Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας Δημήτρη Χατζηαβραμίδη , PhD Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ

1. Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας Δημήτρη Χατζηαβραμίδη, PhD Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ Χειμερινό Εξάμηνο2012-13 ΔΧ ΔΧ 1

2. Έλεγχος Ποιότητας • Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας (Statistical Process Control) είναι μια συλλογή από • εργαλεία που χρησιμοποιούνται γιανα εξασφαλίσουν σταθερότητα της διεργασίας και • βελτίωση της απόδοσης με μείωση της μεταβλητότητας • Τα 7 κύρια εργαλεία για Στατιστικό Έλεγχο Ποιότητας (Statistical Process Control), «και • οι επτά ήταν υπέροχοι», είναι: • Διάγραμμα συχνότητας ή σχέδιο μίσχου και φύλλου (Histogramor stem-and-leaf plot), • Φύλο ελέγχου (Check sheet), • Χάρτης Pareto, • Διάγραμμα αιτίας και αποτελέσματος (Cause-and-effect diagram), • Διάγραμμα συγκέντρωσης ελαττωμάτων (Defect concentration diagram), • Διάγραμμα διασποράς (Scatter diagram), και • Χάρτης ελέγχου (Control chart) • Αιτίες μεταβλητότητας: • Τυχαίες (bychance), που είναι υπεύθυνες για εγγενή (inherent) μεταβλητότητα, και • Καθορισμένες (assignable), που οφείλονται σε εσφαλμένα ρυθμισμένες ή ελεγχόμενες μηχανές, λάθη χειριστών (operators), και ελαττωματικές πρώτες ύλες • Η μεταβλητότητα σε χαρακτηριστικά ποιότητας απο καθορισμένες αιτίες είναι πολύ • μεγαλύτερηαπό εγγενή μεταβλητότητα ΔΧ ΔΧ 2

3. Έλεγχος ποιότητας Όταν η διεργασία λειτουργεί με παρουσία μόνοτυχαίων αιτίων μεταβλητότητας (chance causes of variation), λέγεται ότι είναι υπό στατιστικό έλεγχο (in statistical control).Όταν η διεργασία λειτουργεί με παρουσία καθορισμένων αιτίων μεταβλητότητας (assignable causes of variation), λέγεται ότι είναι εκτός ελέγχου (οut ofcontrol) Οι όροι τυχαίες και καθορισμένες αιτίες, που υιοθετήθηκαν από τον Shewhart, πολλές φορές στήν εποχή μας αντικαθίστανται, κατ΄αναλογία, από τους όρους κοινές και ειδικές αιτίες Ο απώτερος σκοπός του Στατιστικού Ελέγχου Διεργασίας (SPC) είναι η μείωση στο ελάχιστο δυνατό της μεταβλητότητας, μια και η εξουδετέρωση της μεταβλητότητας είναι πρακτικά αδύνατη x̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart) Κεντρική γραμμή: παριστάνει τη μέση τιμή του χαρακτη- ριστικού ποιότητας που αντιστοιχεί στην υπό έλεγχο κατά- σταση Άνω και Κάτω Όριο Ελέγχου: οριοθετούν το διάστημα στο οποίο η διεργασία είναι υπό έλεγχο, δηλ., όλα σχεδόν τα σημεία της δειγματοληψίας είναι μέσα σ΄αυτό το διάστημα Άνω Όριο Ελέγχου (UCL) Κεντρική Γραμμή Χαρακτηριστικό Ποιότητας Κάτω Όριο Ελέγχου (LCL) Αριθμός Δείγματος ή Χρόνος ΔΧ ΔΧ 3

4. Έλεγχος ποιότητας x̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart) Ακόμη κι άν όλα τα σημεία είναι μεταξύ του Κάτω και Άνω Ορίου Ελέγχου, αν το σχήμα που διαγράφουν είναι συστηματικό ή μή τυχαίο, αυτό είναι ένδειξη του ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου. Συνήθως υπάρχει αιτία για το σχήμα που διαγράφουν τα σημεία να είναι μη τυχαίο, κι άν η αιτία βρεθεί και εξουδετερωθεί, η απόδοση της διεργασίας θα βελτιωθεί Υπάρχει στενή σχέση μεταξύ χάρτη ελέγχου και δοκιμής υπόθεσης. Άν η τρέχουσα τιμή του x̅ είναι μεταξύ των ορίων ελέγχου, συμπεραίνομε ότι ο μέσος της διεργασίας είναι υπό έλεγχο, δηλ., είναι ίσος με κάποια τιμή μο. Η διαφορά τους όμως είναι ότι στη δοκιμή υπόθεσης συνήθως εξετάζεται η ισχύς των υποθέσεων, ενώ στο χάρτη ελέγχου ανιχνεύονται αποκλίσεις από μια υποθετική κατάσταση στατιστικού ελέγχου Μια καθορισμένη αιτία μπορεί να προκαλέσει διάφορους τύπους μετατόπισης στις παραμέτρους της διεργασίας. Για παράδειγμα, ο μέσος μπορεί να μετατοπιστεί στιγμιαία σε μια νέα τιμή και να παραμείνει εκεί (διατηρητέα μετατόπιση – sustained shift) ή μπορεί να μετατοπιστεί απότομα, αλλά η αιτία μπορεί να είναι βραχύβια και ο μέσος μπορεί να επιστρέφει στην υπό έλεγχο τιμή του ή η αιτία μπορεί να έχει σαν αποτέλεσμα σταθερή μετατόπιση. Μόνο η διατηρητέα μετατόπιση ταιριάζει στο μοντέλο της δοκιμής στατιστικής υπόθεσης ΔΧ ΔΧ 4

5. Έλεγχος ποιότητας x̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart) Η δοκιμή υπόθεσης είναι χρήσιμη στην ανάλυση χάρτη ελέγχου. Για παράδειγμα, η πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι στο χάρτη ελέγχου (συμπεραίνεται ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου όταν στην πραγματικότητα είναι υπό έλεγχο) και η πιθανότητα σφάλματος τύπου ΙΙ στο χάρτη ελέγχου (συμπεραίνεται ότι η διεργασία είναι υπό έλεγχο όταν στην πραγματικότητα είναι εκτός ελέγχου) Παράδειγμα – Στη βιομηχανία ημιαγωγών μια από τις πιο σπουδαίες διεργασίες είναι η φωτολιθογραφία, στην οποία ένα ειδικό υλικό ευαίσθητο στο φώς (photoresistmaterial) επικαλύπτει το πλακίδιο σιλικόνης (silicone wafer), η επιφάνεια του οποίου καλύπτεται από λεπτό στρώμα μονωτικού SiΟ2,το αποτύπωμα του κυκλώματος πάνω στο photoresist υλικό δημιουργείται με έκθεση του υλικού αυτού σε υπεριώδη (UV) ακτινοβολία υψηλής έντασης, οπότε το photoresist υλικό είτε καταστρέφεται και απομακρύνεται (positive photoresist) είτε σκληραίνει πάνω στο λεπτό στρώμα του SiΟ2 Μετά τη δημιουργία του αποτυπώματος, το στρώμα του SiΟ2 που δεν καλύπτεται από photoresist υλικό απομακρύνεται είτε με χημικήαπόξεση ή με απόξεση με πλάσμα (etching). Eίναι αρκετά συνηθισμένο να γίνεται μια διεργασία ψησίματος σκλήρυνσης (hard bake) για βελτίωση της συγκόλλησης και αύξηση της αντίστασης στην αποκόλληση. ΄Ενα από τα ΚρίσιμαΧαρακτηριστικά Ποιότητας(CQΑ) στη διεργασία ψησίματος σκλήρυνσηςείναι το πλάτος ροής(flowwidth)του photoresist υλικού, που είναι μέτρο του πόσο «απλώνεται» το υλικό αυτό λόγω του ψησίματος σκλήρυνσης ΔΧ ΔΧ 5

6. Έλεγχος ποιότητας x̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart) Παράδειγμα (συνέχεια) – Ας υποτεθεί ότι το πλάτος ροής ελέγχεται με μέσο 1.5 μmκαι τυπική απόκλιση 0.15 μm. Ο χάρτης ελέγχου για το μέσο πλάτος ροής παρουσιάζεται στην παρακάτω εικόνα. Για να κατασκευαστεί ο χάρτης αυτός, κάθε μια ώρα λαμβάνεται δείγμα από 5 δισκία και υπολογίζεται το μέσο πλάτος ροής, x̅.Επειδή ο χάρτης ελέγχου αξιοποιεί τό μέσο του δείγματος, x̅, για την παρακολούθηση του μέσου της διεργασίας, ονομάζεται x̅χάρτης ελέγχου. Η τυπική απόκλιση του μέσου του δείγματος x̅ είναι Αν η διεργασία είναι υπό έλεγχο με μέσο πλάτος ροής 1.5 μm, σύμφωνα με το ΘεώρημαΚεντρικού Ορίου (Central Limit Theorem) ο μέσος του δείγματος, x̅, έχει, κατάπροσέγγιση, κανονική κατανομή, και αναμένεται ότι οι τιμές του x̅είναι στο διάστημα(1.5 - Ζα/2 , 1.5 + Ζα/2 ). Αν η τιμή του Ζα/2 επιλεχθεί ίση με το 3 , τaΆνω και Κάτω Όρια Ελέγχου (Upper and Lower ControlLimit) είναι αντίστοιχα UCL = 1.5 + 3(0.0671) = 1.7013 και LCL = 1.5 - 3(0.0671) = 1.2987 που δείχνονται στο χάρτη ελέγχου. Τα όρια αυτά λέγονται «τρία σίγμα» όρια ελέγχου ΔΧ ΔΧ 6

