1 / 23

第三节　函数的微分及其应用

第二章 导数与微分. 第三节　函数的微分及其应用. 一、微分概念. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 当边长增加  x 时，. 　　先来看一个例子，边长为 x 的正方形，. 其面积增加多少？. 面积的增加部分记作  S ，. 设正方形的面积为 S ，. 则.  S = ( x +  x ) 2 - x 2. = 2 x  x + (  x ) 2 ，. 　　当  x 很小时，例如 x = 1 ，  x = 0.01 ，则 2 x  x = 0.02 ，. 当  x 越小时，.

fritzi
Download Presentation

第三节　函数的微分及其应用

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第二章 导数与微分 第三节　函数的微分及其应用

  2. 一、微分概念 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 当边长增加 x 时， 　　先来看一个例子，边长为 x 的正方形， 其面积增加多少？ 面积的增加部分记作 S， 设正方形的面积为 S， 则 S = (x +x )2 -x2 = 2xx + (x)2， 　　当 x 很小时，例如 x = 1， x= 0.01 ，则 2xx = 0.02， 当 x 越小时， 而另一部分 x2 = 0.000 1， 因此，如果要取 S 的近似值时， x2部分就比 2xx小的更多. 显然 2xx 是 S 的一个很好的近似， 2xx 就称为 S = x2的微分.

  3. 　　定义设函数y = f (x) 在点x 的一个邻域内有定义， 如果函数f (x) 在点x 处的增量y = f (x + x ) -f (x) 可以表示为 y = Ax + ， 其中A 与x 无关，  是x 的高阶无穷小量， 则称Ax 为函数y = f (x) 在x 处的微分，记作dy，即 dy = Ax . 这时也称函数y = f (x) 在点x 处可微.

  4. 例1　设 y = x3，求 x = 1 处的微分. 解 y = (1+x)3 – 13 = 3x + 3(x)2+ (x)3. 　　上式可以看成两部分组成， 第一部分具有 Ax 形式的是 3x， 第二部分  是 3(x)2+ (x)3 ， 它是 x 的高阶无穷小量， 这是因为 所以函数 y = x3 在点 x = 1 处的微分是 dy = 3x . 　　为了方便起见，把自变量的增量 x 写成 dx ，即 x = dx. 从而 dy = Adx .

  5. 则函数y = f (x) 在点x 处可导， 定理1设函数y = f (x) 在点x 可微， 反之，如果函数y = f (x) 在点x 处可导， 且A = f (x). 则f (x) 在点x 可微. 证　因为 f (x) 在点 x 处可微， 所以有 y = Ax + . 即 f (x) 在点 x 处可导，且 A = f (x).

  6. 反之，因 f (x) 在 x 处可导， 即 从而有 (这是根据极限与无穷小的关系得出的). 得 y = f (x)x +x. 且 所以，函数 f (x) 可微. dy = f (x)x 或 dy = f (x)dx . ①

  7. 　　 函数 f (x) 在 x 处可微的充要条件是函数 f (x) 在 x 处可导. 上述定理可叙述为： ① 式也可以写为

  8. 　　例2　求函数 y = 2ln x在x 处的微分，并求当 x = 1 时的微分(记作dy | x = 1). 解　因为 所以

  9. y y=f (x) M T dy P N N N a x O 二、微分的几何意义 　　如图所示， PN = dx， NM = y， NT = PNtan = f (x)dx， 所以 dy = NT， 即函数 y = f (x) 的微分 dy 就是曲线 y = f (x) 在点 P处切线的纵坐标在相应处 x 的增量， 　　　　　　 而 y 就是曲线 y = f (x) 的纵坐标在点 x 处的增量 . M T P N x +x x

  10. 三、微分的基本公式及其运算法则 1.基本初等函数的微分公式 x-1dx. dx= 0. dc = dex= exdx. dax= axlnadx. dsin x = cos xdx. dcos x = - sin xdx. dtan x = sec2xdx. dcot x = - csc2xdx. sec xtan xdx. dcsc x = - csc xcot xdx. dsec x =

  11. 2.微分的四则运算 定理2设函数u、v可微， 则 d(u v) = du  dv. d(uv) = udv +vdu.

  12. 证　上述三个公式证法均类似， 我们只证第二个， 其余由读者作为练习自证之. d(uv) = (uv) dx = (uv+vu )dx = uvdx +vudx . 因为 vdx =dv， u dx = du. 所以有 d(uv) = udv+vdu. 推论1　当 v为常数 c 时，则 d(cu) =cdu. 推论2　当 v= 1时， 则

  13. 例3　设 y = 3ex–tanx， 求 dy . 解 dy = d(3ex) – dtan x = 3dex –sec2 xdx = 3exdx– sec2 xdx = (3ex – sec2x) dx . 例4　设 y = excos x，求 dy . dy = d(excos x) = ex dcosx + cos xdex 解 = ex (cosx - sin x)dx .

  14. 例5 求 dy . 解

  15. 3.复合函数的微分 　　定理3设函数y = f (u)， u =  (x) 均可微， 且 则y = f ( (x)) 也可微， dy =f (u)  (x) dx .

  16. 由于du =  (x) dx， 所以上式可写为 dy = f (u) du . 它与 y = f (x) 的微分 dy = f (x)dx 形式一样，这叫一阶微分形式不变性. 从上式的形式看， 其意义是：不管 u 是自变量还是中间变量，函数 y = f (u) 的微分形式总是 dy = f (u)du .

  17. 例6　设 y = sin(2x)，求微分 dy . 解　利用微分形式不变， 有 dy = cos 2x d(2x) = 2cos 2xdx .

  18. 例7　设 y = e-3x cos 2x，求 dy . 解 dy = d(e-3x cos 2x) = e-3x dcos 2x + cos 2xde-3x = -e-3x sin 2xd(2x)+ e-3x cos 2xd(-3x) = -e-3x (2sin 2x + 3cos 2x)dx ， 由此也可知 y  = -e-3x (2sin 2x + 3cos 2x) .

  19. 四、微分在近似计算中的应用 当 | x | 很小时(记作| x | << 1)， 有 y  dy . 即 f (x0+x) -f (x0)f (x0) x， 或 f (x) f (x0) +f (x0)(x - x0).

  20. 例8　一个充好气的气球，半径为 4 m. 升空后，因外部气压降低气球半径增大了10 cm， 问气球的体积近似增加多少？ 　　解　球的体积公式是 当 r 由 4 m 增加到 4 + 0.1 m ， v的增加为 v 时， v dv. 而 dv= vdr = 4r2 dr， 即 v 4r2 dr . 此处 dr = 0.1，r = 4. 代入上式得体积近似增加了 v 4  3.14  42  0.1  20 (m3) .

  21. 例9　计算 cos 3012  的近似值. 解　选函数 f (x) = cos x， f (x) = - sin x， 代入公式 f (x0) = cos 30， f (x) f (x0) + f (x0)(x -x0) ， 得

  22. 例11　试证当 |h| << 1 时， eh 1 +h . 证　选函数 f (x) = ex，x0 = 0， f (x) = ex， 则x = h. f (0) = 1， f (0) = 1， 代入公式 f (x)  f (x0) +f (x0) (x - x0) ， 有 eh 1 + 1 · (h - 0)= 1 +h .

More Related