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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA. PROJETO PIBEG. Unidade V Integração Numérica. Sumário:. 1 – Introdução. 2 – Fórmulas de Newton - Cotes. 3 – Regra dos Trapézios. 3.1 – Erro de Truncamento. 4 – Regra dos Trapézios Repetida. 4.1 – Erro de Truncamento.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

FACULDADE DE MATEMÁTICA

PROJETO PIBEG

Unidade V

Integração Numérica

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Sumário:

1 – Introdução

2 – Fórmulas de Newton - Cotes

3 – Regra dos Trapézios

3.1 – Erro de Truncamento

4 – Regra dos Trapézios Repetida

4.1 – Erro de Truncamento

5 – Regra 1/3 de Simpson

5.1 – Erro de Truncamento

6 – Regra 1/3 de Simpson Repetida

6.1 – Erro de Truncamento

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Seja f(x) uma função contínuaem [a, b]. O problema da integração

numérica consiste em calcular um valor aproximado para:

  • A idéia básica da integração numérica é a substituição de f(x) por

um polinômio pn(x), que aproxime a função no intervalo [a, b].

  • Desta forma, a solução é obtida pela integração trivial de

polinômios, ou seja:

onde, I’ é a integral aproximada e Ei o erro da integração numérica.

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f(x)

f(x1)

p(x)

f(x0)

a

b

||

||

x0

x1

  • Quando os pontos usados na determinação do polinômio

interpolador são igualmente espaçados e, no caso particular onde

x0 = a e xn = b, tem-se o processo conhecido como “fórmulas

fechadas de Newton-Cotes”.

Assim, tem-se:

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Considerando uma variável auxiliar u, pode-se escrever:

Portanto, a integral é dada por:

  • Nesta unidade desenvolveremos as seguintes fórmulas de

Newton-Cotes:

  • Regra dos Trapézios
  • Regra 1/3 de Simpson
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Desenvolvimento por

Lagrange

Desenvolvimento por

Newton - Gregory

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Consideremos o intervalo [a, b] tal que x0 = a e xn = b.

  • Seja pn(x) um polinômio que interpole a função y = f(x) sobre n + 1 pontos. Pela fórmula de Lagrange, temos que:
  • Portando a integral aproximada é dada por:
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Pela Regra dos Trapézios considera-se o polinômio pn(x) de

grau máximo n = 1, assim temos:

  • Para fazer a integração consideremos os pontos igualmente espaçados de h e a variável auxiliar u:
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f(x)

f(x1)

p(x)

f(x0)

h

a = x0

b = x1

Esta equação representa a área do

trapézio de altura h e bases

f(x0) e f(x1).

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3.1 – Erro de Truncamento na Regra dos Trapézios

Sabe-se que :

Considerando a variável auxiliar u, o erro da interpolação

polinomial, obtido na unidade anterior, é dado por:

Substituindo na equação anterior resulta:

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O teorema do valor médio para integral, permite escrever:

desde que yn(u)não mude de sinal no intervalo e n impar.

Desta forma, a equação do erro pode ser reescrita como:

No caso da Regra dos trapézios, faz-se n = 1 e obtém-se:

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f(x)

f(x)

...

x0

x1

x2

x3

xm-2

xm-1

xm

x

  • Com a finalidade de minimizar o erro cometido, seja a regra dos trapézios aplicada repetidas vezes.
  • Considere pontos distintos (xi , yi) i = 0, ... , m igualmente espaçados com passo h,tais que xi+1 - xi = h.
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Segundo a propriedade das integrais, tem-se:

  • Utilizando a equação da regra dos trapézios, resulta:
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f(x)

A4

A3

A2

A1

x

4.1 – Interpretação Geométrica

ITR = A1 +A2 + A3 + A4 + ... + Am

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4.2 – Erro de Truncamento na Regra dos Trapézios Repetida

  • Considerando que f ”(x) seja contínua no intervalo [a, b] , pode-se escrever que:
  • Desta forma, o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios repetida é dado por:
  • E a cota superior (ou limitante) do erro absoluto vale:
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Exemplo 1:Seja

a)

a) Aproximar I, usando a regra do Trapézios Repetida sobre

7 pontos.

b) Estime o erro cometido.

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Desenvolvimento por

Lagrange

Desenvolvimento por

Newton - Gregory

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f(x)

x

x0

x1

x2

  • Consideremos o intervalo [a, b] tal que x0 = a , x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b.
  • Utilizando novamente o polinômio de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração de f(x) tem-se:
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A integral aproximada é dada por:

  • Pela Regra 1/3 de Simpson considera-se o polinômio pn(x) de grau máximo n = 2, assim temos:
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5.1 – Erro de Truncamento na Regra 1/3 de Simpson

  • O erro cometido ao se utilizar a regra 1/3 de Simpson não pode

ser obtido através da equação abaixo:

pois yn(u) muda de sinal no intervalo.

  • Demonstra-se que, para f (IV)(x) contínua em [x0, xn], o erro pode

ser calculado por:

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Seja m +1 pontos igualmente espaçados, tal que o intervalo

[a, b] seja subdividido em m intervalos pares.

  • Segundo a propriedade das integrais, tem-se:
  • Utilizando a equação da regra 1/3 de Simpson, resulta:
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6.1 – Erro de Truncamento na Regra 1/3 de Simpson Repetida

  • Considerando que f (IV)(x) seja contínua no intervalo [a, b], o erro pode ser calculador por:
  • Desta forma, o erro cometido pela aplicação da Regra 1/3 de

Simpson Repetida vale:

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a)

Exemplo 2:Seja

a) Aproximar I, usando a regra 1/3 de Simpson Repetida sobre

7 pontos.

b) Estime o erro cometido.

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