7. Έλεγχος ποιότητας x̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart) Παράδειγμα (συνέχεια) Στη γενική περίπτωση που το wείναι ένα στατιστικό μέγεθος του δείγματος που μετράει κάποιο χαρακτηριστικό ποιότητας που ενδιαφέρει, και μwκαι σwείναι ο μέσος και η τυπική απόκλιση του w, αντίστοιχα, η κεντρική γραμμή και τα όρια ελέγχου ορίζονται ως Κεντρική γραμμή = μw UCL = μw +Lσw LCL =μw- Lσw όπου L είναι η απόσταση των ορίων ελέγχου από την κεντρική γραμμή, εκφρασμένη σε μονάδες τυπικής απόκλισης. Οι χάρτες ελέγχου που βασίζονται σ΄αυτή την αρχή συχνά ονομάζονται χάρτες ελέγχου του Shewhart Aν οι τιμές του μέσου του δείγματος,x̅,είναι μεταξύ των ορίων ελέγχου και δεν δείχνουν κάποια συστηματική διάταξη (pattern), λέγεται ότι η διεργασία είναι υπό έλεγχο ΔΧ ΔΧ 7

8. Έλεγχος ποιότητας • x̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart) • H πιο σπουδαία χρήση του χάρτη ελέγχου είναι να βελτιώσει την διεργασία. Σε γενικές • γραμμές • Οι περισσότερες διεργασίεςδεν λειτουργούν σε κατάσταση στατιστικού ελέγχου, • Η τακτική και προσεκτική χρήση των χαρτών ελέγχου βοηθάει στην εντόπισηκαθορισμένων αιτίων (assignable causes). Aν αυτές οι αιτίες απαλειφθούν η μεταβλητότητα θα μειωθεί και η διεργασία θα βελτιωθεί, και • Ο χάρτης ελέγχου μπορεί να ανιχνεύσειμόνο καθορισμένες αιτίες • Κατά τον εντοπισμό και την εξάλειψη των καθορισμένων αιτίων, είναι σημαντικό να • βρεθεί η υποκείμενη πρωταρχική αιτία (root cause) του προβλήματος και να • αντιμετωπιστεί • Με τη χρήση του χάρτη ελέγχου συνδέεται το Σχέδιο Δράσης για Εκτός Ελέγχου • κατάσταση (Out-of-Control-Action Plan) που δίνει το διάγραμμα ροής (flow chart) ή την • περιγραφή σειράς δραστηριοτήτων που πρέπει να λάβουν χώρα μετά από εκδήλωση • ενεργοποιώντων συμβάντων (activating events) που είναι σήματα εκτός ελέγχου στο χάρτη • ελέγχου. Το Σχέδιο Δράσης για Εκτός Ελέγχου κατάσταση (OCAP) αποτελείται από • σημεία ελέγχου (checkpoints), που βρίσκονται πιθανές καθορισμένες αιτίες, και • τερματιστές (terminators),που είναι οι ενέργειες που χρειάζονται να γίνουν για να • διορθωθεί η εκτός ελέγχου κατάσταση. Το ΟCAP είναι «ζωντανό» έγγραφο (living • document) με την έννοια ότι θα αλλάζει με το χρόνο καθώς περισσότερη γνώση και • κατανόηση της διεργασίας αποκτάται ΔΧ ΔΧ 8

9. Έλεγχος ποιότητας x̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart) ΄Ενα σπουδαίο χαρακτηριστικό του χάρτη ελέγχου είναι το είδος της μεταβλητότητας που συνδέεται με τη διεργασία Η διεργασία είναι στατική (stationary), όταν τα δεδομένα μεταβάλλονται γύρω από ένα σταθερό (fixed)μέσο με σταθερό(stable) ήπροβλεπόμενο τρόπο. Το είδος αυτό υποδηλώνει διεργασία υπό έλεγχο. Η στατική διεργασία μπορεί να είναι (α) ασυσχέτιστη (uncorrelated), μέρος (a)της εικόνας που ακολουθεί, όταν τα δεδομένα δίνουν την εντύπωση ότι επιλέχθηκαν τυχαία (randomly) από ένα πληθυσμό που ίσως ακολουθεί κανονική κατανομή,και (β)αυτοσυσχετισμένη (autocorrelated), μέρος (b)της εικόνας που ακολουθεί,όταν διαδοχικές τιμέςτων δεδομένων είναι εξαρτημένες, δηλ., μια τιμή που είναι πάνω από τό μέσο, κατά κανόνα, ακολουθείται από μια άλλη τιμή πάνω από τό μέσο, ενώ μια τιμή κάτω από το μέσο συνήθως ακολουθείται από μια άλλη τιμή κάτω από το μέσο. Στην περίπτωση αυτή, τα δεδομένα σχηματίζουν σχετικά εκτενείς ακολουθίες κι από τις δυο πλευρές του μέσου (a) (b) (c) ΔΧ ΔΧ 9

10. Έλεγχος ποιότητας x̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart) Η διεργασία είναι μη στατική (nonstationary), μέρος (c)της προηγούμενης εικόνας,όταν η διεργασία είναι ασταθής και τα δεδομένα είναι διάσπαρτα σε όλη την περιοχή που ενδιαφέρει χωρίς καμμιά αίσθηση ότι υπάρχει σταθερή μέση τιμή. Διεργασίες αυτού του τύπου συναντά κανείς συχνά στη χημική βιομηχανία και σταθεροποιούνται με μηχανικό έλεγχο διεργασίας (engineering process control), π.χ., έλεγχο με ανατροφοδότηση (feedback control). Aυτό είναι το είδος του ελέγχου που απαιτείται όταν οι παράγοντες που επηρεάζουν τη διεργασίαδεν μπορούν να σταθεροποιηθούν, π.χ., περιβαλλοντικοί παράγοντες ή ιδιότητες πρώτων υλών ΔΧ ΔΧ 10

11. Έλεγχος ποιότητας x̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart) Μια από τις κρίσιμες αποφάσεις με τους χάρτες ελέγχου είναι να ορίσει κανείς τα όρια ελέγχου. ΄Αν τα όρια ελέγχου μετατοπιστούν σε μεγαλύτερη απόσταση από την κεντρική γραμμή, η πιθανότητα (risk)σφάλματος τύπου Ι, δηλ., του κινδύνου για ένα σημείο να βρεθεί εκτός ελέγχου που δεν οφείλεται σε καθορισμένη αιτία (assignable cause), μειώνεται. Σε αντίθεση, η διεύρυνση των ορίων ελέγχου οδηγεί σε αύξηση της πιθανότηταςσφάλματος τύπου ΙΙ, δηλ., του κινδύνου για ένα σημείο να βρεθεί εντός των ορίων ελέγχου, όταν η διεργασία είναι εκτός ελέγχου Αν τα όρια ελέγχου μετατοπιστούν σε μικρότερη απόσταση από την κεντρική γραμμή, η πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι αυξάνει, ενώ η πιθανότητα σφάλματος τύπου ΙΙ μειώνεται Στο παράδειγμα του πλάτους ροής(μέσος 1.5, τυπική απόκλιση 0.0671) όπου ορίστηκαν τρία-σίγμα όρια, αν θεωρηθεί ότι το πλάτος ροής έχει κανονική κατανομή, η πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι είναι 0.0027, δηλ., ένα λανθασμένο εκτός ελέγχου σήμα ή λανθασμένος συναγερμός (false alarm) συμβαίνει σε 27 από 10,000 σημεία. Η πιθανότητα για ένα σημείο, όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, να βρεθεί εκτός τρία-σίγμα ορίων,σε μια διεύθυνση είναι 0.00135. Τα όρια ελέγχου ορίζονται είτε σαν πολλαπλάσια της τυπικής απόκλισης του μέσου x̅ ή από την πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι. Για παράδειγμα, αν οριστεί πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι σε μια διεύθυνση ίση με 0.001, το ανάλογο πολλαπλάσιο της τυπικής απόκλισης είναι 3.09 και τα όρια ελέγχου είναι UCL = 1.5 + 3.09(0.0671) = 1.7073LCL= 1.5 -3.09(0.0671) = 1.2927 Τα όρια αυτά ονομάζονται 0.01 όρια πιθανότητας. 0.01 είναι η πιθανότητα σε μια διεύθυνση . η ολική πιθανότητα σε δυο διευθύνσεις είναι 0.02 ΔΧ ΔΧ 11

