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Razones trigonométricas de un ángulo agudo

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y. Hipotenusa. h. Cateto opuesto. x. 90º. a. Cateto contiguo. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. 0 < sen a < 1. 0 < cos a < 1. Valores posibles de las razones. Como la hipotenusa siempre es mayor que los catetos:. Como los catetos pueden tomar cualquier valor:.

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razones trigonom tricas de un ngulo agudo

y

Hipotenusa

h

Cateto opuesto

x

90º

a

Cateto contiguo

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

valores posibles de las razones

0 < sen a < 1

0 < cos a < 1

Valores posibles de las razones

Como la hipotenusa siempre es mayor que los catetos:

Como los catetos pueden tomar cualquier valor:

0 < tg a < ¥

otras razones trigonom tricas

Hipotenusa

y

h

Cateto opuesto

x

90º

a

Cateto contiguo

Otras razones trigonométricas.
otras relaciones importantes

h

y

x

90º

a

Otras relaciones importantes

Por tanto:

Estas relaciones permite calcular el resto de las razones trigonométricas de un ángulo agudo conocida una de ellas.

razones trigonom tricas de ngulos complementarios

90º-a

h

y

90º

x

a

Razones trigonométricas de ángulos complementarios.

Dos ángulos son complementarios si suman 90º. Si uno es a el otro es 90º-a.

razones trigonom tricas de 45

Por el teorema de Pitágoras:

45º

1

45º

1

Razones trigonométricas de 45º

Utilizamos un triángulo rectángulo isósceles con catetos iguales a uno

Por tanto:

razones trigonom tricas de 30 y 60

30º

60º

1

1

1

60º

60º

60º

1

1/2

Razones trigonométricas de 30º y 60º

Ahora utilizamos un triángulo equilátero de lados iguales a 1

razones trigonom tricas de ngulos cualesquiera primer cuadrante i

1

a

1

1

y

a

x

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (I).

Consideramos una circunferencia de radio uno.

Para cada ángulo tendremos un punto en la circunferencia de coordenadas x e y

Por tanto el seno es la segunda coordenada del punto y el coseno la primera.

razones trigonom tricas de ngulos cualesquiera primer cuadrante ii

P’

a

1

1

O

A

A’

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (II).
  • Los triángulos OPA y OP’A’ son semejantes

Representación de la tangente

razones trigonom tricas de ngulos cualesquiera segundo cuadrante

1

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Segundo cuadrante.
  • Seno positivo
  • Coseno negativo
  • Tangente negativa

a

razones trigonom tricas de ngulos cualesquiera tercer cuadrante

1

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Tercer cuadrante.
  • Seno negativo
  • Coseno negativo
  • Tangente positiva

a

razones trigonom tricas de ngulos cualesquiera cuarto cuadrante

1

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Cuarto cuadrante.
  • Seno negativo
  • Coseno positivo
  • Tangente negativa

a

reducci n al primer cuadrante i ngulos suplementarios que suman 180

Y

180º - a

a

x

a

y

y

-x

X

Reducción al primer cuadrante (I). Ángulos suplementarios (que suman 180º).

Si un ángulo mide a su suplementario mide 180º - a

P(-x, y)

P(x, y)

sen (180º - a) = sen a

cos (180º - a) = - cos a

tg(180º - a ) = - tg a

reducci n al primer cuadrante ii ngulos que difieren en 180

Y

180º + a

a

x

y

-x

a

X

-y

Reducción al primer cuadrante (II). Ángulos que difieren en 180º.

Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide a el otro mide 180º + a

P(x, y)

sen (180º + a) = - sen a

cos (180º + a) = - cos a

P(-x, -y)

tg (180º + a )= tg a

reducci n al primer cuadrante iii ngulos que suman 360

Y

y

360º - a

a

x

-y

X

Reducción al primer cuadrante (III). Ángulos que suman 360º.

Si un ángulo mide a el otro mide 360º-a

P(x, y)

sen (360º - a) = - sen a

cos (360º - a) = cos a

tg (360º - a) = - tg a

P(x, -y)

ngulos negativos

Y

y

a

x

-y

X

- a

Ángulos negativos

Si un ángulo mide a su opuesto mide -a

P(x, y)

sen (- a) = - sen a

cos (- a) = cos a

tg (- a) = - tg a

P(x, -y)

ngulos mayores de 360

870

360

870º son 2 vueltas completas más 150º

150

2

sen( 870º) = sen (150º) = sen( 30º ) =

cos ( 870º) = cos (150º) = -cos( 30º ) =

tg ( 870º) = tg (150º) = -tg( 30º ) =

Ángulos mayores de 360º

Ejemplo: calcula las razones trigonométricas de 870º

IES Francisco de los Cobos. Departamento de Matemáticas

Antonio Jesús Fernández Rodríguez

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