Dane INFORMACYJNE :

2. Nazwa szkoły:Gimnazjum nr 5 w Poznaniu ID grupy: 98/30_mf_g2 Opiekun: Olga Jakubczyk Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: HISTORIA LICZBY. Semestr III rok szkolny 2010/2011 Dane INFORMACYJNE :

3. HISTORIA LICZBY

4. System liczbowy to zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisywania liczb używa się pewnego skończonego zbioru znaków (cyfr), które można zestawiać ze sobą na różne sposoby otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji. Celem projektu jest przedstawienie historii systemów zapisu liczb.

5. Wynalazek Cyfr

6. Cyfrato umowny znak pisarski służący do zapisywania liczb. Już w trzecim tysiącleciu p.n.e. używano w Egipcie hieroglifów do oznaczania jednostek, dziesiątek i tak dalej aż do 10 000 000. Innych cyfr używano w Babilonii (tzw. babiloński system liczbowy), jeszcze innych w starożytnej Grecji i Rzymie. Liczba znaków służących do zapisu jest zależna od systemu liczbowego i przyjętego sposobu zapisu. 10 w systemie dziesiętnym, 16 - w szesnastkowym, ale w rzymskim już tylko siedem (I, V, X, L, C, D, M). Kilkafaktów o wynalezieniu cyfr

7. Rozpowszechnione obecnie tak zwane cyfry arabskie (układ dziesiętny) pochodzą naprawdę z Indii. Arabowie tylko sprowadzili je z Indii wraz z tablicą rachunkową zwaną (zbliżoną do dzisiejszego liczydła) do Europy - między X a XIII w. Dzieło Leonardo Pisano o abakusiepodkreślające praktyczność arabskiego systemu zainteresowało kupców włoskich. W ten sposób w XIII wieku arabska notacja upowszechniła się we włoskich księgach handlowych, a w XIV wieku trafiła do epigrafiki kościelnej by w XVI wieku wyprzeć całkowicie cyfry rzymskie z potocznego użycia.

8. Wczesne średniowiecze używa wyłącznie cyfr rzymskich, na ogół nie zmienionych, tylko cyfry i liczby 4, 9, 40, 90 pisze się częściej IIII, VIIII, XXXX, LXXX niż IV, IX, XL, XC. Natomiast wielokrotność setek oznaczano przez powtarzanie litery C, np. CCC = 300. Połowę oznaczano przez przekreślenie cyfry. W niektórych systemach do zapisu liczb służyły kolejne litery alfabetu, najpierw dla kolejnych wartości 1 do 9, potem dalej dla kolejnych wielokrotności 10 i itd. - "1" i "10" zapisywano innymi znakami. Taki zapis stosowano np. w alfabetach: hebrajskim, starosłowiańskim (głagolica) i greckim.

9. cyfry arabskie cyfry cyrylickie (słowiańskie) cyfry egipskie hieroglificzne cyfry greckie (starogreckie) cyfry Majów cyfry hebrajskie cyfry rzymskie cyfry babilońskie Cyfry były składnikiem wielu pism Wyróżnia się między innymi:

10. W przeciągu lat stworzono wiele odrębnych systemów liczbowych charakterystycznych dla rejonu występowania. Kilka z nich zostanie przedstawionych w poniższej prezentacji 

11. Grecki system Liczbowy

12. CYFRY GRECKIE

13. Pewnie znacie kilka z tych liczb, choćby nawet z przedmiotów szkolnych takich jak: matematyka, fizyka, chemia- nawet o tym nie wiedząc... Najczęściej używane liczby greckie to: alfa, beta, gamma i delta... Słyszeliście pewnie taki związek frazeologiczny jak ''alfa i omega‘‘ - oznacza on początek i koniec, dlatego, że alfa jest pierwszą liczbą grecką, a omega ostatnią... Alfa i omega można powiedzieć także o kimś kto jest wielkim autorytetem... Troszkę o alfabecie

14. a + b = g1 + 2 = 3 d + m = md4 + 40 = 44 t + f = w300 + 500 = 800 p + k + r = s80 + 20+100 =200 Przykładowe działania

15. Liczby od napisów odróżniano przez pisanie nad liczbami poziomej kreski, natomiast cyfrę tysięcy pisano dużą literą, lub poprzedzano kreską u dołu. Przykładowo, liczba 1234 mogła zostać zapisana na dwa sposoby:

16. Rzymski system liczbowy

17. System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków. Historia liczb rzymskich

18. Według rzymskiej legendy Romulus - założyciel i pierwszy król Rzymu - podzielił rzymski rok na dziesięć miesięcy. Oto lista rzymskich miesięcy z wyjaśnieniem znaczenia ich nazw: Martiu         miesiąc boga MarsaAprilis           pochodzenie nieznaneMaius           miesiąc Mai, matki MerkuregoJunius           miesiąc bogini JunonyQuintilis        piąty miesiącSextilis          szósty miesiącSeptember    siódmy miesiącOctober        ósmy miesiącNovember    dziewiąty miesiącDecember     dziesiąty miesiąc