12. Έλεγχος ποιότητας x̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart) Ανεξάρτητα από την κατανομή του χαρακτηριστικού ποιότητας, η συνηθισμένη πρακτική στις ΗΠΑ είναι να προσδιορίζονται τα όρια ελέγχου σαν πολλαπλάσια της τυπικής απόκλισης του στατιστικού μεγέθους στο χάρτη. Τρία-σίγμα όρια προσδιορίζονται, ανεξάρτητα από τον τύπο του χάρτη ελέγχου. Στο Ηνωμένο Βασίλειο και τμήματα της Δυτικής Ευρώπης, όρια πιθανότητας0.01 σε κάθε διεύθυνση χρησιμοποιούνται Μερικοί αναλυτές προτείνουν χρήση δυο ειδών ορίων ελέγχου για τους χάρτες ελέγχου, τα τρία-σίγμα όρια ή όρια δράσης, και τα δυο-σίγμα όρια ή όρια προειδοποίησης. Όταν ένα σημείο είναι εκτός των τρία-σίγμα ορίων, αναζητούνται καθορισμένες αιτίες και γίνονται διορθωτικές ενέργειες. ΄Οταν ένα ή περισσότερα σημεία είναι μεταξύ των ορίων προειδοποίησης και ορίων δράσης, κανείς πρέπει να υποπτευθεί ότι η διεργασίαδεν λειτουργεί σωστά. Όταν αυτό συμβαίνει, μια ενέργεια που συνίσταται είναι να αυξηθεί η συχνότητα της δειγματοληψίας ή το μέγεθος του δείγματος ώστε περισσότερες πληροφορίες να συλλέγονται σε σύντομο χρονικό διάστημα. Τα σχέδια ελέγχου διεργασίας, που αλλάζουν το μέγεθος του δείγματος και/ή τη συχνότητα της διεργασίας, ανάλογα με τη θέση της τρέχουσας τιμής του δείγματος, ονομάζονται σχέδια προσαρμοστικού ή μεταβλητού διαστήματος δειγματοληψίας ΔΧ ΔΧ 12

13. Έλεγχος ποιότητας x̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart) Η χρήση ορίων προειδοποίησης αυξάνει την ευαισθησία του χάρτη ελέγχου, δηλ., επιτρέπει στο χάρτη ελέγχου να διακρίνει μετατόπιση στην διεργασία πιό γρήγορα. ΄Ενα από τα μειονεκτήματα αυτών των τεχνικών είναι ότι συγχέονται από το προσωπικό. Η χρήση ορίων προειδοποίησης αυξάνει επίσης την πιθανότητα λανθασμένων συναγερμών ΔΧ ΔΧ 13

14. Έλεγχος ποιότητας x̅ - Χάρτης Ελέγχου Μέγεθος Δείγματος και Συχνότητα Δειγματοληψίας Το γενικό πρόβλημαείναι η κατανομή της προσπάθειας για δειγματοληψία (allocation sampling effort), δηλ., μικρά δείγματα σε μικρά χρονικά διαστήματα ή μεγάλα δείγματα σε μεγάλα χρονικά διαστήματα. Η τρέχουσα πρακτική στη βιομηχανία είναι μικρότερα και συχνότεραδείγματα σε βιομηχανικές διεργασίες μεγάλου όγκου. H απόφαση για το μέγεθος δείγματος και τη συχνότητα της δειγματοληψίας ανάγεται στοΜέσο Μήκος Διαδρομής (Average Run Length) του χάρτη ελέγχου, που είναι ο μέσος αριθμός των σημείων που πρέπει να ληφθούν πρίν να εμφανιστεί σημείο που δείχνει κατάσταση εκτός ελέγχου. Αν τα δεδομένα της διεργασίας είναι ασυσχέτιστα, το Μέσο Μήκος Διαδρομής (ARL) είναι ARL = 1 /p όπουp είναι η πιθανότητα για κάθε σημείο να βρεθεί εκτός των ορίων ελέγχου Για το x̅ χάρτημε τρία-σίγμα όρια, p = 0.0027 είναι η πιθανότητα για ένα σημείο να βρεθεί εκτός των ορίων ελέγχου, όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο. Το Μέσο Μήκος Διαδρομής του x̅χάρτη, ARL0 , είναι ARL0= 1 /p = 1 / 0.0027 = 370 δηλ., ακόμη κι αν η διεργασία παραμένει υπό έλεγχο, ένα «εκτός ελέγχου» σημείο θα εμφανίζεται κάθε 370 δείγματα, κατά μέσο όρο Δυο πιθανά προβλήματα με το ARL είναι (α) η τυπική απόκλιση του μήκους διαδρομής είναι πολύ μεγάλη, και (β) η γεωμετρική κατανομή είναι πολύ ασύμμετρη (very skewed), έτσι ώστε ο μέσος της κατανομής, δηλ., το ARL, να μήν είναι μια πολύ «τυπική» τιμή ΔΧ ΔΧ 14

15. Έλεγχος ποιότητας x̅ - Χάρτης ΕλέγχουΜέγεθος Δείγματος και Συχνότητα Δειγματοληψίας Για το x̅ χάρτη, p = 0.0027 καιόταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο,ARL0= 1 /p = 1 / 0.0027 = 370.. Η τυπική απόκλιση της γεωμετρική κατανομής είναι √1-p / p= √(1 – 0.0027) / 0.0027 370. To 10το και 50το ποσοστό της κατανομής είναι 38 και 256, δηλ., 10% του χρόνου, το μήκος διαδρομής, όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, είναι μικρότερο ή ίσο με 38 δείγματα, και 50% του χρόνουτο μήκος διαδρομής, όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, είναι μικρότερο ή ίσο με256 δείγματα H aπόδοση του χάρτη ελέγχου εκφράζεται μερικές φορές από το Μέσο Χρόνο για Σήμα (Αverage Time to Signal). Αν δείγματα παίρνονται σε ίσα διαστήματα με h ώρες μεταξύ διαδοχικών διαστημάτων ΑΤS = (ARL)(h) Μια ενδιαφέρουσα ερώτηση είναι με ποιό τρόπο ο χάρτης ελέγχου ανακαλύπτει μετατοπίσεις στο μέσο. Ας υποτεθεί ότι το μέγεθος του δείγματος είναι n = 5και όταν η διεργασία είναι εκτός ελέγχου ο μέσοςμετατοπίζεται στα 1.725 μm. Aπό την χαρακτηριστική καμπύλη λειτουργίας στην εικόνα που ακολουθεί φαίνεται ότι αν ο μέσος είναι 1.725 μm, η πιθανότητα για τομέσο x̅να είναι μεταξύ των ορίων ελέγχου είναι κατά προσέγγιση 0.50. Το «εκτός ελέγχου» ARL, που αναφέρεταιεπίσης ως ARL1, είναι ARL1= 1 / p = 1 / 0.5 = 2 Ο χάρτης ελέγχου απαιτεί δυο δείγματα για ναεντοπίσει μετατόπιση στη διεργασία, και άν το χρονικό διάστημα μεταξύ δειγμάτων είναι h = 1 ώρα, ο μέσος χρόνος για τον εντοπισμό της μετατόπισης είναι ΑΤS = (ARL1) (h) = (2)(1) = 2 ώρες ΔΧ ΔΧ 15

16. Στιγμιαία Τυχαία Έλεγχος ποιότητας x̅ & R Χάρτης Ελέγχου Yποομάδες ή δείγματα επιλέγονται έτσι ώστε, αν καθορισμένες αιτίες (assignable causes) είναι παρούσες, η ευκαιρία για διαφορές μεταξύ υποομάδωνμεγιστοποιείται, ενώ η ευκαιρία για διαφορέςμέσα σε κάθε υποομάδα,που οφείλονται σε καθορισμένες αιτίες, ελαχιστοποιούνται Η χρονοσειρά (time series) αποτελεί συχνά καλή βάση για σχηματισμό υποομάδων γιατί επιτρέπει να εντοπιστούν καθορισμένες αιτίες που παρουσιάζονται με τό χρόνο Υπάρχουν δυο μέθοδοι για σχηματισμό λογικών υποομάδων: (a) στιγμιαία (snapshot), και (β)τυχαία ΔΧ ΔΧ 16

17. Έλεγχος ποιότητας x̅ & R Χάρτης Ελέγχου Στην στιγμιαία μέθοδο, κάθε δείγμα αποτελείται από μονάδες ή τεμάχια που παρήχθησαν τον ίδιο χρόνο ή όσο πιο κοντά γίνεται. Στην ιδεατή περίπτωση, είναι επιθυμητό να επιλεχθούν διαδοχικές (consecutive) μονάδες παραγωγής. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται όταν ο πρωταρχικός σκοπός είναι ο εντοπισμός μετατοπίσεων στην διεργασία Η προηγούμενη εικόνα δείχνει μια διεργασία της οποίας ο μέσος υφίσταται μια σειρά από διατηρητέες (sustained)μετατοπίσεις (περιορισμένης) διάρκειας, και οι λογικές υποομάδες Αποτελούνται από 5 διαδοχικά σημεία. Η εικόνα περιλαμβάνει x̅ και R χάρτες. Αν και ο μέσος της διεργασίας μετατοπίζεται, η μεταβλητότητά της παραμένει σταθερή Στην τυχαία μέθοδο, κάθε λογική υποομάδα είναι ένα τυχαίο δείγμα της παραγωγής της διεργασίας ενόσω διαρκεί η δειγματοληψία. Χρησιμοποιείται για τη λήψη αποφάσεων σχετικών με την αποδοχή όλων των μονάδων προϊόντος που έχουν παραχθεί από το τελευταίο δείγμα και πέρα. Επίσης αν η διεργασία μετατοπίζεται σε θέση «εκτός ελέγχου» και στη συνέχεια σε θέση «υπό έλεγχο» μεταξύ δειγμάτων, η στιγμιαία μέθοδος είναι αναποτελεσματική και η τυχαία προτιμάται. Οι x̅και R χάρτες που δημιουργήθηκαν με την τυχαία μέθοδο δείχνονται στην προηγούμενη εικόνα. Υπάρχουν δυο προβλήματα με την ερμηνεία χαρτών ελέγχου από τη μέθοδο αυτή: (1) H διεργασία μπορεί να φανεί ότι είναι «υπό έλεγχο» με απλή επέκταση του διαστήματος μεταξύ μετρήσεων στο δείγμα, και (2) Μετατοπίσεις στο μέσο της διεργασίας προκαλούν μετατόπιση σημείων στους χάρτες ελέγχου εύρους ή τυπικής απόκλισης σε θέσεις «εκτός ελέγχου», αν και δεν υπάρχει μεταβλητότητα στη διεργασία ΔΧ ΔΧ 17

