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24.3.1 正多边形和圆

E. D. A. C. B. 24.3.1 正多边形和圆. 观察下列图形他们有什么特点？. 四条边相等，四个角相等（ 90 0 ）。. 三条边相等，三个角相等（ 60 度）。. 正方形. 正三角形. 一 . 正多边形定义. 各边相等 , 各角也相等的多边形叫做 正多边形. 如果一个正多边形有 n 条边，那么这个正多边形叫做 正 n 边形 。. 思考 : 菱形是正多边形吗 ? 矩形是正多边形呢 ?. 菱形 , 矩形都不是正多边形. 正 n 边形与圆的关系. 1. 把正 n 边形的边数无限增多 , 就接近于圆. 2. 怎样由圆得到多边形呢？. D.

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24.3.1 正多边形和圆

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Presentation Transcript

  1. E D A C B 24.3.1正多边形和圆

  2. 观察下列图形他们有什么特点？

  3. 四条边相等，四个角相等（900）。 三条边相等，三个角相等（60度）。 正方形 正三角形 一 .正多边形定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。 思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢? 菱形, 矩形都不是正多边形

  4. 正n边形与圆的关系 1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆. 2.怎样由圆得到多边形呢？ D A 思考1: 把一个圆4等分, 并依次连 接这些点,得到正多边形吗?? B C 弦相等（多边形的边相等） 弧相等 圆周角相等（多边形的角相等） —这样的多边形是正多边形

  5. 思考2: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点, 得到正多边形吗?? A ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA B E ∴AB=BC=CD=DE=EA ⌒ D C ∵BCE=CDA=3AB ∴∠A=∠B 同理∠B=∠C=∠D=∠E 定理1：把圆分成n（n≥3）等份： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆 的内接正多边形. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上 ∴五边形ABCDE是⊙O的 内接正五边形.

  6. 证明：连结OA、OB、OC，则： ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB ∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB 又∵AB=BC ∴AB=BC ∴△PAB与△QBC是全等 的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA ⌒ ⌒ 思考3: 过圆的5等份点画圆的切线, 则以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形吗?? A T P E B O Q S C D R 定理2：经过各分点作圆的切线，以相邻切 线的交点为顶点的多边形是这个圆的 外切正多边形. 又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五边形。

  7. E D F C 二. 正多边形有关的概念 正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心. 半径R . O 中心角 正多边形的半径: 外接圆的半径 边心距r 正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角. 正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.

  8. 外接 1. O是正△ABC的中心，它是△ABC的_____ 圆与________圆的圆心。 内切 A 2. OB叫正△ABC的_____, 它是正△ABC的______圆 的半径。 　　　　　 半径 外接 .O 边心距 3. OD叫作正△ABC______, 它是正△ABC的______ 圆的半径。 内切 B C D 中心 4. ∠BOC是正△ABC的________角; 60 120 ∠BOC=_____度; ∠BOD=_____度.

  9. 5、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的____________ 中心 6、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的___________ 边心距 A D .O B E C

  10. 7、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的________， 它是正五边形ABCDE的________圆的半径。 边心距 内切 中心 8、∠AOB叫做正五边形ABCDE的_______角， 它的度数是________ 72度 D C E .O A B F

  11. 9、图中正六边形ABCDEF的中心角是_______; 它的度数是_________; ∠AOB 60度 10、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？ E D F .O C A B

  12. 1、判断题。 ①各边都相等的多边形是正多边形。 （ ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形 （ ） 2、证明题。 求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多 边形是正六边形。 × × A F B E C D

  13. 3.求证：正五边形的对角线相等。 A 已知：ABCDE是正五边形，求证：DB=CE B E 证明： 在△BCD和△CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等。 D C

  14. E D F . C 中心角 边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形 O . R a A G B 设正多边形的边长为a,半径为R,则周长为: L=na 如何求正多边形的面积呢？先求什么？再求什么？

  15. 正n边形的一个内角的度数是____________; 中心角是___________; 正多边形的中心角与外角的大小关系是________. 相等

  16. 完成下表中正多边形的计算 等边三角形的半径与边长、边心距的比值是_____ 正方形的半径与边长、边心距的比值是_____ 正六边形的半径与边长、边心距的比值是_____

  17. 3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积. 解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D 连接OB，则OB=R A 在Rt△OBD中 ∠OBD=30°, · 边心距＝OD= O 在Rt△ABD中 ∠BAD=30°, B C D

  18. 解：连接OB，OC作OE⊥BC垂足为E， ∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45° 在Rt△OBE中为等腰直角三角形 A D · O C B E

  19. 解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于 =60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积． 分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的． 在Rt△OAM中，OA=a，AM=½AB= ½a OM= ∴所求正六边形的面积=

  20. A D · · O O D C B C B E D B C F E O A R r P A 你能由这三个特殊的正多边形推出一般的正多边形的面积公式吗？计算步骤呢？

  21. 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2). 因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 利用勾股定理,可得边心距 F E O 亭子地基的面积 A D R r P B C

  22. 小结： 1、怎样的多边形是正多边形？ 2、怎样判定一个多边形是正多边形？ ①各边相等 ②各角相等 的多边形叫做正多边形。

  23. 四.拓展练习 • 1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正六边形的面积之比等于________ • 2．圆内接正方形的半径与边长的比值是________ • 3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边心距是________ • 4．已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的内接正六边形边长为__________． • 5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为________；边心距为________．

  24. 6、已知正多边形的边心距与边长的比是 ∶1，则此正多边形是( ) A．正三角形 B、正方形 C．正六边形 D正十二边形 • 7．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D 4个 • 8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（） A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定

  25. 9．若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（ ） A．36° B、 18° C．72° D．54° • 10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那么正n边形的面积为（ ） A、 • 11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口b最小应是( ) A、

  26. 1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______． 2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______． 3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是____度，半径是___，边心距是，它的每一个内角是______． 4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等． 中心 边心距 60 1 120° 中心

  27. 轴 5.正多边形一定是对称图形,一个正n边形共有条对称轴,每条对称轴都通过;如果一个正n边形是中心对称图形,n一定是数. 6.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转度,才能与原来的图形位置重合. 7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12和18,则它们的周长之比为,面积之比为. n 中心 偶 72 2﹕3 4﹕9

  28. 8.下列说法中正确的是( ) A.平行四边形是正四边形 B. 矩形是正四边形 C. 菱形是正四边形 D. 正方形是正四边形 9. 下列命题中,真命题的个数是( ) ①各边都相等的多边形是正多边形; ②各角都相等的多边形是正多边形; ③正多边形一定是中心对称图形; ④边数相同的正多边形一定全等. A.1 B.2 C. 3 D. 4 D A

  29. 10.已知正n边形的一个外角与一个内角的比为1﹕3,则n等于( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 11. 如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就和原来的图形重合,那么这个正多边形是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 C B

  30. 12.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的 中心 13.正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距 A D .O E B C

  31. 6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 　　　　， 它是正五边形ABCDE的　　　　　圆的半径。 D E C .O A F B 边心距 内切 中心 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的　　　　角， 它的度数是 72度

  32. 判断： 1.各边相等的圆内接多边形是正多边形（ ） 2.各边相等的圆外切多边形是正多边形（ ） 3.各角相等的圆内接多边形是正多边形（ ） 4.各角相等的圆外切多边形是正多边形（ ）

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