Aspetti algoritmici connessi alla sicurezza nei sistemi informatici distribuiti - PowerPoint PPT Presentation

Aspetti algoritmici connessi alla
Download
1 / 47

  • 108 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Aspetti algoritmici connessi alla sicurezza nei sistemi informatici distribuiti. Testo consigliato. Crittografia , P. Ferragina e F. Luccio, Ed. Bollati Boringhieri, € 16. Sommario. Introduzione computer security vs network security attacchi, meccanismi di sicurezza

I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.

Download Presentation

Aspetti algoritmici connessi alla sicurezza nei sistemi informatici distribuiti

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Aspetti algoritmici connessi alla sicurezza nei sistemi informatici distribuiti

Aspetti algoritmici connessi alla sicurezza nei sistemi informatici distribuiti


Testo consigliato

Testo consigliato

  • Crittografia, P. Ferragina e F. Luccio, Ed. Bollati Boringhieri, € 16.


Sommario

Sommario

  • Introduzione

    • computer security vs network security

    • attacchi, meccanismi di sicurezza

  • Cenni di crittografia

    • Crittografia a chiave privata

    • Crittografia a chiave pubblica

  • Applicazioni di network security (??)

    • servizi di autenticazione (firma digitale)


Computer security vs network security

Computer security vsnetwork security

  • Computer security: misure per proteggere le informazioni di un calcolatore

  • Network security: misure per proteggere lo scambio di informazioni durante la loro trasmissione


Network security

Network security

  • L’era di Internet…

    • Informazioni distribuite

    • Posta elettronica

    • Commercio elettronico

    • Transazioni finanziarie

  • …e le nuove problematiche di sicurezza

    • sicurezza delle reti locali

      • da attacchi esterni

      • da impiegati infedeli

    • sicurezza delle applicazioni (e-mail, http, ftp,…)


Problemi base

Problemi base

  • Le reti sono insicure perché molte delle comunicazioni avvengono in chiaro

  • Spesso non c’è autenticazione dei server, ma solo (e non sempre) degli utenti

  • Le connessioni non avvengono tramite linee punto-punto ma

    • attraverso linee condivise

    • tramite router di terzi


Attacchi alla sicurezza su reti

Attacchi alla sicurezza su reti


Sicurezza dei dati paradigmi

Sicurezza dei dati: paradigmi

  • Segretezza: evitare che i dati inviati da un soggetto A a un soggetto B vengano compresi da un terzo soggetto C.

  • Autenticazione: verificare l’identità di chi manda o riceve i dati.

  • Integrità: essere sicuri che i dati ricevuti siano uguali a quelli inviati.

  • Non ripudio: evitare che chi manda dei dati possa in futuro negare di averli mandati (firma digitale).


Meccanismi di sicurezza

Meccanismi di sicurezza

  • Esiste una grande varietà di meccanismi atti a garantire la sicurezza dei dati, quasi tutti basati su tecniche crittografiche

  • La crittografia (dal greco kryptos, nascosto, e graphein, scrivere) è la disciplina che si occupa dello studio delle scritture “segrete”.


Cenni storici

Cenni storici

  • La crittografiaè una scienza antichissima utilizzata nell’antichità per nascondere il contenuto di messaggi scritti.

  • La crittografia conobbe un enorme sviluppo durante la Seconda Guerra Mondiale, quando il matematico inglese Alan Turing formalizzò la teoria necessaria per decrittare il crittosistema tedesco Enigma.

  • Nel 1949 Shannon pubblicò un articolo che diede l’inizio a quella che oggi viene chiamata la Teoria dell’Informazione, che assieme alla Teoria della Probabilità, la Teoria della Complessità e la Teoria dei Numerigettò le basi della Crittografia Moderna.