19. W tym systemie rok miał tylko 304 dni, toteż król Numa dodał później dwa miesiące: Januarius (miesiąc boga Janusa) i Februarius (miesiąc oczyszczenia). W 153 roku p.n.e. początek Nowego Roku przesunięto z marca na 1 stycznia. Nawet z dwoma dodatkowymi miesiącami rok liczył tylko 355 dni, więc Rzymianie wciąż musieli dodawać dodatkowe dni, aby kalendarz sprawnie funkcjonował.

20. Każdego miesiąca daty obliczano w odniesieniu do specjalnych dni, znanych jako Kalendy, Idy i Nony. Oto te szczególne dni:Kalendy - pierwszy dzień każdego miesiącaIdy         - 15 dzień marca, maja, lipca oraz października i 13 dzień wszystkich pozostałych miesięcyNony       - 7 dzień marca, maja, lipca oraz października i 5 dzień wszystkich pozostałych miesięcy Daty obliczano wstecz od Kalend, Id i Non Rzymskie daty

21. Przez większość swojej historii Rzymianie nie mieli tygodni w naszym rozumieniu tego słowa, chociaż co osiem dni następował dzień targowy. W 321 roku n.e. cesarz Konstantyn wprowadził nowy, siedmiodniowy tydzień, którego pierwszym dniem była niedziela. Rzymianie wierzyli, że Słońce i Księżyc są planetami i uważali, że łącznie istnieje siedem planet. Nazwano je na cześć rzymskich bogów i bogiń, a dni tygodnia otrzymały nazwy planet: Rzymskie dni tygodnia

22. niedziela        dies Solis (dzień Słońca)poniedziałek  diesLunae (dzień Księżyca)wtorek            diesMartis (dzień Marsa)środa              diesMercurii (dzień Merkurego)czwartek         diesJovis (dzień Jowisza)piątek             diesVeneris (dzień Wenus)sobota            diesSaturni (dzień Saturna)

23. Jakich znaków używa się do zapisywania liczb systemem rzymskim? I = 1 L= 50 C = 100 V = 5 D = 500 X = 10 M = 1000

24. C pochodzi od słowa centum= 100 M pochodzi od słowa mille = 1000

25. Liczby powstają z dodawania znaków. 6 = (V + I) = VI 11 = (X + I) = XI 60 = (L + X) = LX 110 = (C + X) = CX 600 = (D + C) = DC 1100 = (M + C) = MC

26. Liczby powstają również z odejmowania znaków. 4 = (V – 1) = IV 9 = (X – I) = IX 40 = (L – X) = XL 90 = (C – X) = XC 400 = (D – C) = CD 900 = (M – C) = CM

27. Jakie są inne zasady obowiązujące przy tworzeniu liczb systemem rzymskim? Obok siebie można zapisać tylko trzy jednakowe znaki I, X, C, M. Nie wolno powtarzać obok siebie znaków V, L, D.

28. 78=LXXVIII 94=XCIV 116=CXVI 465=CDLXV 999=CMXCIX Spróbuj zapisać liczby znakami rzymskimi:

29. XLV = 45 LXXIX=79 CCXLVI=246 CDXCIV=494 MMM=3000 Spróbuj odczytać liczby zapisane znakami rzymskimi:

30. Jak zapisać systemem rzymskim większe liczby? ICI = 10 000 IXLVII=4 600 IDCIVI=60 400 Liczby w pionowych kreskach zwiększają swoją wartość stukrotnie.

31. Jak zapisać jeszcze większe liczby systemem rzymskim? XXX = 30 000 DV = 505000 MM = 2 000 000 Liczby podkreślone u góry zwiększają swoją wartość tysiąckrotnie.

32. Gdzie dzisiaj używa się zapisu liczb systemem rzymskim? Przy zapisywaniu dat i wieków 11 XI 1918 Przy numeracji ważnych rocznic XV Konkurs Chopinowski Przy imionach kolejnych królów Zygmunt III Waza

33. Gdzie jeszcze używa się zapisu liczb systemem rzymskim? • Do oznaczania godzin na tarczy zegarowej • Przy numeracji rozdziałów • Na tablicach pamiątkowych • W inskrypcjach

34. PROSTSZA NOTACJA WYKŁADNICZA

35. Postać wykładnicza to zapis liczby bezpośrednio w formie iloczynu postaci: gdzie: - M jest mantysą znormalizowaną do przedziału [1,10) - E jest wykładnikiem całkowitym. Notacja wykładnicza to uproszczony zapis bardzo dużych liczb i bardzo małych liczb. Prostsza notacja wykładnicza

