Chapter 7
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 53

關係 : 第二回 PowerPoint PPT Presentation


  • 55 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Chapter 7. 關係 : 第二回. Equivalence Classes. 7.1 Relations Revisited: Properties of Relations. Ex. 7.3 考慮一個有限狀態機 M =( S , I , O , v , w ). (a) 對 s 1 , s 2 ∈ S , 定義 s 1 R s 2 若 v ( s 1 , x )= s 2 對某些 x ∈ I . 關係 R 建立第一層可達性 (b) 對 S , 第二層可達性的關係亦可被給。 這裡 s 1 R s 2

Download Presentation

關係 : 第二回

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


6071491

Chapter 7

關係:第二回

Equivalence Classes


6071491

7.1 Relations Revisited: Properties of Relations

Ex. 7.3 考慮一個有限狀態機M=(S,I,O,v,w).

(a) 對s1,s2∈S, 定義s1Rs2若v(s1,x)=s2對某些x∈I.

關係 R建立第一層可達性

(b)對S,第二層可達性的關係亦可被給。這裡 s1Rs2

若v(s1,x1x2)=s2對某些x1x2∈I2. 這個可被擴大到較高層次

,若需要出現。對一般的可達性,還有v(s1,y)=s2 對某些y∈I*.

(c)給s1,s2∈ S, 1-等價的關係,表為s1E1s2, 被定義為當

w(s1,x)=w(s2,x) 對所有x є I. 這個概念可被擴大至狀態是

k-等價,其中我們寫s1Eks2若 w(s1,y)=w(s2,y) 對所有y є Ik.

若兩個狀態是 k-等價,對所有k∈ Z+, 則他們被稱為平價.


6071491

7.1 Relations Revisited: Properties of Relations

Def7.2 一個集合A上的關係被稱是反身性(reflexive)的,若對所有x∈ A, (x,x) ∈ R.


6071491

7.1 Relations Revisited: Properties of Relations

Ex. 7.6 以A={1,2,3}, 我們有:

(a) R1={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)},是A上一個對稱但沒有反身的關係;

(b) R2={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)}, 是A上一個反身的但非對稱的關係;

(c) R3={(1,1),(2,2),(3,3)}, R4={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)},

是A上兩個既反身且對稱的關係;

(d) R5={(1,1),(2,3),(3,3)}, 是A上既不反身也不對稱的關係


6071491

7.1 Relations Revisited: Properties of Relations


6071491

7.1 Relations Revisited: Properties of Relations

例題. 7.8 定義集合Z+上的關係R為aRb,若a為整除b.

則R是遞移的、反身的,但非對稱(例如2R6,但不是 6R2)


6071491

7.1 Relations Revisited: Properties of Relations


6071491

7.1 Relations Revisited: Properties of Relations

定義. 7.6 集合A 上的關係 R被稱為是一個偏序(partial order),

或是一個偏序關係,若R是反身的、反對稱的及遞移的.

(若在A上任何a,b的全序(total order) , 任何一個a Rb 或bRa).

Ex. 7.15. 定義 R 的關係在 Z+上,且aRb若a恰恰好整除

b. R 是一個偏序.

Def. 7.7集合A上的一個等價關係R是一個反身的、對稱的及遞移

的關係

例如: aRb if a mod n=b mod n

這個相等關係(equality relation){(ai,ai)|ai in A}是一個偏序且

全等的關係(equivalence relation)


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

(Note the different ordering with function composition.)

Ex. 7.17 A={1,2,3,4}, B={w,x,y,z}, 及C={5,6,7}. 考慮

R1={(1,x),(2,x),(3,y),(3,z)}, 一個由A到B的關係, 且 R2=

{(w,5),(x,6)}, 一個由B到C的關係. 則 R1 R2={(1,6),(2,6)}

是一個由A到C 的關係.


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

Ex. 7.21 A={1,2,3,4}, B={w,x,y,z}, 及 C={5,6,7}.

R1={(1,x),(2,x),(3,y),(3,z)}, A到B的關係且 R2=

{(w,5),(x,6)}, B到C的關係.

矩陣關係


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

令A的集合,|A|=n且A上的一個關係 R. 若M(R) 是一個 R的

關係矩陣, 則

(a) M(R)=0 (所有為元素為0的矩陣) 若且唯若R= Ø

(b) M(R)=1 (所有元素為1的矩陣) 若且唯若 R=AA

(c) M(Rm)=[M(R)}m, 對m∈ Z+.


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

Def. 7.14 有向圖G=(V,E) (Digraph)

Ex. 7.25

一個迴圈

V={1,2,3,4,5}

E={(1,1),(1,2),(1,4),(3,2)}

2

1

4

3

5

孤立點(node)

1 .2是連接的 .

2 .1是連接的.

無向圖:沒有方向的邊


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

Ex. 7.26

作一個有向圖G=(V,E), 令

V={s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8}且(si, sj)在E裡

若si必須在sj前先執行.