Crittosistema

Crittosistema

Def.: Un crittosistema (o cifrario)è una quintupla (M,C,K,Cod,Dec), dove,

  • M: insieme finito dei testi in chiaro

  • C: insieme finito dei testi cifrati

  • K: insieme delle possibili chiavi

  • Cod: MK→C funzione di cifratura (iniettiva e invertibile)

  • Dec: CK→M funzione di decifratura

Se Cod e Dec utilizzano la stessa chiave per cifrare e decifrare un dato testo, allora si parla di crittosistema simmetrico, altrimenti di crittosistema asimmetrico.


Garantire la segretezza

Garantire la segretezza

Principio di Kerckhoffs: “La sicurezza di un sistema crittografico deve essere basata esclusivamente sulla inespugnabilità della chiave (gli algoritmi di cifratura e decifratura devono essere considerati noti, e il testo cifrato in transito deve essere considerato pienamente leggibile).”


Algoritmi a chiave simmetrica

Algoritmi a chiave simmetrica

  • Chiave simmetrica: i due soggetti (A e B) usano la stessa chiave K per codificare e decodificare i dati.

  • Gli algoritmi di crittografia sono pubblici  la chiave simmetrica deve essere segreta  il principale problema è lo scambio della chiave!


Lo scenario a chiave simmetrica

Lo scenario a chiave simmetrica


Il problema della trasmissione della chiave

Il problema della trasmissione della chiave

  • Volendo utilizzare un cifrario simmetrico per proteggere le informazioni tra due interlocutori come posso scambiare la chiave segreta?

  • Devo utilizzare una canale sicuro di comunicazione (oppure A e B devono essersi preventivamente accordati)


Un primo esempio di cifrario a chiave simmetrica il cifrario di cesare

Un primo esempio di cifrario a chiave simmetrica: il cifrario di Cesare

  • Consideriamo l’alfabeto italiano, e costruiamo un cifrario che sostituisce ad ogni lettera di questo alfabeto la lettera che si trova 3 posizioni in avanti.

  • Ad esempio il testo in chiaro “algoritmi distribuiti” viene cifrato nel crittogramma “dolrunzpn gnvzuneanzn”.

  • Anche se la chiave rimane segreta, è facilmente attaccabile tramite approcci statistici.


La crittoanalisi statistica

La crittoanalisi statistica

  • Tramite l’utilizzo di tecniche statistiche sulla frequenze dei caratteri o sottostringhe del testo cifrato si ottengono informazioni utili sul testo in chiaro.


Crittoanalisi del cifrario di cesare

Crittoanalisi del cifrario di Cesare

  • Il cifrario di Cesare, come la maggior parte dei cifrari storici basati tu trasposizioni e traslazioni, può essere facilmente violato utilizzando tecniche statistiche (crittoanalisi statistica).

    • Si analizzano le frequenze relative dei caratteri nel testo cifrato e le si confrontano con quelle di una lingua conosciuta, ad esempio l'italiano.

    • Con queste informazioni si ottiene un’ottima approssimazione del testo in chiaro

      NOTA: Il cifrario di Cesare può essere facilmente violato anche con un approccio esaustivo: basta testare le 21 possibili traslazioni (i.e., chiavi) fino ad ottenere un testo comprensibile!


Cifrari perfetti

Cifrari perfetti

  • Un crittosistema si dice perfetto se il testo in chiaro e quello cifrato sono statisticamente indipendenti.

  • Formalmente, definiamo un cifrario perfetto come segue: la comunicazione tra A e B è vista come un processo stocastico (cioè variabile in modo aleatorio nel tempo) in cui:

    • P(m): probabilità che il messaggio spedito sia m;

    • P(m|c): probabilità che il messaggio spedito sia m avendo visto transitare il messaggio cifrato c;

      Def.: Un cifrario è perfetto se per ogni mM e per ogni cC vale la relazione:

      P(m|c) = P(m).


Due cifrari molto imperfetti

Due cifrari molto imperfetti

  • Supponiamo che P(m)=p, 0<p<1, e che P(m|c)=0≠p; allora, un crittoanalista che vede transitare c, è in grado di dedurre che il messaggio spedito non può essere m!