36. Za pomocą potęg o wykładnikach naturalnych zapisuje się bardzo duże liczby, np: - masa Ziemi wynosi 5,976•1024 kg,- największa ryba świata- płetwal błękitny waży 1,2•105 kg, Za pomocą potęg o wykładniku całkowitym ujemnym określamy bardzo małe liczby, np: - masa najmniejszego ptaka - kolibra wynosi 2•10-3 kg- masa atomu wodoru 1,67•10-27 kg Przykłady ZASTOSOWANIA NOTACJI WYKŁADNICZEJ:

37. System babiloński

38. Znaki babilońskie Babilońskich znaków używano w Mezopotamii około 5000 lat temu. Zachowały się do naszych czasów na glinianych tabliczkach. Wśród tych tablic uczeni znaleźli sporo tablic, na których wypisana jest cała wiedza matematyczna Babilonii. Babilończycy pisali pismem klinowym. Liter klinowych było dużo, ale znaków cyfrowych było niewiele. Babilończycy, którzy byli sławni za swoje słynne obserwacje astronomiczne i obliczenia, korzystali z pozycyjnego systemu sześćdziesiątkowego (systemu liczbowego o podstawie 60), który towarzyszy nam jeszcze dziś. Do dzisiaj dzielimy godziny na sześćdziesiąt minut, minuty na sześćdziesiąt sekund.

39. To nie jest takie trudne! • System babiloński może wydawać się skomplikowany, jednak w rzeczywistości Babilończycy potrzebowali tylko dwóch symboli - dla oznaczenia jedności i dziesiątek. Znak    oznaczał jedności, znak  oznaczał dziesiątki. Ich cyfry były zbudowane właśnie z tych dwóch znaków.

40. Babilończycy nie znali cyfry zero. Zamiast zera pozostawiali na danej pozycji puste miejsce. Problem pojawiał się wtedy, gdy obok siebie było kilka takich pustych miejsc. Jednak w rachunkach starożytności nie operowano olbrzymimi wartościami, więc puste miejsca obok siebie w zapisie babilońskim były raczej rzadkością. W późniejszym okresie zaczęto takie puste miejsca zaznaczać małą, pionową kreseczką umieszczoną u góry.

41. Cyfry…

42. Wielki sennik babiloński

43. System egipski

44. Starożytne cyfry egipskie były używane w Egipcie aż do wczesnych lat pierwszego tysiąclecia naszej ery. Był to system dziesiętny, często zaokrąglany w górę, zapisywany przy użyciu hieroglifów. System zapisu przez hieratykę wymuszał skończony zapis liczb.

45. Opis znaków z tabeli: Pojedyncze pociągnięcie Kości pięty Kłębek liny Grzebień egipski Palec Kijanka lub żaba Człowiekwznoszący ręce

46. System indyjski

47. System liczbowy Indii tworzył podstawę obecnie stosowanych europejskich systemów liczbowych. Historia przyjęcia przez Europę tego systemu liczbowego nie była jednak prosta. Wschodnie i zachodnie części świata arabskiego w różny sposób rozwijały indyjski system liczbowy i w niewielkim stopniu  integrowały się między sobą. Zachodnia część arabskiego świata to Północna Afryka i Hiszpania. Głównie drogą poprzez Hiszpanię do Europy zawitał nowy system liczbowy. Historia systemu

48. Zagadnienie to nie jest jednak proste, gdyż Arabowie w XI wieku używali co najmniej trzy różne rodzaje systemów arytmetycznych, tj.: system bazujący na liczeniu na palcach z liczbami zapisywanymi wyłącznie przy pomocy słów (używany był w handlu); system sześćdziesiętny z liczbami zapisywanymi  arabskimi literami (pochodzi od systemu babilońskiego, używany był w astronomii) oraz arytmetyka indyjska  z pozycyjnymi ułamkami dziesiętnymi, w którym używano tablic pyłowych niezbędnych do przesuwania i ścierania liczb (podobne do naszych tablic z kredą).

49. Obecnie istnieją dwie wersje cyfr arabskich, różniące się wyglądem kilku cyfr: tzw. cyfry indyjsko - arabskie – stosowane obecnie w krajach arabskojęzycznych; przed 1928 r. w. używane także w Turcji. tzw. cyfry wschodnio-indyjsko-arabskie (lub wschodnio - arabskie) – stosowane w innych krajach islamskich, w których niearabski język urzędowy zapisywany jest przy pomocy pisma arabskiego. dwie wersje cyfr arabskich

50. cyfry arabskie cyfry indyjsko-arabskie Cyfry wschodnio-indyjsko-arabskie