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Ecuación de Schrödinger. Elaborado por: Rafael Navarro Nieto (G8N27). Erwin Schrödinger.

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Ecuación de Schrödinger

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Presentation Transcript


Ecuación de Schrödinger

Elaborado por: Rafael Navarro Nieto (G8N27)


Erwin Schrödinger

Nace el 12 de agosto 1887 en Viena, Erdberg y muere de tuberculosis el 4 de enero 1961 a la edad de 73 años. Físico austríaco, nacionalizado irlandés, que realizó importantes contribuciones en los campos de la mecánica cuántica y la termodinámica. Recibió el Premio Nobel de Física en 1933 por haber desarrollado la ecuación de Schrödinger. Tras mantener una larga correspondencia con Albert Einstein propuso el experimento mental del gato de Schrödinger que mostraba las paradojas e interrogantes a los que abocaba la física cuántica.


Erwin Schrödinger

  • 1906-1910 Estudios en Viena con Franz Serafin Exner (1849-1926), Fritz Hasenhrl, trabajos experimentales con Kohlrausch.

  • 1920 Ayudante de Max Wien, Jena.

  • 1920 Profesor asociado, Stuttgart.

  • 1921 Profesor titular, Breslau (hoy Wrocław, Polonia).

  • 1922 Universidad de Zürich.

  • 1926 Annalen der Physik: "Quantisierung als Eigenwertproblem" (Cuantización como problema de autovalores): ecuación de mecánica ondulatoria de Schrödinger.

  • 1927 Sigue a Max Planck a la Universidad de Berlin-Humboldt.

  • 1933 Fellow del Magdalen College, Universidad de Oxford.

  • 1934 Asociado en la Universidad de Princeton.

  • 1936 Universidad de Graz, Austria.

  • 1938 Busca becas e investigaciones a través de Italia y Suiza hasta Oxford - Universidad de Ghent. En el Instituto de Estudios Avanzados en Dublín, es Director de la Escuela de Física Teórica. Más de 50 publicaciones en varias áreas. Intentos hacia una teoría de campo unificada.


Ecuación de Schrödinger

Fue desarrollada en 1925 y describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, pues define la ecuación de conservación de la energía pero en sistemas mecánico cuánticos, es decir, el mundo microscópico, tanto para partículas elementales, tales como electrones y sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos.


Ecuación de Schrödinger contexto histórico

Hacia el s. XX se había comprobado la dualidad de la luz (onda-partícula), es decir, la luz podría ser partícula (fotón en el efecto fotoeléctrico) u onda electromagnética.

Louis-Victor Broglie, en 1923 generalizó esta dualidad a todas las partículas conocidas (onda de Broglie); hasta 1927 se comprobó su hipótesis experimentalmente, cuando se observó la difracción de electrones


h

λ

p =

Ecuación de Schrödinger contexto histórico

Análogamente con los fotones, De Broglie asocia a cada partícula libre con energía (E) y cantidad de movimiento (p) una frecuencia (ʋ) y una longitud de onda (λ):

E = hʋ


Ecuación de Schrödinger contexto histórico

La comprobación experimental, hecha por Clinton Davisson y Lester Germer, demostró que la longitud de onda asociada a los electrones, medida en la difracción según la fórmula de Bragg, correspondía con la longitud de onda predicha por la fórmula de De Broglie.

nλ = 2dsen(θ)

Ley de Bragg


P2

2m

Et =

+ V

Ecuación de Schrödinger contexto histórico

Esa predicción llevó a Schrödinger a describir una ecuación para la onda asociada de De Broglie, que para escalas macroscópicas se redujera a la ecuación de la mecánica clásica de la partícula. La energía mecánica total clásica es:

Siendo

Et energía total

P cantidad de movimiento

m masa

V energía potencial


Ecuación de Schrödinger contexto histórico

La interpretación física correcta de la función de onda de Schrödinger fue dada en 1926 por Max Born. Como resultado del carácter probabilista que se introducía, la mecánica ondulatoria de Schrödinger suscitó inicialmente la desconfianza de algunos físicos de renombre como Albert Einstein, para quien «Dios no juega a los dados».