18. Έλεγχος ποιότητας x̅ & R Χάρτης Ελέγχου Υπάρχουν κι άλλες μέθοδοι για τη δημιουργία λογικών υποομάδων. Για παράδειγμα, αν σε μια διεργασία η παραγωγή από μερικές μηχανές συγκεντρώνεται σε κοινό ρεύμα, είναι λογικό για τη δημιουργία υποομάδων να εφαρμοστούν τεχνικές χάρτη ελέγχου στην παραγωγήκάθε μηχανής ξεχωριστά. Η ίδια τεχνική μπορεί να εφαρμοστεί σε διαφορετικά στόμια εκροής της ίδιας μηχανής, διαφορετικούς χειριστές, κλπ. Σε πολλές περιπτώσεις, η λογική υποομάδα αποτελείται από μια μόνο μέτρηση. Η περίπτωση αυτή συμβαίνει στη χημική βιομηχανία όπου χαρακτηριστικά ποιότητας συγκεκριμένου προϊόντος αλλάζουν σχετικά αργά και τα δείγματα που παίρνονται πολύ κοντά το ένα με τό άλλο στό χρόνο είναι σχεδόν τα ίδια, εκτός φυσικά από το λάθος μέτρησης ή αναλυτικό λάθος ΔΧ ΔΧ 18

19. Έλεγχος ποιότητας Aνάλυση Χάρτη ¨Ελεγχου Στην παραπάνω εικόνα, στην αριστερή πλευρά, αν και 25 σημεία είναι μεταξύ των ορίων ελέγχου, η διεργασίαδεν είναι υπό έλεγχο, γιατί ο σχηματισμός (pattern) των σημείων δεν δίνει την εντύπωση ότι τα σημεία επιλέχτηκαν τυχαία. Ειδικότερα, 19 από τα 25σημεία είναι κάτω από την κεντρική γραμμή, ενώ 6 μόνο σημεία είναι πάνω από την κεντρική γραμμή. Αν τα σημεία είχαν επιλεγεί τυχαία, η κατανομή τους πάνω και κάτω από την κεντρική γραμμή θα ήταν πιο ισορροπημένη. Επίσης μετά το 4ο σημείο, 5 σημεία στη σειρά αυξάνουν σε μέγεθος. Μια σειρά από διαδοχικά σημεία του ίδιου τύπου ονομάζεται διαδρομή (run), άνω διαδρομή, αν τα σημείααυξάνουν σε μέγεθος, κάτω διαδρομή, αν τα σημείαελαττώνονται σε μέγεθος. Η διαδρομή με δύο σημεία πάνω από την κεντρική γραμμή έχει μήκος 2. Διαδρομές μήκους 8 ή μεγαλύτερο έχουν πολύ μικρή πιθανότητα εμφάνισης σε τυχαίο δείγμα σημείων. Εκτός από τη διαδρομή και άλλοι σχηματισμοί σημείων αποτελούν κριτήριο για τυχαία ή μή τυχαία συμπεριφορά σε χάρτη ελέγχου ΔΧ ΔΧ 19

20. Έλεγχος ποιότητας Aνάλυση Χάρτη ¨Ελεγχου Στην προηγούμενη εικόνα, στη δεξιά πλευρά, ο μέσος του δείγματος παρουσιάζει κυκλική συμπεριφορά, ενώ όλα τα σημεία είναι εντός των ορίων ελέγχου. ΄Ενας τέτοιος σχηματισμός δείχνει ότι υπάρχει πρόβλημα με τη διεργασία και παρόλο που η διεργασία δεν είναι«εκτός ελέγχου», η απόδοσή της είναι χαμηλή. Η απόδοση της διεργασίας μπορεί να αυξηθεί με μείωση ή απάλειψη των πηγών μεταβλητότητας(sources of variability) Το πρόβλημα χαρακτηρισμού της συμπεριφοράς των σημείων σε χάρτη ελέγχου ως συστηματικής ή τυχαίας ανήκει στην περιοχή τής Αναγνώρισης Σχηματισμών (Pattern Recognition) Κυκλικός σχηματισμός (cyclic pattern) μπορεί να είναι αποτέλεσμα συστηματικών αλλαγών στο περιβάλλον, π.χ., θερμοκρασίας, κόπωσης χειριστή, τακτικής εναλλαγής προσωπικού και/ή μηχανών, διακύμανσης στην τάση (ηλεκτρική) ή πίεση ή άλλης μεταβλητής μηχανημάτων παραγωγής Μικτός σχηματισμός (mixture pattern), όταν τα σημεία στο χάρτη ελέγχου έχουν την τάση να είναι κοντά ή ελαφρά έξωαπό τα όρια ελέγχου, με σχετικά λίγα σημεία κοντά στην κεντρική γραμμή (βλέπε επόμενη εικόνα). Αυτός ο σχηματισμός προκύπτει από δυό ή περισσότερες κατανομές που επικαλύπτονται εν μέρει και παράγουν την έξοδο της διεργασίας. Μερικές φορές ο μικτός σχηματισμός είναι αποτέλεσμαυπερελέγχου, όπου οι χειριστές κάνουνρυθμίσεις στη διεργασία πολύ συχνά, ανταποκρινόμενοι στην τυχαία μεταβολή στην έξοδο παρά σε αλλαγές που οφείλονται σε συστηματικές αιτίες ΔΧ ΔΧ 20

21. Έλεγχος ποιότητας Aνάλυση Χάρτη ¨Ελεγχου Μικτός σχηματισμός (βλέπε παρακάτω εικόνα) μπορεί επίσης να προκύψει από άλλες αιτίες, π.χ., αν το προϊόν στην έξοδο της διεργασίας από διάφορες πηγές, π.χ., μηχανές που δουλεύουν εν παραλλήλωτροφοδοτείται από κοινό αγωγό από τον οποίο λαμβάνονται δείγματα για παρακολούθηση (monitoring) Στους διάφορους σχηματισμούς παρατηρούνται (α) μετατοπίσεις (shifts), και (β) τάσεις (trends)στο επίπεδο της διεργασίας, και (γ) διαστρωμάτωση (stratification)(βλέπε παρακάτω εικόνες) Mικτός σχηματισμός (mixed pattern) Μετατόπιση(shift)Τάση (trend) Διαστρωμάτωση (stratification) 5-6-2009 ΔΧ ΔΧ 21

22. Έλεγχος ποιότητας Aνάλυση Χάρτη Ελέγχου Μετατόπιση (shift) συμβαίνει όταν γίνονται αλλαγές στο προσωπικό, τις μηχανές, τις πρώτες ύλες, κλπ. Η τάση (trend) είναι συνεχής κίνηση στην ίδια κατεύθυνση, που προέρχεται συνήθως από φθορά μηχανημάτων ή άλλου κρίσιμου για τη διεργασία παράγοντα. Στην χημική βιομηχανία, η τάση εμφανίζεται γιατί τα συστατικά ενός μίγματος διαχωρίζονται. Τάσεις μπορεί ακόμη να οφείλονται σε εποχιακούς παράγοντες, όπως η θερμοκρασία Η τάση των σημείων του χάρτη ελέγχου να συγκεντρώνονται τεχνητά (artificially) γύρω από την κεντρική γραμμή ονομάζεται διαστρωμάτωση. Ένα από τα κύρια χαρακτηριστι- κά της διαστρωμάτωσηςείναι η παντελής έλλειψη φυσικής μεταβλητότητας. Μια πιθανή αιτία για τη διαστρωμάτωση είναι ο λανθασμένος υπολογισμός ορίων ελέγχου Διαστρωμάτωση μπορεί επίσης να εμφανιστεί όταν το δείγμα αποτελείται από μια ή περισσότερες μετρήσεις από διαφορετικές κατανομές που υποκρύπτονται σε κάθε υποομάδα. Για παράδειγμα, αν το κάθε δείγμα μεγέθους 5 αποτελείται από 1 μέτρηση από καθεμία από 5 παράλληλες διεργασίες, και οι υψηλότερες και χαμηλότερες τιμές σε κάθε δείγμα είναι σχετικά απομακρυσμένες, γιατί προέρχονται από διαφορετικές διεργασίες, τότε το R είναι λανθασμένα διογκωμένο και έχει σαν αποτέλεσμα τα όρια στον x̅χάρτη ελέγχου είναι πολύ ευρέα ΔΧ ΔΧ 22