(s1) b:=3;

(s2) c:=b+2;

(s3) a:=1;

s5

s7

(s4) d:=a*b+5;

程序圖

(precedence graph(

(s5) e:=d-1;

(s6) f:=7;

s4

s2

s8

(s7) e:=c+d;

(s8) g:=b*f;

s3

s1

s6

前驅 constraint scheduling

一般, n任務,

m處理程序: NP-complete

m=2:多項的

m=3:開放問題

3 處理程序: 3時間組件

2 處理程序: 4時間組件


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

Ex. 7.27 relations and digraphs

A={1,2,3,4}, R={(1,1),(1,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2)}

連接圖:在任兩個點之間

有一條路徑( path)

2

2

1

1

3

3

path: 不重複的邊

4

4

有向圖

組合的無向圖

cycle: 一個封閉的路徑(起點

和終點是一樣的)

Def. 7.15強連通(有向圖)

在任意兩點之間必有一個有向路徑

上圖不是強連通. (在3到1之間沒有有向路徑)


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

Ex. 7.28分量( Components)

1

1

2

2

3

3

4

4

一個分量

兩個分量

Ex. 7.29 完全圖: Kn

(n個點有 n(n-1)/2 個邊)

K5

K1

K2

K3

K4


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

有向圖 關係

相鄰矩陣 關係矩陣

Ex. 7.30 若 R 是集合A 上的有限關係, 則 R是反身性的,唯若

且若這個有向圖包含一個迴路在每個

Ex. 7.31 A 關係R在有限集合A上是對稱的,為若且若有向圖只包

函迴圈和無向圖

Ex. 7.31 A 關係R在集合A上的有限關係是有遞移性的,為若且若

在有向圖若由 x到 y有路徑,則(x,y) 是一個邊.

關係 R 在集合A上的有限關係是反對稱的,為若且若,除了自己

迴圈外沒有無向邊.


6071491

7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

Ex. 7.33 A 關係在有限集合A上是一個全等關係,為若且若

組合的 (無向的) 邊是一個完全圖且增加迴圈在點或

每個頂點有迴圈由不相交的完全圖聯集

(disjoint union of complete graphs)

反身性(reflexive): 在每個點上的迴圈

對稱性(symmetric): 無向邊

遞移性(transitive):若由 x到 y有路徑,則(x,y) 是一個邊.


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

自然數 : N

x+5=2 : Z

2x+3=4 : Q

x2-2=0 : R

x2+1=0 : C

當我們要從R到C ,有些事被遺忘.

我們忘記了如何去“order”(序) 這個元素

在C上.

L令A唯一個集合且 R 是A上的關係. 這個序對(A,R) 被稱為

偏序集(partially order set), 或poset, 若關係 R 是一個偏序集.

Ex. 7.34 令A為某學校開設的課程. 定義AR為xRy若x,y

為相同課程或x為y的先修課程. 即R 使 A成為一個偏序集


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

Ex. 7.36 效能評估技術

PERT (Performance Evaluation and Review Technique)

A poset

J4

J3

J7

J1

J6

J5

J2

找出每個工作最早的開始時間和最晚的開始時間

這些工作早相等於晚是關鍵的.

所有關鍵工作從關鍵路徑而來


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

不是偏序

2

1

2

3

1

不是反對稱的

不是遞移關係或不是反對稱的

Ex. 7.37 Hasse diagram

Read bottom up.

reflexivity and

transitive links

are not shown.

4

4

2

3

2

3

一個偏序

1

1

corresponding Hasse diagram


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

Ex. 7.38

{1,2,3}

相等關係

385

8

12

{1,2} {1,3} {2,3}

35

4

6

2

3

5

7

{1} {2} {3}

2

3

5

11

2

7

1

恰好整除關係

子集合關係


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

Def. 7.16 若 (A,R) 是一個偏序, 我們可以構造A是一個全序,若

對所有x,y∈AxRy或yRx. 滿足這些條件的 R 被稱為全序.

For example, <,> 是N,Z,Q,R的全序. 但C是偏序.

但是我們可以用一些方法列出偏序集嗎?

全序集合排序(sorting for a totally ordered set)


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

對偏序集的拓樸排序(topological sorting)

F

G

D

不會違背偏序原則下,

在一定時間上如何執行個工作上的排序?

C

A

For example, BEACGFD, EBACFGD, ...

B

E

Hasse diagram for

a set of tasks


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

拓樸分類順序 (線性伸展)

d

c

a^bc^d: 2 jumps

a^bd^c: 2 jumps

b^ac^d: 2 jumps

b^a^d^c: 3 jumps

bd^ ac: 1 jumps

找出現性伸展

與最小的跳躍.

b

a

(an NP-complete problem)


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

Ex.7.43

{1,2,3}max

max

385

8 max

12

{1,2} {1,3} {2,3}

max and min

35

4

6

2

3

5

7

{1} {2} {3}

2

3

5

11

2

7

min

1 min

min

unique max and min


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

在拓樸分類, 每個時間我們發現一個極大元

或每個時間我們發現一個極小元.


