C lculo de predicados
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Cálculo de Predicados. Prof. Marcone Sotéro [email protected] Cálculo de Predicados. A: Todos são mortais. B: Alguém é bondoso. Utilizando a lógica proposicional, poderíamos explicitar a diferença entres as sentenças acima?. Cálculo de Predicados.

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Cálculo de Predicados

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Presentation Transcript


C lculo de predicados

Cálculo de Predicados

Prof. Marcone Sotéro

[email protected]


C lculo de predicados1

Cálculo de Predicados

A: Todos são mortais.

B: Alguém é bondoso.

Utilizando a lógica proposicional,

poderíamos explicitar a diferença entres

as sentenças acima?


C lculo de predicados2

Cálculo de Predicados

  • Na lógica proposicional as duas sentenças são tratadas como unidades

    – Elas não podem ser decompostas em sentenças menores ligadas pelos conectivos lógicos

    – Por isso não conseguimos falar da diferença entre elas na lógica proposicional


C lculo de predicados3

Cálculo de Predicados

  • Considere a premissa

    • “Sócrates é humano”.

      Esse enunciado é uma declaração de que determinado indivíduo (Sócrates) possui uma propriedade específica (é humano).

  • Na linguagem natural, o indivíduo que possui a propriedade é chamado sujeito, enquanto a propriedade descrita é chamada predicado.


C lculo de predicados4

Cálculo de Predicados

O predicado explicita certas qualidades que o sujeito possui e que permite incluí-lo em uma categoria

  • por exemplo, quando dizemos “Sócrates é humano” queremos dizer que o objeto chamado “Sócrates” possui certas características que permitem incluí-lo no conceito que fazemos daquilo que chamamos “humano”.


C lculo de predicados5

Cálculo de Predicados

Nesta nova linguagem teremos, além dos conectivos do cálculo proposicional e dos parênteses, os seguintes novos símbolos:

variáveis: x,y,z,...

  • as variáveis representam objetos que não estão identificados no Universo considerado ("alguém", "algo", etc.);

    constantes: a,b,c,...

  • as constantes representam objetos identificados do Universo ("João", "o ponto A", etc. );

    quantificadores:  (universal),  (existencial)


Quantificadores

Quantificadores

 Símbolo de quantificação universal;

leia-se “para todo”, “todo”.

 Símbolo de quantificação existencial;

leia-se “algum”, “existe”.


C lculo de predicados6

Cálculo de Predicados

Representamos o predicado por sua inicial maiúscula, e o sujeito a seguir, entre parênteses; assim, “Sócrates é humano” fica representado por

– H (Sócrates)

• Exemplos

– "Maria é inteligente": I(m) ; onde "m" está identificando Maria e "I" a propriedade de "ser inteligente".

– "Alguém gosta de Maria": G(x,m) ; onde G representa a relação "gostar de" e "x" representa "alguém".


Exemplos

Exemplos

  • A Terra é redonda

    R(t)

  • Simba é um mamífero

    M(s)

  • Quatro é um número par

    N(q)


Exemplos1

Exemplos

Todo número inteiro par é divisível por 2.

Para qualquer x, se x for um número inteiro par, x é divisível por 2.

Para qualquer x, (P(x)  D(x))


Exemplos2

Exemplos

Todo número inteiro par é divisível por 2

(x)(P(x) D(x))

Todo coala come folhas de eucalipto

(x)(C(x) E(x))

Alguém estudou aqui

(x)(E(x))


Exemplos3

Exemplos

Ele foi para o Alasca

(x)(I(x))

Ninguém estuda aqui

(x)(~A(x))

Nem todo cão é manso

(x)[C(x)  (~(m(x)))]


Senten as abertas e fechadas

Sentenças Abertas e Fechadas

O sujeito é uma constante

Ex.: “Sócrates é humano”, pode ser verdadeira ou falsa;

O sujeito é uma variável

Ex.: “Ele foi presidente do Brasil”, ela não é verdadeira nem falsa, dependendo de nome que assuma o lugar do pronome. Uma frase como essa não é, portanto, um enunciado.


Senten as abertas e fechadas1

Sentenças Abertas e Fechadas

Os enunciados são chamados sentenças

fechadas, enquanto que frases como:

  • “x foi presidente do Brasil”

  • “y escreveu Os Lusíadas”

  • “z viajou para os Estados Unidos”

    são chamadas sentenças abertas.


Senten as abertas e fechadas2

Sentenças Abertas e Fechadas

As sentenças abertas não são verdadeiras nem

falsas;

podemos dizer apenas que são satisfeitas para certos valores das variáveis, e não satisfeitas para outros.

A substituição das variáveis de uma sentença aberta por constantes chama-se instanciação ou especificação;

A instanciação transforma uma sentença aberta em um enunciado, e este sim, pode ser verdadeiro ou falso.


O universo

O Universo

  • O Universo de uma variável é o conjunto de valores que ela pode assumir.

    • O conjunto dos números

    • O conjunto dos números naturais maiores que 5


Conjunto verdade

Conjunto-Verdade

Chama−se Conjunto-Verdade (VP) de uma sentença aberta P(x), o conjunto de elementos do Universo que, quando instanciam a variável, satisfazem (tornam verdadeiro) o enunciado; ou seja

VP = { a  U | VL [ P (a) ] = V }

VL (Valor Lógico)


Conjunto verdade1

Conjunto-Verdade

Por exemplo, seja U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } e a expressão “x é primo” representada por P(x).

  • Temos então VP = { 2, 3, 5, 7 }.

    O conjunto-verdade em N da sentença aberta “x é divisor de 10” é:

  • VP = { x  N | x é divisor de 10} = {1, 2, 5, 10}


Proposi o universal afirmativa

Proposição Universal Afirmativa

Tem a forma geral Todo S é P e indica que todos os elementos da classe S estão contidos na classe P.

– Forma simbólica:

x (S(x)  P(x))


Proposi o universal negativa

Proposição Universal Negativa

Tem a forma geral Nenhum S é P e indica que as classes S e P não possuem elementos em comum.

– Forma simbólica:

x (S(x)  ~P(x))


Proposi o particular afirmativa

Proposição Particular Afirmativa

Tem a forma geral Algum S é P e indica que alguns membros da classe S também pertencem à classe P.

– Forma simbólica:

x (S(x) ^ P(x))


Proposi o particular negativa

Proposição Particular Negativa

Tem a forma geral Algum S não é P e indica que existem elementos de S que não estão contidos em P.

– Forma simbólica:

x (S(x) ^~P(x))


Diagramas de venn

Diagramas de Venn

  • Cada classe é representada por um círculo, rotulado com o nome da classe;

  • Para representar a proposição que afirma que a classe não possui elementos sombreamos o interior do círculo;

  • Para indicar que a classe possui pelo menos um elemento, incluímos um x no círculo.


Diagramas de venn1

Diagramas de Venn

Proposição Universal Afirmativa

Todo S é P

Forma simbólica: x (S(x)  P(x))


Diagramas de venn2

Diagramas de Venn

Proposição Universal Negativa

Nenhum S é P

Forma simbólica: x (S(x)  ~P(x))


Diagramas de venn3

Diagramas de Venn

Proposição Particular Afirmativa

Algum S é P

Forma simbólica: x (S(x) ^ P(x))


Diagramas de venn4

Diagramas de Venn

Proposição Particular Negativa

Algum S não é P

Forma simbólica: x (S(x) ^ ~P(x))


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