23. Έλεγχος ποιότητας • Aνάλυση Χάρτη ¨Ελεγχου • Διάφορα κριτήρια χρησιμοποιούνται για να διαπιστωθεί άν η διεργασία είναι εκτός • ελέγχου. Το βασικό κριτήριο έχει σχέση με το ότι ένα ή περισσότερα σημεία είναι εκτός • των ορίων ελέγχου. Τα συμπληρωματικά (supplementary) κριτήρια χρησιμοποιούνται για • να αυξηθεί η ευαισθησία των χαρτών ελέγχου σε μικρές μετατοπίσεις της διεργασίας, έτσι • ώστε οι χειριστές να αντιδρούνπιο γρήγορα στις μεταβιβάσιμες αιτίες. Οι κανόνες που • χρησιμοποιούνται ευρέωςστην πράξη για τη διαπίστωση ότι η διεργασία είναι εκτός • ελέγχου είναι οι εξής: • Ένα ή περισσότερα σημεία είναι έξω από τα όρια ελέγχου, • Δύο από τρία διαδοχικά σημεία είναι εκτός τών ορίων προειδοποίησης αλλά εντός των ορίων ελέγχου, • Τέσσερα από πέντε σημεία είναι έξω από τα ένα-σίγμα όρια, • Διαδρομή από 8 σημεία ειναι σε μιά πλευρά της κεντρικής γραμμής, • Έξι σημεία σε διαδρομή αυξάνουσα ή φθίνουσα, • Δεκαπέντε σημεία στη σειρά στη ζώνη C, (-1σ , 1σ),πάνω και κάτω από την κεντρική γραμμή, • Δεκατέσσερα σημεία στη σειρά να εναλλάσσονταιπάνω και κάτω, • Οκτώ σημεία στη σειρά και στις δυο πλευρές της κεντρικής γραμμής, κανένα στην ζώνη C, • Ασυνήθιστος ή μη τυχαίος σχεδιασμός, και • Ένα ή περισσότερα σημείακοντά σε σημείο προειδοποίησης ή ελέγχου ΔΧ ΔΧ 23

24. Έλεγχος ποιότητας Στατιστική βάση για τους χάρτες ελέγχου Όταν κανείς ασχολείται με χαρακτηριστικό ποιότητας που εκφράζεται από κάποια μετα- βλητή, πρέπει να παρακολουθεί και να εξασκεί έλεγχο και στο μέσο και στην τυπική απόκλιση του χαρακτηριστικού ποιότητας. Έλεγχος του μέσου γίνεται συνήθως με τον χάρτη ελέγχου για το μέσο δείγματος ή x̅ χάρτη. Η μεταβλητότητα της διεργασίας παρακολουθείται είτε με τον χάρτη ελέγχου για την τυπική απόκλιση, που ονομάζεται s χάρτης, ή με τον χάρτη ελέγχου για το εύρος, που ονομάζεται R χάρτης και είναι πιο συνηθισμένος Ας υποτεθεί ότι το χαρακτηριστικό ποιότητας έχει κανονική κατανομή με μέσο μ και τυπική απόκλιση σ, μ και σ γνωστά. Αν x1 , x2 ,……, xnείναι δείγμα μεγέθους n, ο μέσος του δείγματος, x̅ = (x1 + x2 + …+ xn ) / n , έχει κανονική κατανομή με μέσο μ και τυπική απόκλιση σx̅= σ / √ n ,και η πιθανότητα 1 – α για κάθε μέσο δείγματος να είναι μεταξύ μ - Ζα/2 σx̅και μ + Ζα/2 σx̅ Στην πράξη, τα μ και σδεν είναι γνωστά. Αν m δείγματαεύρους n, n= 4, 5 ή 6είναι διαθέσιμα, ο καλλίτερος εκτιμητής του μ είναι μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν κεντρική γραμμή στον x̅ χάρτηελέγχου ΔΧ ΔΧ 24

25. Έλεγχος ποιότητας Χάρτης Ελέγχου (Control Chart) Στατιστική βάση για τους χάρτες ελέγχου Το εύρος του δείγματος είναιR = xmax – xmin Aν R1, R2, … ,Rm είναι τα εύρη των m δειγμάτων, το μέσο εύρος είναι R̅= (R1 +R2+ … +Rm )/m Ta όρια ελέγχου για τον x̅χάρτη ελέγχουείναι: Ta όρια ελέγχου για τον R χάρτη ελέγχουείναι: Oι σταθερές Α2 , D3 και D4, για διάφορες τιμές του n, δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί ΔΧ ΔΧ 25

26. Έλεγχος ποιότητας • Εφαρμογή x̅και R χάρτη ελέγχου • Σε δυο φάσεις: • Φάση Ι, όπου προκαταρκτικά δείγματα χρησιμοποιούνται για την κατασκευή των x̅καιR χαρτών ελέγχου, και τα όρια ελέγχου προσδιορίζονται από τις προηγούμενεςεξισώσεις ως δοκιμαστικά όρια ελέγχου, • Φάση ΙΙ, όπου, αφού καθιερωθούν αξιόπιστα όρια ελέγχου, ο χάρτης ελέγχου χρησιμοποιείται για παρακολούθηση της μελλοντικής παραγωγής • Στη Φάση Ι: • Πρώτα καθορίζεται αν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, όταν λαμβάνονται τα αρχικά m δείγματα. Αν βρεθεί ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου, τότε τα όρια ελέγχου αναθεωρούνται • Εξετάζεται κάθε σημείοεκτός ελέγχου και αναζητείται αιτία. Αν βρεθείκαθορισμένη αιτία (assignable cause), το σημείο που συνδέεται με αυτή την αιτία απορρίπτεται και τα όρια ελέγχου υπολογίζονται εκ νέου από τα σημεία που απέμειναν. Αυτό το βήμα επαναλαμβάνεται ώσπου όλα τα σημεία στο χάρτη ελέγχου είναι υπό έλεγχο, οπότε και καθιερώνονται τα όρια ελέγχου για μελλοντική χρήση ΔΧ ΔΧ 26

27. Έλεγχος ποιότητας Εφαρμογή x̅και R χάρτη ελέγχου Μερικές φορές η κεντρική τιμή στον x̅χάρτη ελέγχου αντικαθίσταται από μια τιμή στόχου (target value), Aν ο R χάρτης δείχνει διεργασίαυπό έλεγχο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την μετατόπιση του μέσου της διεργασίας στην επιθυμητή τιμή, ιδιαίτερα σε διεργασίες που ο μέσος μπορεί να αλλάξει με σχετικά απλή αλλαγή της τιμής της ρυθμιζόμενης μεταβλητής Aν ο R χάρτης δείχνει διεργασίαεκτός ελέγχου, τα εκτός ελέγχου σημεία απορρίπτονται και υπολογίζεται αναθεωρημένη τιμή του R̅ που χρησιμοποιείται για να προσδιοριστούν νέακεντρική γραμμή για τόν R χάρτη ελέγχου και νέα όρια για τόν x̅χάρτη ελέγχου Στη Φάση ΙΙ,μόλις προσδιοριστούν τα όρια ελέγχου, ο χάρτης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παρακολούθηση(monitoring)της μελλοντικής παραγωγής Για την παρακολούθηση μεαπευθείας σύνδεση (on-line) με την παραγωγήμιας σταθερής διεργασίας, συνιστάται αποφυγή της χρήσης κανόνων ευαισθητοποίησης χαρτών ελέγχου, που είδαμε προηγουμένως, γιατί αυτοί οι κανόνες αυξάνουν την πιθανότητα λανθασμένων συναγερμών (false alarms) Για ταχύτερη ανεύρεση σχηματισμών και καθορισμένων αιτίων, μερικές φορές συνιστάται η χρήση χάρτη διαδρομής (run chart)μεμεμονωμένες μετρήσεις. Ο χάρτης αυτός όταν χρησιμοποιείται γι αυτό το σκοπό ονομάζεται χάρτης ανοχής (tolerance chart) ή διάγραμμα βαθμίδας (tier diagram) ΔΧ ΔΧ 27

28. Έλεγχος ποιότητας Εφαρμογή x̅και R χάρτη ελέγχου Δεν υπάρχει καμμιά σχέση μεταξύ των ορίων προδιαγραφών (specification limits), που προσδιορίζονται από παράγοντες εκτός της διεργασίας, και των ορίων ελέγχου στούς x̅ καιR χάρτες ελέγχου. Αλλά τα όρια ελέγχου υπαγορεύονται από τη φυσική μεταβλητότητα της διεργασίας, δηλ., από τα φυσικά όρια ανοχής (natural limits of tolerance, LNLTκαι UNLT), που, με τη σειρά τους, είναι τα ίδια με τά 3-σίγμα όρια Το κυριότερο όμως είναι ότι οι προδιαγραφές αναφέρονται στα ΚρίσιμαΓιάτηνΠοιότητα (Critical To Quality) χαρακτηριστικά ή τις μεταβλητές εξόδου της διεργασίας ή απόκριση (response), y, ενώ τα όρια ελέγχου αναφέρονται στις ελεγχόμενες μεταβλητές εισόδου ή σημαντικούς παράγοντες (factors), x, όπουy = y(x). Tά όρια ελέγχου, LCL & UCL, επι- λέγονται έσι ώστε να ικανοποιούνται οι προδιαγραφές, δηλαδή, LCL < x < UCL ==> LSL < y < USL ΔΧ ΔΧ 28

