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II.3 Algèbre linéaire

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II.3 Algèbre linéaire. Séquence de franchissements. s = t i1 , t i2 ,…t iq  T* est une séquence de franchissements pour un marquage M 0 donnant M q noté M 0 (s> M q ssi Définition récursive s =  ( mot vide) et M q = M 0

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Presentation Transcript
s quence de franchissements
Séquence de franchissements
  • s = ti1, ti2,…tiq T* est une séquence de franchissements pour un marquage M0 donnant Mq noté M0 (s> Mq ssi

Définition récursive

      • s =  (mot vide) etMq = M0
      • s = s’t s’  T* t  T M0 (s’> Mq-1 et Mq-1 (t> Mq

Définition itérative

      • M0 (ti1> M1 (ti2> M2 … Mq-1 (tiq> Mq
s quence de franchissements1
Séquence de franchissements
  • Relations entre marquages

s = ti1, ti2,…tiq franchissable pour M0  p  P

M1(p) = M0(p) - Pre(p,ti1) + Post(p,ti1)

M2(p) = M1(p) - Pre(p,ti2) + Post(p,ti2)

……

Mq(p) = Mq-1(p) - Pre(p,tiq) + Post(p,tiq)

en appelant i le nombre d’occurrences de ti dans s

s quence de franchissements2
Séquence de franchissements
  • ATTENTION !

 L’équation précédente, qui a l’avantage important d’exprimer le marquage final d’une séquence de franchissements s en fonction de son marquage initial n’a de sens que sisest franchissable

 Il faut donc que  k = 0, 2, …q-1 toutes les relations Mk (ti(k+1)> soient vraies

repr sentation matricielle
Représentation matricielle
  • < P, T ; Pre, Post, M >

|P| = n

|T| = m

Pre : P x T  N

Post : P x T  N

M : P  N

peuvent être représentées par des matrices

peut être représenté par un vecteur

repr sentation matricielle1
Représentation matricielle

E0

CR

R0



a0

b0

a2

E1

b2

R1

a1

b1

M

R2

E2

repr sentation matricielle2
Représentation matricielle

E0

CR

R0



a0

b0

a2

E1

b2

R1

a1

b1

M

R2

E2

repr sentation matricielle3
Représentation matricielle

E0

CR

R0



a0

b0

a2

E1

b2

R1

a1

b1

M

R2

E2

repr sentation matricielle4
Représentation matricielle
  • Réseau pur
    • p  P  t  T Pre (p,t) x Post (p,t) = 0

 aucune place ne peut être entrée et sortie d’une transition

 indépendance de l’ajout et du retrait de jetons lors des franchissements

repr sentation matricielle5
Représentation matricielle
  • Matrice d’incidence ou de connexion

C (p,t) = Post (p,t) - Pre (p,t)

 pour un réseau pur, la matrice C permet de construire de façon unique les matrices Post et Pre

Pre (p,t) = max (0, - C(p,t) )

Post (p,t) = max (0, C(p,t) )

un réseau de Petri purest totalement défini par C

repr sentation matricielle6
Représentation matricielle

E0

CR

R0



a0

b0

a2

E1

b2

R1

a1

b1

M

R2

E2

equation fondamentale
Equation fondamentale

 M  [M0]  s  T * telle que M0 (s> M

i = nombre d’occurrences de ti dans s 

p  P

  • = (1, 2,… m) peut être représenté par un vecteur

appelé vecteur caractéristique de s

est appelée équation fondamentale

semi flots de transitions
Semi flots de transitions
  • Séquence répétitive

s répétitive pour M ssi M (s> M

    • les marquages initial et final de s sont identiques

 vecteur caractéristique de s

M = M + C   C  = 0

Toute séquence répétitive s a son vecteur caractéristique  solution de C  = 0

semi flots de transitions1
Semi flots de transitions
  • La réciproque est fausse : toute solution de C  = 0 n’est pas le vecteur caractéristique d’une séquence répétitive
    • il faut que i i  N