  • Supponiamo adesso che P(m)=p, 0<p<1, e che P(m|c)=1≠p; allora, un crittoanalista che vede transitare c, è in grado di dedurre che il messaggio spedito corrisponde ad m!

  • In tutti i casi intermedi in cui P(m|c)≠p, il crittoanalista può fare delle deduzioni osservando i messaggi cifrati in transito!


Impraticabilit dei cifrari perfetti

Impraticabilità dei cifrari perfetti

Teorema (Shannon): condizione necessaria affinché un crittosistema sia perfetto è che |K|≥|M|.

Dim.: Osserviamo che |M|≤|C|. Se per assurdo fosse |K|<|M|, allora |K|<|C|. Sia m un messaggio arbitrario t.c. P(m)=p≠0. Allora, da esso possono essere generati al più |K| messaggi cifrati (uno per ogni chiave). Ne consegue che esiste almeno un messaggio cifrato c* che non è immagine di m, ovvero:

P(m|c*)=0≠p=P(m)

contro l’ipotesi di perfezione.□


Un cifrario simmetrico perfetto

Un cifrario (simmetrico) perfetto

  • One-time pad (G. Verman, AT&T, 1917):

    • Si costruisce una grande chiave casualek nota ad A e B (e non pseudocasuale…questo impedisce l’uso di generatori algoritmici, e impone lo scambio della chiave!), ad esempio utilizzando un rivelatore di raggi cosmici

    • Il testo cifrato è costruito tramite uno XOR bit a bit (ricorda: 10=01=0; 11=00=1) fra il messaggio in chiaro m e la chiave casuale k c=mk

    • B ricostruisce m=ck (infatti xyy=x)

    • La chiave non deve mai essere riutilizzata (one-time pad).


One time pad perfetto

One-time pad è perfetto!

Dobbiamo mostrare che P(m|c)=P(m). Siano m e c di n bit; dal Teorema di Bayes si ha:

P(m|c)=P(m∩c)/P(c)

dove P(m∩c) è la probabilità che A abbia generato il messaggio m e lo abbia cifrato come c; allora

P(m∩c)=P(m∩c=mk)=P(m)P(c=mk)=P(m)2-n

mentre:

P(c)=∑m P(m∩c)= ∑m P(m)2-n=2-n ∑m P(m)=2-n

P(m|c)=P(m)2-n/2-n=P(m).□

indipendenza statistica di m e c


One time pad solo teoricamente perfetto

One-time pad è solo teoricamente perfetto…

  • In pratica, come fanno A e B a scambiarsi la chiave k?

  • La soluzione è accordarsi preventivamente su una supersequenza di bit casuali, da consumare a mano a mano che ci si scambiano messaggi…bisognerà solo specificare la porzione della supersequenza da usare di volta in volta.

  • La supersequenza va trasferita a priori con metodi tradizionali (messaggero…)

  • La linea rossa Cremlino-Casa Bianca è secretata (si dice…) con il metodo one-time pad!


Dalla perfezione alla realt

Dalla perfezione alla realtà…

  • A fronte dei cifrari perfetti (ovvero dimostrabilmente sicuri ma praticamente inutilizzabili) esistono anche cifrari:

    • Computazionalmente sicuri – Il problema crittoanalitico (ovvero di decrittazione di un testo cifrato senza conoscere la chiave) è computazionalmente intrattabile.

    • Probabilisticamente sicuri – Sono cifrari di cui è stata dimostrata l’inattaccabilità, a patto che non si verifichino alcuni eventi improbabili.

  • Tutti i cifrari moderni realmente utilizzati appartengono alla classe dei computazionalmente sicuri.


Lo stato dell arte dei cifrari simmetrici imperfetti rijndael

Lo stato dell’arte dei cifrari simmetrici imperfetti: Rijndael

  • Sviluppato da Joan Daemen e Vincent Rijmen, ha vinto la selezione per l’Advanced Encryption Standard (AES) nel 2000. Ufficialmente il Rijndael è diventato lo standard per la cifratura del XXI secolo a chiavi simmetriche.