29. Έλεγχος ποιότητας Εφαρμογή x̅και R χάρτη ελέγχου Οx̅χάρτης ελέγχου χρησιμεύει για την παρακολούθηση (monitoring) του μέσου της διεργασίας και τα δείγματαεκλέγονται έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η ευκαιρία για μετατοπίσεις στο μέσο της διεργασίαςμεταξύ δειγμάτων. Αυτές οι μετατοπίσεις εμφανίζονται στο χάρτη ελέγχου σαν σημεία εκτός ελέγχου. Έτσι, οx̅χάρτης ελέγχου παρακολουθεί τη μεταβλητότηταμεταξύ δειγμάτων (between-sample variability)ή μεταβλητότητα της διεργασίας με το χρόνο Ο R χάρτης ελέγχουμετράει τη μεταβλητότητα μέσα στο δείγμα (within-sample variability) ή στιγμιαία μεταβλητότητα σε δεδομένο χρόνο Τα όρια ελέγχου βασίζονται στην μεταβλητότητα μέσα στο δείγμα (within-sample variability) Για τούς x̅και R χάρτες ελέγχου, χρειάζεται να οριστούν το μέγεθος δείγματος,τα όρια ελέγχου, και η συχνότητα δειγματοληψίας ΔΧ

30. Έλεγχος ποιότητας Εφαρμογή x̅και R χάρτη ελέγχου Ανοx̅χάρτης ελέγχου χρησιμοποιείται κυρίως για τον προσδιορισμόμετρίων μέχρι μεγάλωνμετατοπίσεων, της τάξης 2σ ή περισσότερο, τότε μικρά σχετικά δείγματα μεγέθουςn = 4, 5ή 6 είναι αρκετά αποτελεσματικά. Αν γίνεται προσπάθεια να αναγνωριστούν μικρές μετατοπίσεις, τότε μεγαλύτερα δείγματαμεγέθους n = 15 ως 25 χρειάζονται. Για αναγνώριση μικρών μετατοπίσεων προτιμούνται οι CUSUMή EWMA χάρτες ελέγχου Αλλαγή μεγέθους δείγματος σεx̅και R χάρτες ελέγχου Υπάρχουν δυο περιπτώσεις που το μέγεθος του δείγματος, n, δεν είναι σταθερό, (1) Κάθε δείγμα αποτελείται από διαφορετικό αριθμό μετρήσεων, και (2) Γίνεται μόνιμη ή ημιμόνιμη αλλαγή στο μέγεθος του δείγματος για οικονομικούς λόγους ή γιατί η διεργασία εμφανίζει καλή σταθερότητα και λιγότεροι πόροι είναι διαθέσιμοι για την παρακολούθησή (monitoring) της Οταν κάθε δείγμα αποτελείται από διαφορετικό αριθμό μετρήσεων, οι x̅και R χάρτες ελέγχου δεν χρησιμοποιούνται, αλλά οι x̅και s χάρτες ελέγχουπροτιμώνται Στην περίπτωση που γίνεται μόνιμη ή ημιμόνιμη αλλαγή στο μέγεθος του δείγματος, νέα όρια ελέγχου υπολογίζονται από τα παληά (όρια ελέγχου), χωρίς να ληφθούν επί πλέον δείγματα που έχουν το νέο μέγεθος δείγματος ΔΧ ΔΧ 30

31. Έλεγχος ποιότητας Αλλαγή μεγέθους δείγματος σεx̅και R χάρτες ελέγχου Αν R̅old= μέσο εύρος για δείγματα με το παληό μέγεθος R̅new = μέσο εύρος για δείγματα με το νέο μέγεθος nold= παληό μέγεθος δείγματος nnew= νέο μέγεθος δείγματος d2(old) = σταθερά για τό παληό μέγεθος δείγματος d2(new) = σταθερά για τό νέο μέγεθος δείγματος Τα νέα όρια ελέγχου για τόν x̅χάρτη ελέγχου είναι όπου , η κεντρική γραμμή, παραμένει αμετάβλητη και η σταθερά Α2επιλέγεται για τό νέο μέγεθος δείγματος ΔΧ ΔΧ 31

32. Έλεγχος ποιότητας Αλλαγή μεγέθους δείγματος σεx̅και R χάρτες ελέγχου Τα νέα όρια ελέγχου για τόν R̅χάρτη ελέγχου είναι όπου D3και D4επιλέγονται για τoνέο μέγεθος δείγματος Χαρακτηριστική καμπύλη Λειτουργίας (Οperating Characteristic Curve) H ικανότητα των x̅καιR χαρτών ελέγχου να εντοπίζουν μετατοπίσεις στην ποιότητα της διεργασίας φαίνεται από τίς χαρακτηριστικές Καμπύλες Λειτουργίας (ΟCcurves). Aς υποτεθεί ότι η χαρακτηριστική καμπύλη λειτουργίας για τον x̅χάρτη ελέγχου κατασκευάστηκε με γνωστό και σταθερό σ. Αν ο μέσος μετατοπίζεται από την υπό έλεγχο τιμή μ0 σε μιά άλλη τιμή μ1 = μ0 + kσ , η πιθανότητα μη εντοπισμού της μετατόπισης στο αμέσως επόμενοαπό τη μετατόπιση δείγμα ή η διακινδύνευση β είναι β = P{ LCL <x̅< UCL|μ1 = μ0 + kσ } ΔΧ ΔΧ 32

33. Έλεγχος ποιότητας Χαρακτηριστική καμπύλη Λειτουργίας Επειδή x̅~ Ν(μ, σ2/n) και UCL = μ0 + Lσ /√nκαι LCL = μ0 - Lσ /√n , όπου Φ[ x ] είναι η συνάρτηση τυπικής κανονικής αθροιστικής κατανομής (standard normal cumulative distribution function), x ~ Ν(0 , 1) Η β διακινδύνευση είναι ίση με την πιθανότηταμη εντοπισμού μετατόπισης στό δείγμα, ενώ ηπιθανότητα εντοπισμού της ίδιας μετατόπισηςστό αμέσως επόμενο (μετά τη μετατόπιση)δείγμαείναι 1 – β , πιθανότητα εντοπισμούμετατόπισης στο δεύτερο επόμενο δείγμα είναι β(1 – β) ,πιθανότητα εντοπισμούμετατόπισης στο τρίτο επόμενο δείγμα είναι β2(1 – β) ,πιθανότητα εντοπισμούμετατόπισης στο r επόμενο δείγμα είναι βr -1(1 – β) ΔΧ ΔΧ 33

34. Έλεγχος ποιότητας Χαρακτηριστική καμπύλη Λειτουργίας To μέσο μήκος διαδρομής (average run length), δηλ., ο αριθμός δειγμάτων που πρέπει να παρθούν πρίν τον εντοπισμό της μετατόπισης, ΑRL, είναι Για τούς χάρτες ελέγχου Shewhart, ARL = 1 / P(ένα σημείο εκτός ελέγχου) όπου Ρ( ) είναι η πιθανότητα συμβάντος σε παρένθεση. Ειδικότερα,τα υπό έλεγχο και εκτός ελέγχουARL, ARL0 και ARL1, αντίστοιχα είναι ARL0 = 1 / α και ARL1 = 1 / β ΔΧ ΔΧ 34

35. Έλεγχος ποιότητας Χαρακτηριστική καμπύλη Λειτουργίας Χαρακτηριστικές Καμπύλες λειτουργίας για τον x̅χάρτη ελέγχου με 3-σίγμα όρια (βλέπε παρακάτω εικόνα) παριστάνουν την πιθανότηταμη εντοπισμού μετατόπισης του μέσου της διεργασίας στο αμέσως επόμενο μετά τη μετατόπιση δείγμα, σε διάγραμμα β διακινδύνευσης έναντι μεγέθους μετατόπισης σε μονάδες τυπικής απόκλισης, k,για διαφορετικά μεγέθη δείγματος, n Αν σ,τυπική απόκλιση, μετατοπίζεται από την υπό έλεγχο τιμή σ0 σε νέα τιμή σ1( > σ0 ) , η χαρακτηριστική καμπύλη λειτουργίας (OC curve) για τον R̅χάρτη ελέγχου με 3-σίγμα όρια (βλέπε παρακάτω εικόνα), παριστάνει την πιθανότηταμη εντοπισμού μετατόπισης στην τυπική απόκλιση της διεργασίας στο αμέσως επόμενο από τη μετατόπιση δείγμα,σε διάγραμμα β διακινδύνευσης έναντι λ = σ1/σ0 ή W = R /σ (σχετικό εύρος),για διαφορετικά μεγέθη δείγματος, n OC γιαx̅χάρτη ελέγχουOC γιαR̅ χάρτη ελέγχου 5-6-2009 ΔΧ ΔΧ 35 k

36. Έλεγχος ποιότητας x̅ & s Xάρτες Ελέγχου Αν σ2 είναι η άγνωστη διασπορά της διεργασίας, ένας αμερόληπτος εκτιμητής (unbiased estimator) του σ2 είναι η διασπορά του δείγματος, s2 Αλλά η τυπική απόκλιση του δείγματος, s, δεν είναι αμερόληπτος εκτιμητήςτης τυπικής απόκλισης της διεργασίας, σ. Αν η κατανομή είναι κανονική, η τυπική απόκλιση του s είναι σ √1 – c42 όπου c4είναι μια σταθερά που η τιμή της εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος n(βλέπε πίνακα σταθερών για χάρτες ελέγχου) Αν μια πρότυπη τιμή σ είναι γνωστή, οι παράμετροι του s χάρτη ελέγχου είναι UCL = Β6σ Κεντρική γραμμή = c4σ LCL = Β5σ όπου (βλέπε πίνακα σταθερών για χάρτες ελέγχου) Αν η πρότυπη τιμή σ είναι γνωστή, λαμβάνονται m δείγματα, μεγέθους n, και υπολογίζεται ο μέσος m τυπικών αποκλίσεων si (i = 1,…,m),s̅ , που είναι ΔΧ ΔΧ 36

