Aula 07
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Aula 07. Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura. II.1. Introdução II.2. Tração e Compressão de Barras II.3. Flexão Pura de Barras. M. M. A. A’. dz. y. r. d q x. eixo da barra. Logo,. Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.1. Introdução

II.2. Tração e Compressão de Barras

II.3. Flexão Pura de Barras


M Flexão Pura

M

A

A’

dz

y

r

dqx

eixo da barra

Logo,

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo


M Flexão Pura

M

A

A’

dz

y

r

dqx

eixo da barra

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

O eixo de flexão x é central

Os eixos x e y são principais


M Flexão Pura

M

A

A’

dz

y

r

dqx

eixo da barra

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

Flexão Reta:

O momento resultante M = Mx atua segundo um eixo principal


M Flexão Pura

M

A

A’

dz

y

r

dqx

eixo da barra

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo


M Flexão Pura

M

A

A’

dz

y

r

dqx

LN: Linha Neutra

eixo da barra

SN: Superfície Neutra

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

As tensões variam linearmente com y.

LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas.

De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão


M Flexão Pura

M

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

Resumindo:

Equação da LN

Flexão Reta (os eixos x e y são principais)


M Flexão Pura

M

A

A’

dz

x

eixo da barra

r

dqy

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

Analogamente,


M Flexão Pura

M

A

A’

dz

x

eixo da barra

r

dqy

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

O eixo de flexão y é central

Os eixos x e y são principais


M Flexão Pura

M

A

A’

dz

x

eixo da barra

r

dqy

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

Flexão Reta:

O momento resultante M = My atua segundo um eixo principal


M Flexão Pura

M

LN: Linha Neutra

SN: Superfície Neutra

A

A’

dz

x

eixo da barra

r

dqy

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

As tensões variam linearmente com x.

LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas.

De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão


M Flexão Pura

M

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

Resumindo:

Equação da LN

Flexão Reta (os eixos x e y são principais)


M Flexão Pura

M

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

Se o eixo de flexão não é um eixo principal, obtém-se, do PSE,

As tensões e as deformações variam linearmente com x e com y


M Flexão Pura

M

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

Flexão Oblíqua:

O momento resultante M não atua segundo um eixo principal


M Flexão Pura

M

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

Equação da LN:

b

q

ou

LN

A LN não coincide necessariamente com o eixo de flexão


M Flexão Pura

M

é a equação de um plano que intercepta a seção na LN.

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

Tensões Máximas:

Logo, as máximas tensões na seção ocorrerão nos pontos mais afastados da LN: A e B

A

xA

yA

b

q

LN

yB

xB

B


M Flexão Pura

M

A

xA

yA

b

q

LN

yB

xB

B

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

Tensões Máximas:

onde

b

q

LN


M Flexão Pura

M

A

xA

yA

b

q

LN

yB

xB

B

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

b

q

W [cm3]: Módulos de Resistência à Flexão da Barra

LN

EI [kN.cm2]: Módulos de Rigidez à Flexão da Barra


M Flexão Pura

M

A

xA

yA

b

q

LN

yB

xB

B

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Supondo

b

q

LN

onde


M Flexão Pura

M

A

A’

dz

y

r

dqx

eixo da barra

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Da Geometria Analítica,

(equação da curvatura)


M Flexão Pura

M

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Da Geometria Analítica,

(equação da curvatura)

Como

(hipótese das pequenas deformações),


M Flexão Pura

M

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Equação Diferencial da Linha Elástica (LE)

Integrando esta equação,

(expressão da rotação)

(expressão da flecha)


M Flexão Pura

M

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

As constantes de integração são determinadas a partir de:

Observação importante:

Não se deve utilizar condições relacionadas ao carregamento; não são gerais para a viga e sim particulares para aquele carregamento específico.

  • condições de apoio;

  • condições de continuidade da LE


Exemplos Flexão Pura:

M

M

a)

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Condições de apoio:

Substituindo-se a expressão de Mxe as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C1e C2.


M Flexão Pura

M

b)

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Exemplos:

e


M Flexão Pura

M

b)

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Exemplos:

Condições de apoio:

Condições de continuidade da LE:

Substituindo-se a expressão de Mxe as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C1, C2, C3e C4.


M Flexão Pura

M

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Equação Diferencial da Linha Elástica (LE)

Integrando esta equação,

(expressão da rotação)

(expressão da flecha)


M Flexão Pura

M

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

(expressão da rotação)

(expressão da flecha)


Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Convenção de Sinais:


Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Analogia de Mohr:

equação diferencial da LE

equação fundamental da Estática

Viga Real:

Viga Conjugada:


viga real Flexão Pura

viga conjugada

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Analogia de Mohr:

A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)

viga real :

viga conjugada:


viga real Flexão Pura

viga conjugada

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Analogia de Mohr:

A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)

viga real :

viga conjugada:


viga real Flexão Pura

viga conjugada

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Analogia de Mohr:

A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)

viga real :

viga conjugada:


viga real Flexão Pura

viga conjugada

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

Analogia de Mohr:

A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)

viga real :

viga conjugada:


M Flexão Pura

M

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Projeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor

Resistência e Estabilidade:

onde

é a máxima tensão de cálculo

é a tensão limite (função do estado limite considerado) e

é o coeficiente de resistência

e


M Flexão Pura

M

Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura

II.3. Flexão Pura de Barras

Projeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor

Rigidez:

e/ou

onde

é a rotação limite e

é a flecha limite

Ex:


Fim da Aula 07 Flexão Pura


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