础和认知特点，对中学的阶段的数学知识点作定量分析，是完全可行的。 • 同时对学生理解和技能的要求也有一个梯度，不能不同的学生，却要达到同一的标准。

7、运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力，分析问题解决问题能力，以及学生的智力和认知特点等构成了学生的数学素质。7、运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力，分析问题解决问题能力，以及学生的智力和认知特点等构成了学生的数学素质。 • 把数学的概念教学、问题解决教学的立足点放在提高学生素质上，这是今天数学教学的方向，是完全可以做到的。

（二）问题解决教学的策略 • 1、重视通性通法教学，引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法 • 数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位。它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段。只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自己的能力。

每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论， • 如分类讨论思想可以分成： • （1）由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等； • （2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等。

又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等。又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等。 • 因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效。从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力。

2、加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力2、加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力 • 高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力。 • 数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提。

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