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II.3 Algèbre linéaire - PowerPoint PPT Presentation


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II.3 Algèbre linéaire. Séquence de franchissements. s = t i1 , t i2 ,…t iq  T* est une séquence de franchissements pour un marquage M 0 donnant M q noté M 0 (s> M q ssi Définition récursive s =  ( mot vide) et M q = M 0

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Presentation Transcript
Ii 3 alg bre lin aire

II.3Algèbre linéaire


S quence de franchissements
Séquence de franchissements

  • s = ti1, ti2,…tiq T* est une séquence de franchissements pour un marquage M0 donnant Mq noté M0 (s> Mq ssi

    Définition récursive

    • s =  (mot vide) etMq = M0

    • s = s’t s’  T* t  T M0 (s’> Mq-1 et Mq-1 (t> Mq

      Définition itérative

    • M0 (ti1> M1 (ti2> M2 … Mq-1 (tiq> Mq


S quence de franchissements1
Séquence de franchissements

  • Relations entre marquages

    s = ti1, ti2,…tiq franchissable pour M0  p  P

    M1(p) = M0(p) - Pre(p,ti1) + Post(p,ti1)

    M2(p) = M1(p) - Pre(p,ti2) + Post(p,ti2)

    ……

    Mq(p) = Mq-1(p) - Pre(p,tiq) + Post(p,tiq)

    en appelant i le nombre d’occurrences de ti dans s


S quence de franchissements2
Séquence de franchissements

  • ATTENTION !

     L’équation précédente, qui a l’avantage important d’exprimer le marquage final d’une séquence de franchissements s en fonction de son marquage initial n’a de sens que sisest franchissable

     Il faut donc que  k = 0, 2, …q-1 toutes les relations Mk (ti(k+1)> soient vraies


Repr sentation matricielle
Représentation matricielle

  • < P, T ; Pre, Post, M >

    |P| = n

    |T| = m

    Pre : P x T  N

    Post : P x T  N

    M : P  N

peuvent être représentées par des matrices

peut être représenté par un vecteur


Repr sentation matricielle1
Représentation matricielle

E0

CR

R0



a0

b0

a2

E1

b2

R1

a1

b1

M

R2

E2


Repr sentation matricielle2
Représentation matricielle

E0

CR

R0



a0

b0

a2

E1

b2

R1

a1

b1

M

R2

E2


Repr sentation matricielle3
Représentation matricielle

E0

CR

R0



a0

b0

a2

E1

b2

R1

a1

b1

M

R2

E2


Repr sentation matricielle4
Représentation matricielle

  • Réseau pur

    • p  P  t  T Pre (p,t) x Post (p,t) = 0

       aucune place ne peut être entrée et sortie d’une transition

       indépendance de l’ajout et du retrait de jetons lors des franchissements


Repr sentation matricielle5
Représentation matricielle

  • Matrice d’incidence ou de connexion

    C (p,t) = Post (p,t) - Pre (p,t)

     pour un réseau pur, la matrice C permet de construire de façon unique les matrices Post et Pre

    Pre (p,t) = max (0, - C(p,t) )

    Post (p,t) = max (0, C(p,t) )

    un réseau de Petri purest totalement défini par C


Repr sentation matricielle6
Représentation matricielle

E0

CR

R0



a0

b0

a2

E1

b2

R1

a1

b1

M

R2

E2


Equation fondamentale
Equation fondamentale

 M  [M0]  s  T * telle que M0 (s> M

i = nombre d’occurrences de ti dans s 

p  P

  • = (1, 2,… m) peut être représenté par un vecteur

    appelé vecteur caractéristique de s

est appelée équation fondamentale


Semi flots de transitions
Semi flots de transitions

  • Séquence répétitive

    s répétitive pour M ssi M (s> M

    • les marquages initial et final de s sont identiques

       vecteur caractéristique de s

      M = M + C   C  = 0

      Toute séquence répétitive s a son vecteur caractéristique  solution de C  = 0


Semi flots de transitions1
Semi flots de transitions

  • La réciproque est fausse : toute solution de C  = 0 n’est pas le vecteur caractéristique d’une séquence répétitive