37. Έλεγχος ποιότητας x̅ και s Xάρτες Ελέγχου H τυπική απόκλιση του δείγματος i,μεγέθους n, si , είναι Oι παράμετροι του s χάρτη ελέγχου είναι UCL = Β4s̅ Κεντρική γραμμή = s̅ LCL = Β3 s̅ Oι σταθερέςδίνονται στον πίνακα σταθερών για χάρτες ελέγχου Oι παράμετροι του x̅ χάρτη ελέγχου είναι όπου τιμές για τη σταθερά Α3=3/(c4√n) δίνονται στον πίνακα σταθερών για χάρτες ελέγχου ΔΧ ΔΧ 37

38. Έλεγχος ποιότητας x̅ και s Xάρτες Ελέγχουαπό δείγματα μεταβλητού μεγέθους Αν niείναι ο αριθμός των μετρήσεων στο i δείγμα, Oι παράμετροι του s χάρτη ελέγχου υπολογίζονται,όπως και στην περίπτωση δειγμάτων ίσου μεγέθους, από τις σχέσεις UCL = Β4s̅ Κεντρική γραμμή = s̅ LCL = Β3 s̅ Oι παράμετροι του x̅ χάρτη ελέγχου υπολογίζονται,όπως και στην περίπτωση δειγμάτων ίσου μεγέθους, από τις σχέσεις ΔΧ ΔΧ 38

39. Έλεγχος ποιότητας • Xάρτης ελέγχου Shewhart για μεμονωμένες μετρήσεις • Σε αρκετές περιπτώσεις το μέγεθος του δείγματος είναι n = 1, δηλ., το δείγμα αποτελείται • από μια μέτρηση. Παραδείγματα είναι • Αυτόματος έλεγχος και τεχνολογία μέτρησης χρησιμοποιείται, και κάθε μονάδα που παράγεται αναλύεται, γι αυτό δεν υπάρχει λόγος για δημιουργία λογικών υποομάδων, • Ο ρυθμός παραγωγής είναι πολύ αργός, και είναι ενοχλητικό να συγκεντρώνονται δείγματα μεγέθους n > 1 πρίν την ανάλυση. Ο μακρός χρόνοςμεταξύ μετρήσεων δημιουργεί προβλήματα για τη δημιουργία λογικών υποομάδων, • Επαναλαμβανόμενες μετρήσειςδιαφέρουν μόνο στο σφάλμα εργαστηρίου ή ανάλυσης, όπως συμβαίνει στις χημικές διεργασίες, • Πολλαπλές μετρήσεις γίνονται για την ίδια μονάδα προϊόντος, π.χ., πάχος οξειδίου σε διάφορα σημεία δισκίου σιλικόνης στη βιομηχανία ημιαγωγών, και • Στη βιομηχανία κατεργασίας, π.χ., βιομηχανία χάρτου, μετρήσεις μιάς παραμέτρουόπως το πάχος της επικάλυψης κατά μήκος της διατομής του ρολούδιαφέρουνελάχιστα και έχουν τυπική απόκλιση πολύ μικρή, αν το αντικείμενο του ελέγχου είναι το πάχος της επικάλυψηςκατά μήκος της γενέτειρας του ρολού • Στις περιπτώσεις αυτές, αν το μέγεθος της μετατόπισης στο μέσο της διεργασίας είναι • μικρό, οι CUSUMκαιEWMAχάρτες ελέγχου προτιμώνται • Σε πολλές περιπτώσεις χάρτη ελέγχου για μεμονωμένες μετρήσεις, το διακινούμενο εύρος • (moving range) δυο διαδοχικών μετρήσεων,MRi = |xi – xi-1|,αποτελεί βάση υπολογισμού • της μεταβλητότητας της διεργασίας ΔΧ ΔΧ 39

40. Έλεγχος ποιότητας Xάρτης ελέγχουγια κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊοόντος (fraction nonconforming) Κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων = λόγος του αριθμού των μη συμμορφουμένων αντικειμένων προς τον συνολικό αριθμό των αντικειμένων του πληθυσμού Αν το αντικείμενο που εξετάζεται για χαρακτηριστικά ποιότητας, δεν προσαρμόζεται στό πρότυπο σε ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά χαρακτηρίζεται ως μη συμμορφούμενο Συνήθωςεκφράζουμε κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων με δεκαδικό αριθμό Αν (α) μια παραγωγική διεργασία λειτουργεί με σταθερό τρόπο, (β) η πιθανότητα για οποιαδήποτε μονάδα προϊόντος να μη συμμορφώνεται με τίς προδιαγραφές είναι p, (γ) διαδοχικές μονάδες προϊόντος είναι ανεξάρτητες, και (δ) D μονάδες προϊόντος από ένα τυχαίο δείγμαμεγέθους n είναι μη συμμορφούμενες,το Dέχει δυωνυμική κατανομή με παραμέτρους pκαι n, δηλ., όπου Ρ{ }είναι η πιθανότητα του συμβάντος σε αγγύλες Ο μέσος και η τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητήςDείναι np καιnp(1-p), αντίστοιχα Το δείγμα του κλάσματος των μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος είναι ΔΧ ΔΧ 40

41. Έλεγχος ποιότητας Xάρτης ελέγχουγια κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊοόντος (fraction nonconforming) Το δείγμα του κλάσματος των μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος είναι Η τυχαία μεταβλητήp̂έχει δυωνυμική κατανομή μεμέσο και διασπορά μ = p και σp̂2 = p(1 – p)/n Ο χάρτηςπου παρακολουθεί το κλάσμα των μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος (nonconforming fraction), p, ονομάζεται p χάρτης ελέγχου Aνw είναι η μεταβλητή που μετράει ένα χαρακτηριστικό ποιότητας, και ο μέσος και η τυπική απόκλιση του w είναι μw και σw, αντίστοιχα, τα όρια για τον Shewhart χάρτη ελέγχου του w είναι UCL = μw+Lσw Κεντρική γραμμή =μw LCL = μw - Lσw όπου L είναι η απόσταση των ορίων ελέγχου από την κεντρική γραμμή. Συνήθως, L = 3 Αν το πραγματικό κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος, p, είναι γνωστό, τα όρια ελέγχου για τον p χάρτη είναι 5-6-2009 ΔΧ ΔΧ 41

42. Έλεγχος ποιότητας Xάρτης ελέγχουγια κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊοόντος (fraction nonconforming) Στην πράξη, το πραγματικό κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος, p, σπάνια είναιγνωστό με βεβαιότητα, και δίνεται στο p μια επιθυμητή τιμή ή τιμή στόχου (target value) Αν το πραγματικό κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος, p, δεν είναιγνωστό, υπολογίζεται o εκτιμητή̅ςτου p, p̂,από mπροκαταρκτικά δείγματα, μεγέθους n, ως εξής Tα όρια ελέγχου του p χάρτη είναι Τα όρια, όταν το pδεν είναιγνωστό ή δεν έχει τιμή στόχου, είναι δοκιμαστικά όρια ελέγχου (trial control limits) ΔΧ ΔΧ 42

43. Έλεγχος ποιότητας Xάρτης ελέγχουγια κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊοόντος (fraction nonconforming) Ο χάρτης ελέγχου για το κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος, p, έχει 3 παρα- μέτρους, (α) μέγεθος δείγματος, (β) συχνότητα δειγματοληψίας, και (γ) εύρος των ορίων ελέγχου Είναι σχεδόν καθιερωμένο ο χάρτης ελέγχου για το κλάσμα μή συμμοεφουμένων μονάδων προϊόντος να βασίζεται σε 100% επιθεώρηση της παραγωγής εξόδουόλων των διεργασιών σε κάποια κατάλληλη περίοδο χρόνου, όπως μια μέρα. Στην περίπτωση αυτή μέγεθος δείγματος και συχνότητα δειγματοληψίας είναι αλληλένδετα. Γενικά, επιλέγεται η συχνότητα δειγματοληψίας που αντιστοιχεί σε ωρισμένο ρυθμό παραγωγής, και αυτό καθορίζει το μέγεθος του δείγματος Διάφοροι κανόνες έχουν προταθεί για την επιλογή του μεγέθους δείγματος, n. Αν το p είναι πολύ μικρό, το nεπιλέγεται αρκετά μεγάλο έτσι ώστε η πιθανότητα να βρεθεί μια τουλάχιστον μη συμμορφούμενη μονάδα προϊόντος στο δείγμα να είναι υψηλή. Αλλιώς, μπορεί να βρεθεί ότι τα όρια ελέγχου είναι τέτοιαώστε η παρουσίαμιας μόνο μή συμμορφουμένης μονάδας στο δείγμα να δείχνει κατάσταση εκτός ελέγχου. Επειδή για κάθε p > 0υπάρχει πιθανότητα να εμφανιστούν ελαττωματικά προϊόντα, το συμπέρασμα ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου, όταν εντοπιστείένα μόνο ελαττωματικό προϊόν,δεν είναι σωστό σε αρκετές περιπτώσεις. Για να αποφύγει κανείς αυτή την παγίδα, το μέγεθος nεπιλέγεται έτσι ώστε η πιθανότητα να βρεθεί τουλάχιστον μια μη συμμορφούμενη μονάδα προϊόντος σε κάθε δείγμα να είναι τουλάχιστον γ, δηλ., το n επιλέγεται έτσι ώστεP{D > 1} >γ (όπου γ, για παράδειγμα, μπορεί να είναι 0.95) ΔΧ ΔΧ 43