Ecuación de Schrödinger desarrollo

Partiendo de la ecuación general de la ley de conservación de la energía:

Ec + V = Et

energía

cinética

energía

potencial

energía

total


Ecuación de Schrödinger desarrollo

El calculo de Ec es fácil; lo que caracteriza

a la ecuación de Schrödinger es la energía

potencial, relacionada con el medio donde

mueve la partícula

1

2

p2

2m

Ec =

mv2 =

No obstante, se debe considerar una pequeña

variación en el calculo de la Ec


∂2

^

Pi = îħ

p2 = -ħ2

∂x2

∂x

Ecuación de Schrödinger desarrollo

Elevando al

cuadrado

Observable

físico

Operador

matemático

∂2

p2

2m

-ħ2

2m

=

Por consiguiente:

∂x2


Ecuación de Schrödinger desarrollo

Retomando la ecuación de conservación de la

energía, y aplicando el resultado obtenido en el

paso anterior se obtiene que:

Et = Ec + V

∂2

-ħ2

2m

Et =

+ V

∂x2

Ambiente

Partícula en

movimiento


Ecuación de Schrödinger desarrollo

A la ecuación anterior, Schrödinger agregó

una función denominada ”función de onda”,

que resulta ser la solución a la ecuación de

Schrödinger

∂2

-ħ2

2m

[

]

EtΨ=

+ V

Ψ

∂x2

Ψ es la función de onda, donde esta el contenido

de toda la información del sistema

mecánico-cuántico


Ecuación de Schrödinger desarrollo

El planteamiento que sigue, corresponde solo a

un análisis unidimensional (en x)

d2

-ħ2

2m

[

]

Multiplicar por (–)

a ambos lados de

la ecuación

EtΨ=

+ V

Ψ

dx2

d2

ħ2

2m

Llevar -EtΨ al lado

derecho de la

ecuación

[

]

-EtΨ=

- V

Ψ

dx2

d2

ħ2

2m

[

]

Factorizar Ψ

-EtΨ

0 =

- V

Ψ

dx2


Ecuación de Schrödinger desarrollo

d2

ħ2

2m

[

]

Multiplicando al interior

por 2m/ħ2

0 =

+(E – V)

Ψ

dx2

d2

2m

ħ2

[

]

Haciendo

K2 = 2m/ħ2(E-V)

0 =

+ (E – V)

Ψ

dx2

d2Ψ

0 =

+ K2Ψ

dx2

0 = Ψ’’ + K2Ψ

Lo cual conduce a:


Ecuación de Schrödinger desarrollo

Posee dos funciones solución,

siendo la general una combinación

lineal de ambas (pues la ecuación

diferencial es de grado 2)

0 = Ψ’’ + K2Ψ

Procedemos a convertir la ecuación diferencial de

grado 2 a una algebraica de mismo grado:

Hacemos

d

d2

D =

D2 =

dx

dx2


Ecuación de Schrödinger desarrollo

d2Ψ

0 =

+ K2Ψ

dx2

Reemplazando estos

valores en la ecuación

se obtiene que:

d

d2

D =

D2 =

dx

dx2

0 = D2Ψ + K2Ψ

Factorizando Ψ

0 = Ψ(D2 + K2)

Solucionando la suma de cuadrados

0 = Ψ(D + iK)(D - iK)


Ecuación de Schrödinger desarrollo

Del sistema anterior se rescata que:

Ψ1(D + iK) = 0 ó Ψ2(D - iK) = 0

Ψ1D + Ψ1iK = 0 ó Ψ2D - Ψ2iK = 0

Reemplazando D por d/dx

d

d

Ψ1 + Ψ1iK = 0 ó Ψ2 - Ψ2iK = 0

dx

dx

d

d

Ψ1 = -Ψ1iK ó Ψ2 = Ψ2iK

dx

dx

Realizando algunos despejes

e integrando se obtiene que:


Ecuación de Schrödinger desarrollo

dΨ1

dΨ2

= -iKdx ó = iKdx

dx

Ψ1

Ln(Ψ1) = -iKx + Ln(A) ó Ln(Ψ2)= iKx + Ln(B)

Aplicando exponencial

Ψ1 = Ae-iKx ó Ψ2 = BeiKx

La solución general resulta una combinación lineal de Ψ1 y Ψ2


Ecuación de Schrödinger desarrollo

Ψ = C1e-iKx + C2BeiKx

Los términos de la derecha describen

el comportamiento de ondas planas

circulares. El signo del exponente

indica que dirección posee la onda


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