    • il faut que i i  N

       il faut que s soit franchissable pour M

  • Les solutions de C  = 0 pour i  N sont appelées des semi flots de transitions

     les flots (plus difficiles à interpréter) sont les solutions de C  = 0 pour i  Z


Semi flots de transitions2
Semi flots de transitions

  • L’équation C  = 0 pour i  N est une équation linéaire homogène en nombres entiers

    • hormis la solution triviale sans intérêt  = 0 toute combinaison linéaire de solutions est aussi une solution

    • une famille génératrice {, ’, ’’, …}est un ensemble de solutions tel que toute solution peut s’exprimer comme une combinaison linéaire de cette famille

    • une plus petite famille génératrice ppfg est une famille de cardinal minimal

    • il est donc nécessaire et suffisant de trouver une ppfg

       Analogie avec une base en algèbre linéaire


Semi flots de transitions3
Semi flots de transitions

Carl Friedrich Gauss

(1777-1855)

  • Utilisation des semi flots de transitions :

    • on calcule une ppfg de solutions de C  = 0 pour i  N

       les méthodes de résolution sont inspirées de l’algèbre linéaire, de la programmation en nombres entiers et des méthodes d’élimination de Gauss et Farkas

    • on recherche dans ces solutions les séquences répétitives s pour un marquage M (en général M0), dont les vecteurs caractéristiques sont les solutions trouvées

Gyula Farkas

(1847-1930)


Semi flots de places
Semi flots de places

partie du réseau de Petri issu de l’exemple

a0

la transition a0 absorbe 2 jetons et n’en restitue qu’un seul dans la place E1

E1

a1


Semi flots de places1
Semi flots de places

a0

la transition a1 absorbe 1 jeton de la place E1 et restitue 2 jetons

E1

a1


Semi flots de places2
Semi flots de places

a0

pour que les jetons se « conservent »

tout se passe comme si le jeton de la place E1 « pesait » 2 fois plus « lourd » que les autres

E1

a1


Semi flots de places3
Semi flots de places

  • On définit une application  : P  N exprimant l’idée de « poids » d’un jeton dans une place

  • On peut exprimer l’idée de « conservation » de jetons ainsi pondérés, par l’invariance du produit scalaire  . M =  . M0  M  [M0]

  • Dans l’exemple précédent, pour  (E1) = 2 et  (p) = 1 pour p ≠ E1, le franchissement de la transition a0 ou a1 conserve la quantité  . M = 2


Semi flots de places4
Semi flots de places

  • Calcul des valeurs de  :

     M  [M0]  s  T* M0 (s> M

     vecteur caractéristique de s

 . M =  . M0  . C = 0

 pour qu’une pondération  permette une conservation pondérée de tout marquage accessible M il faut et il suffit que  soit solution dans N de  . C = 0


Semi flots de places5
Semi flots de places

  • Les solutions de  C = 0 pour i  N sont appelées des semi flots de places

     les flots (plus difficiles à interpréter) sont les solutions de C = 0 pour i  Z

  • Comme pour les semi flots de transitions, l’équation  C = 0 pour i  N est une équation linéaire homogène en nombres entiers

     Il est donc nécessaire et suffisant de trouver une plus ppfm de solutions


Semi flots de places6
Semi flots de places

  • Invariants

    • les quantités  M =  M0 pour i  N sont appelés des invariants

  • Supports

    • un support de , noté |||| = { p P |  (p) > 0 }

  • Couvertures

    • les solutions strictement positives  telles que  p  P (p) > 0 sont appelées des couvertures


Semi flots de places7
Semi flots de places

  • Théorème

    • Un réseau de Petri admettant une couverture  est structurellement borné

  • Preuve

    • Couverture   M  [M0] .M = .M0

      et  p  P (p) > 0

        p  P (p).M(p) ≤ .M0

        p  P M(p) ≤ (.M0) / (p)


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