 il faut que s soit franchissable pour M

  • Les solutions de C  = 0 pour i  N sont appelées des semi flots de transitions

 les flots (plus difficiles à interpréter) sont les solutions de C  = 0 pour i  Z

semi flots de transitions2
Semi flots de transitions
  • L’équation C  = 0 pour i  N est une équation linéaire homogène en nombres entiers
    • hormis la solution triviale sans intérêt  = 0 toute combinaison linéaire de solutions est aussi une solution
    • une famille génératrice {, ’, ’’, …}est un ensemble de solutions tel que toute solution peut s’exprimer comme une combinaison linéaire de cette famille
    • une plus petite famille génératrice ppfg est une famille de cardinal minimal
    • il est donc nécessaire et suffisant de trouver une ppfg

 Analogie avec une base en algèbre linéaire

semi flots de transitions3
Semi flots de transitions

Carl Friedrich Gauss

(1777-1855)

  • Utilisation des semi flots de transitions :
    • on calcule une ppfg de solutions de C  = 0 pour i  N

 les méthodes de résolution sont inspirées de l’algèbre linéaire, de la programmation en nombres entiers et des méthodes d’élimination de Gauss et Farkas

    • on recherche dans ces solutions les séquences répétitives s pour un marquage M (en général M0), dont les vecteurs caractéristiques sont les solutions trouvées

Gyula Farkas

(1847-1930)

semi flots de places
Semi flots de places

partie du réseau de Petri issu de l’exemple

a0

la transition a0 absorbe 2 jetons et n’en restitue qu’un seul dans la place E1

E1

a1

semi flots de places1
Semi flots de places

a0

la transition a1 absorbe 1 jeton de la place E1 et restitue 2 jetons

E1

a1

semi flots de places2
Semi flots de places

a0

pour que les jetons se « conservent »

tout se passe comme si le jeton de la place E1 « pesait » 2 fois plus « lourd » que les autres

E1

a1

semi flots de places3
Semi flots de places
  • On définit une application  : P  N exprimant l’idée de « poids » d’un jeton dans une place
  • On peut exprimer l’idée de « conservation » de jetons ainsi pondérés, par l’invariance du produit scalaire  . M =  . M0  M  [M0]
  • Dans l’exemple précédent, pour  (E1) = 2 et  (p) = 1 pour p ≠ E1, le franchissement de la transition a0 ou a1 conserve la quantité  . M = 2
semi flots de places4
Semi flots de places
  • Calcul des valeurs de  :

 M  [M0]  s  T* M0 (s> M

 vecteur caractéristique de s

 . M =  . M0  . C = 0

 pour qu’une pondération  permette une conservation pondérée de tout marquage accessible M il faut et il suffit que  soit solution dans N de  . C = 0

semi flots de places5
Semi flots de places
  • Les solutions de  C = 0 pour i  N sont appelées des semi flots de places

 les flots (plus difficiles à interpréter) sont les solutions de C = 0 pour i  Z

  • Comme pour les semi flots de transitions, l’équation  C = 0 pour i  N est une équation linéaire homogène en nombres entiers

 Il est donc nécessaire et suffisant de trouver une plus ppfm de solutions

semi flots de places6
Semi flots de places
  • Invariants
    • les quantités  M =  M0 pour i  N sont appelés des invariants
  • Supports
    • un support de , noté |||| = { p P |  (p) > 0 }
  • Couvertures
    • les solutions strictement positives  telles que  p  P (p) > 0 sont appelées des couvertures
semi flots de places7
Semi flots de places
  • Théorème
    • Un réseau de Petri admettant une couverture  est structurellement borné
  • Preuve
    • Couverture   M  [M0] .M = .M0

et  p  P (p) > 0

  p  P (p).M(p) ≤ .M0

  p  P M(p) ≤ (.M0) / (p)

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