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

Theorem 7.4 如果偏序集 (A,R) 有一個最大(最小)元素則

是獨一無二的.

Proof: 假定x,y在A而且也是最大元素.

即 (x,y) 且(y,x) 都是在 R 裡. 因 R 是反對稱的,所以

x=y.既最大元素唯一,同理最小元是唯一,證明相似


6071491

Ex. 7.46 令U={1,2,3,4}, 具有A=P(U), 令 R 為 A 上的

子集合關係. 若B={{1},{2},{1,2}}, 則 {1,2}, {1,2,3},

{1,2,4}, {1,2,3,4} 均為B的上界(在A裡) ,而 {1,2}

是一個最小上界(在B裡). 同時, B的最大下界是Ø,

且Ø 不在B裡.

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

Ex. 7.47 令R是 “小於或等於”關係偏序集 (A,R). (a) 若

A=R且B=[0,1] 或 [1,0) 或 (0,1] 或 (0,1), 即B有glb 0

和 lub 1. (b) 若A=R, B={q in Q|q2<2}. 即B =

當lub 和-

as glb, 且也不在B 裡.

(c) A=Q, 且B為(b)的一部分. 則B沒有 lub 或 glb.


6071491

7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams


6071491

7.3 Partial Orders: 各定義比較


6071491

7.4 Equivalence Relations and Partitions


6071491

7.4 Equivalence Relations and Partitions


6071491

7.4 Equivalence Relations and Partitions


6071491

7.4 Equivalence Relations and Partitions

Ex. 7.58 若 R是A上的一個等價關係={1,2,3,4,5,6,7} 歸納

出分割 ? R是什麼?

Theorem 7.7 若A是一個集合, 則 (a)A上的任一個等價 R 引出A

個一個分割, 且 (b) A 的任意分割給出A 上的一個等價關係R..

Theorem 7.8 對任意集合A, 則存在一個一對一應介於A上的等價

關係集合及A的分割集合之間.


6071491

7.4 Equivalence Relations and Partitions


6071491

7.5 Finite State Machines: The Minimization Process

s1,s2 i ∈S, 這個狀態稱為1-等價, 定義S上的關係, E1為

s1E1s2, 是被定義成當w(s1,x)=w(s2,x) 對所有x在I裡.

對每個k∈Z, 我們說狀態s1,s2為k-等價為, where

s1Eks2 if w(s1,y)=w(s2,y) for all y in Ik.

若兩個狀態是k-等價,對於所有的k∈ Z+, 則被稱為等價的

, 表示為s1Es2. Hence 我們客觀的決定 S的分割,並對每個

等價關係 E 挑選一個狀態,則我們將有一個以隻機器極

小話認知.


6071491

7.5 Finite State Machines: The Minimization Process

observations:

(1) 若機器裡的兩個狀態不是2-等價, 他們可能為 3-等價嗎?

一般來說, 欲求 (k+1)-等價, 我們會觀察k-等價的狀態


6071491

7.5 Finite State Machines: The Minimization Process

observations:


6071491

7.5 Finite State Machines: The Minimization Process

Ex. 7.60

step 1: 對定義1-等價狀態詢問

輸出

v

w

0 1 0 1

P1: {s1},{s2,s5,s6},{s3,s4}

s1s4s3 0 1

s2s5s2 1 0

s3s2s4 0 0

s4s5s3 0 0

s5s2s5 1 0

s6s1s6 1 0

A

B

input 0

C

s5 s2 s1 s2 s5

P2: {s1},{s2,s5},{s6},{s3,s4}

D

input 1

s2 s5 s4 s3

P3=P2, 這個過程4 個狀態是完全的.


6071491

7.5 Finite State Machines: The Minimization Process

能夠做出P3=P2, 但P3=P4嗎?


6071491

7.5 Finite State Machines: The Minimization Process


6071491

7.5 Finite State Machines: The Minimization Process

如何得到極小判別串?

Ex. 7.61

v

w

P1: {s1},{s2,s5,s6},{s3,s4}

0 1 0 1

input 0

s1s4s3 0 1

s2s5s2 1 0

s3s2s4 0 0

s4s5s3 0 0

s5s2s5 1 0

s6s1s6 1 0

s5 s2 s1 s2 s5

P2: {s1},{s2,s5},{s6},{s3,s4}

input 1

s2 s5 s4 s3

一個判別串s2及s6 是 00 (或01).


6071491

7.5 Finite State Machines: The Minimization Process

Ex. 7.62

v

w

P1: {s1 ,s3,s4},{s2,s5}

0 1 0 1

input 1

s1s4s2 0 1

s2s5s2 0 0

s3s4s2 0 1

s4s3s5 0 1

s5s2s3 0 0

s2 s2 s5 s2 s3

P2: {s1 ,s3,s4},{s2},{s5}

input 1

s2 s2 s5

P3: {s1 ,s3},{s4},{s2},{s5}

判別串s1及s4: 111


6071491

Exercise: P318:10

P330:20

P340:26

P346:10

P356:14


  • Login