吉林大学远程教育课件
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吉林大学远程教育课件. 离散数学. ( 第三 十 讲 ). 主讲人 : 杨凤杰. 学 时: 64. 定义 6.4.4 群 G 在合同关系 (右模 H )下的一个等价类叫做 H 的一个右陪集 显然,包含 a 的右陪集,就是以 H 的所有元素右乘 a 所得的集合 aH 。 同样,可以定义 a 合同于 b (左模 H ): a≡b (左 modH )和 H 的左陪集。

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吉林大学远程教育课件

离散数学

(第三十讲)

主讲人: 杨凤杰

学 时:64


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定义6.4.4 群G在合同关系

(右模H)下的一个等价类叫做

H的一个右陪集

显然,包含a的右陪集,就是以

H的所有元素右乘a所得的集合aH。

同样,可以定义a合同于b(左模H):a≡b(左modH)和H的左陪集。

例6.4.12 设G是所有整数的加法群。H是m的所有倍数作成的子群,因为加法适合交换律,所以左右之分不存在,因而,(左mod H) 和(右mod H)是一样的,而左右陪集也是一样的。


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例6.4.13 设G是所有非0复数

的乘法群,所有其∣z∣=1的

复数z=eiθ作成G的一个子群H。

a≡b(mod H)等于说|a|=|b|。

在复平面上,H相当单位圆,

H的所有陪集相当以原点为圆心

的所有同心圆。

例6.4.14 设G是3次对称群,H是

1,(12)

作成的子群,H有三个右陪集:

{1,(1 2)},{(1 2 3),(1 3)},{(1 3 2),(2 3)}。

有三个左陪集:

{1,(1 2)},{(1 2 3),(2 3)},{(1 3 2),(1 3)}


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若G是一个有限群,求H的右陪

集可以进行如下:首先,H本身

是一个;任取aH而求aH又得到

一个;任取bH∪aH而求bH又得

到一个;如此类推,因G有限,

最后必被穷尽,而

G=H∪aH∪bH∪…。

定理6.4.7 设H是群G的有限子群,则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。

证明: aH={ah│h∈H},又G中有消法律:由aχ=ay可以推出χ=y,故H中不同元素以a左乘仍得不同的元素。因而aH的元数等于H的元数。


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总结一下子群H在G中的右陪集

的一些性质:

(1)若H为G的有限子群,则|aH|=|H|。

(2)H本身也是H的一个右陪集,

因为H=1H,其中1为单位元素。

(3)aH=H的充分必要条件是a∈H。

(4)a在陪集aH中。

根据这点,我们把a叫做右陪集aH的一个陪集代表。

(5)对于右陪集aH中任意元素b,都有aH=bH。

证明:由b∈aH知,存在h∈H,使得b=ah。因此,bH=ahH=a(hH)=aH。

这点说明右陪集aH中任一元素都可以取做陪集代表。从这点还可推出:


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(6) aH=bH的充分必要条件是

ab-1∈H。

(7)任意两个右陪集aH和bH或者

相等或者不相交。

证明: 如果aH和bH不相交,

则它们包含公共元素c,

即c∈aH,且c∈bH。因此,由(5)得aH=cH,且bH=cH。故,aH=bH。

若G是Abel群,则左右陪集没有区别,若G不是Abel群,则左右陪集可能有区别,也可能没有区别。


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定义6.4.5 设H是群G的子群,

设对G中的任意元素g,都有

gH=Hg,则称H是G的正规子群。

例如,“平凡”子群H={1}和G都

是G的正规子群,H={1}时合同

关系≡就是等于关系=;即任意

两个元素都不合同,除非它俩

是同一个元素。H=G时G中任意两个元素都合同,此外,由定义,Abel群的任意子群是正规子群。

由定义,H是G的正规子群,必要而且只要gH=Hg对于任意g∈G,必要而且只要对于任意g∈G, gHg-1=H,我们可以进一步证明,H是G的正规子群,必要而且只要对任意的g∈G,gHg-1H


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事实上,必要显然,只证只要,

为此,设对任意g∈G

gHg-1H

此式既对任意g∈G成立,则以

g-1∈G代g仍成立:

g-1H(g-1)-1  H,即g-1Hg  H;以g

左乘以g-1右乘之,得

H  gHg-1

即H=gHg-1对任意g∈G都成立,因而H是正规子群。


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Lagrange定理 设G为有限群,

则G的任意子群H的元数整除群

G的元数。

证明: 设G和H的元数分别为n

和r,设H有s个右陪集。但G等

于所有右陪集的并集,不同的

右陪集没有公共元素,而且,

每个右陪集的元数(按定理6.4.7)等于H的元数r,一共是s个右陪集,故所有右陪集的并集有元数rs,它等于G的元数n:n=rs,或者说,r整除n,商为s。

有限群G的元数除以H的元数所得的商,记为(G:H),叫做H在G中的指数,H的指数也就是H的右(左)陪集的个数。


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从每个右陪集中选出一个元素

为代表,全体代表的集合叫做

一个右代表系或右代表团。设

G有限而g1,…,gs作成一个右

代表系,则g1H,…,gsH便是H

的所有右陪集而G= g1H∪…∪gsH。

定理6.4.8 设G为有限群,元数

为n,对任意a∈G,有an=1。

证明:因为G有限,a的周期必有限,否则a所生成的循环子群(a)将无限,G的元素将无穷多。兹命a的周期为m,则a生成一个m元循环子群(a)G。按Lagrange定理,子群(a)的元素m│n,即n≡0(mod m),因此an=1。


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