44. Έλεγχος ποιότητας Xάρτης ελέγχουγια κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊοόντος (fraction nonconforming) Το μέγεθος δείγματος n επιλέγεται έτσι ώστε το UCLνα συμπίπτει με το κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος για την εκτός ελέγχου κατάσταση. Αν δ είναι το μέγεθος μετατόπισης της διεργασίας, τότε το nικανοποιεί τη σχέση Αν το το κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος για την υπό έλέγχο κατάσταση είναι μικρό, ένα άλλο χρήσιμο κριτήριο είναι το LCLνα είναι > 0, δηλ., Πιο στενά όρια ελέγχου κάνουν το χάρτη ελέγχου πιό ευαίσθητο σε μικρές μετατοπίσεις στο p, αλλά με αύξηση του κόστους για πιο συχνούς λανθασμένους συναγερμούς Άλλο σημείο ενδιαφέροντος είναι οι τιμές κάτω από τό LCL. Αυτό οφείλεται σε ανεπαρκώς εκπαιδευμένους επιθεωρητές ελέγχου ή ανεπαρκώς βαθμολογημένa όργανa μέτρησης ΔΧ ΔΧ 44

45. Έλεγχος ποιότητας Σταθερές, για διάφορες τιμές του n, για Χάρτες Ελέγχου 5-6-2009 ΔΧ ΔΧ 45

46. Έλεγχος ποιότητας Χάρτες Συσσωρευτικού Αθροίσματος και Εκθετικά Σταθμισμένου Διακινουμένου Μέσου(CUmulative SUM and Exponentially Weighted Moving Average charts) Ένα σημαντικό μειονέκτημα του Shewhart χάρτη ελέγχου είναι ότι χρησιμοποιεί μόνο τα δεδομένα της διεργασίας από την τελευταία μέτρηση του δείγματος και αγνοεί δεδομένα από ολόκληρη τη σειρά των μετρήσεων. Αυτό το χαρακτηριστικό κάνει τον Shewhart χάρτη ελέγχου σχετικά ανίκανο να εντοπίσει μικρές μετατοπίσεις και λιγότερο χρήσιμο στη Φάση ΙΙ (παρακολούθηση=monitoring), όπου η διεργασία έχει την τάση να λειτουργεί υπό έλεγχο, αξιόπιστοι υπολογισμοί των παραμέτρων της διεργασίας, π.χ., μέσος και τυπική απόκλιση, είναι διαθέσιμοι, και καθορισμένεςαιτίες (assignable causes), τυπικά δεν καταλήγουν σε μεγάλες ανατροπές ή διαταραχές της διεργασίας Φυσικά,η χρήση ορίων προειδοποίησης (warning limits) και κανόνων ευαισθητοποίησης (sensitizing rules)βελτιώνει την απόδοση του Shewhart χάρτη ελέγχου για μικρές μετα- τοπίσεις,αλλά τα μέτρα αυτά μειώνουν δραματικά το Μέσο Μήκος Διαδρομής (ARL) του χάρτη, όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο. Αυτό είναι ανεπιθύμητο στη Φάση ΙΙ της παρακολούθησης (monitoring) Δυο πολύ αποτελεσματικές εναλλακτικές λύσεις για αντιμετώπιση μικρών μετατοπίσεων της διεργασίας και χρήση στη Φάση ΙΙ είναι οι χάρτες Συσσωρευτικού Αθροίσματος και Εκθετικά Σταθμισμένου Διακινουμένου Μέσου(CUSUM and EWMA) ΔΧ ΔΧ 46

47. Έλεγχος ποιότητας Χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUmulative SUMchart) ΔΧ ΔΧ 47

48. Έλεγχος ποιότητας Χάρτης ελέγχου Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUmulative SUMchart) Τα πρώτα 20 σημεία στον προηγούμενο πίνακα, που επιλέχτηκαν τυχαία από κανονική κατανομή με μέσο μ = 10 και τυπική απόκλιση σ =1, σχεδιάστηκαν στο Shewhart χάρτη ελέγχου παρακάτω Η κεντρική γραμμή και τα όρια ελέγχου για τον παραπάνω χάρτη ελέγχου είναι UCL = 13 Κεντρική γραμμή = 10 LCL =7 Σημειωτέον ότι όλα τα 20 σημεία είναι υπό έλεγχο Τα τελευταία 10 σημεία του προηγούμενου πίνακα, επιλέχτηκαν τυχαία από κανονική κατανομή με μέσο μ = 11 και τυπική απόκλιση σ =1. Μπορεί κανείς να σκεφτεί ότι τα τελευταία 10 σημεία προέρχονται από διεργασία που είναι εκτός ελέγχου, δηλ., αφού η διεργασία υπέστει μετατόπιση του μέσου κατά 1σ. Τα τελευταία 10 σημείαπαριστάνονται επίσης στο χάρτη ελέγχου παραπάνω ΔΧ ΔΧ 48

49. Έλεγχος ποιότητας Χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUmulative SUMchart) Όπως φαίνεται από τό χάρτη ελέγχου, κανένααπό αυτά τασημείαδεν είναιεκτός ελέγχου και η μόνη ένδειξη ότισυνέβει μετατόπιση στό μέσο, είναι τα σημεία, με εξαίρεση ένα μόνο, είναι πάνω από την κεντρική γραμμή. Ο λόγος γι΄ αυτή την αποτυχία είναι το σχετικά μικρό μέγεθος της μετατόπισης ΟShewhart χάρτης ελέγχου για το μέσο του δείγματος είναι πολύ αποτελεσματικός, αν το μέγεθος της μετατόπισης είναι 1.5σ ώς 2σ και μεγαλύτερο. Για μικρότερες μετατοπίσεις, δεν είναι τόσο αποτελεσματικός. Ο χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUSUM) είναι μια καλή εναλλακτική λύση, όταν μικρές μετατοπίσεις είναι σημαντικές Ο χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος κατασκευάζεται ως εξής. Λαμβάνονται δείγματαμεγέθους n > 1, υπολογίζεται ο μέσος κάθε δείγματος (x̅jείναι ο μέσος του j δείγματος), και, αν η τιμή στόχου (target value) για το μέσο της διεργασίας είναι μ0, το μέγεθος που είναι το συσσωρευτικό άθροισμαως και περιλαμβανομένου του iδείγματος, σχεδιάζεται σε διάγραμμα με οριζόντιο άξονα τον αριθμό δείγματοςi ΔΧ ΔΧ 49

50. Έλεγχος ποιότητας Χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUmulative SUMchart) Ο χάρτης ελέγχου Συσσωρευτικού Αθροίσματος, επειδήπεριέχει δεδομένα από αρκετά δείγματα, είναι πιο αποτελεσματικός από τον Shewhart χάρτη ελέγχου για μικρές μετα- τοπίσεις της διεργασίας. Είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικός με δείγματα μεγέθους n =1, πράγμα που καθιστά τον χάρτη ελέγχου Συσσωρευτικού Αθροίσματοςκαλη επιλογή για τη χημική και τη βιομηχανία κατεργασίας, όπου λογικές υποομάδες (rational subgroups) έχουν συχνά μέγεθος ίσο με ένα. Το ίδιο ισχύει για τη βιομηχανία διακριτών στοιχείων (discrete parts), όπου γίνονται αυτόματικές μετρήσεις για κάθε στοιχείο και παρακολούθη- ση (monitoring) σε απευθείας σύνδεση με την παραγωγή Αν η διεργασία παραμένει υπό έλεγχο στην τιμή στόχου(target value) μ0, το συσσωρευτικό άθροισμα ακολουθεί τυχαίο περίπατο (random walk) με μέσο ίσο με το μηδέν. Αν όμως ο μέσος μετατοπίζεται στο μ1( > μ0), τότε μια μετατόπιση πρός τα πάνω ή θετική μετατόπιση αναπτύσσεται στο συσσωρευτικό άθροισμα Ci. Αν λοιπόν μια σημαντική τάση προς τα πάνω ή κάτω αναπτυχθεί στα σημεία του χάρτη ελέγχου, αυτό θεωρείται ως ένδειξη ότι ο μέσος της διεργασίας έχει μετατοπιστεί, και χρειάζεται να γίνει έρευνα για τις καθορισμένες αιτίες (assignable causes) Για να κατασκευαστεί ο χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUSUMchart) για τα δεδομένα του προηγούμενου πίνακα, x̅= xi(το κάθε δείγμα έχει μέγεθοςn = 1), μ0= 10καιμε C0 = 0 Ο χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος δίνεται στην επόμενησελίδα ΔΧ ΔΧ 50