  • Il cifrario utilizza chiavi di lunghezza variabile a 128, 192, 256 bit (generate da un gestore esterno), ed una rete di “confusione del messaggio”, in cui si eseguono molteplici operazioni (circa 10) di trasposizione, xoring e sostituzione di blocchi di messaggio di lunghezza pari a quella della chiave.


I limiti dei metodi a chiave simmetrica

I limiti dei metodi a chiave simmetrica

  • Un canale sicuro di comunicazione per scambiarsi la chiave segreta esiste veramente nella realtà? E se esistesse, perché ricorrere alla crittografia???

  • Inoltre, per una comunicazione sicura tra n utenti, si dovranno scambiare in tutto (n-1)*n/2 chiavi, ad esempio con 100 utenti occorreranno 4950 chiavi!


Algoritmi a chiave asimmetrica

Algoritmi a chiave asimmetrica

  • Chiave Pubblica/Privata: Ogni soggetto Sha

    • una propria chiave pubblica Kpub(S), nota a tutti;

    • una propria chiave privata Kpriv(S)nota solo a lui.

  • I requisiti che un algoritmo a chiave pubblica deve soddisfare sono:

    • i dati codificati con una delle chiavi possono essere decodificati solo con l’altra;

    • la chiave privata non deve mai essere trasmessa in rete;

    • deve essere molto difficile ricavare una chiave dall’altra (in particolare la chiave privata da quella pubblica).


I vari scenari a chiave pubblica

I vari scenari a chiave pubblica

Primo scenario: A codifica con la chiave pubblica associata a B, il quale decodifica con la propria chiave privata: garantisce segretezza e integrità (non l’autenticità, perché tutti possono codificare, non solo A)


I vari scenari a chiave pubblica1

I vari scenari a chiave pubblica

Secondo scenario: A codifica con la propria chiave privata il messaggio da inviare a B, il quale decodifica con la chiave pubblica associata ad A: garantisce autenticità e non ripudiabilità (non la segretezza, perché tutti possono decodificare)


I vari scenari a chiave pubblica2

I vari scenari a chiave pubblica

Terzo scenario: A codifica con la chiave pubblica associata a B ed autentica (i.e., firma) con la propria chiave privata: garantisce segretezza, integrità, autenticità e non ripudiabilità!


La nascita dei sistemi pki

La nascita dei sistemi PKI

  • Dove trovo le chiavi pubbliche dei miei destinatari?

  • Creazione di “archivi di chiavi pubbliche”, i public key server.

  • Ma chi mi garantisce la corrispondenza delle chiavi pubbliche con i legittimi proprietari?

  • Nascita delle certification authority (CA) (ad esempio, in Italia per la PEC, le Poste Italiane)

  • A questo punto chi garantisce la validità delle certification authority?

  • Atto di fede!


La matematica dei sistemi a chiave pubblica

La matematica dei sistemi a chiave pubblica

Venne introdotta da Diffie e Hellman nel 1976:

  • Definizione: Una funzione f si dice one-way se per ogni x il calcolo computazionale di y=f(x) è semplice (è in P), mentre il calcolo di x=f-1(y) è computazionalmente difficile (è NP-hard).

  • Definizione: Una funzione one-way è detta trapdoor (letteralmente, cassetta delle lettere) se il calcolo x=f-1(y) può essere reso facile qualora si conoscano informazioni aggiuntive (private).

    … ma purtroppo per loro, essi non furono in grado di costruire una funzione one-way trapdoor!


Il cifrario rsa

Il cifrario RSA

  • Progettato nel 1977 da Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adlemann, il cifrario è stato brevettato, ed è diventato di dominio pubblico solo nel 2000.

  • Idea base: Dati due numeri primi p e q (molto grandi) è facile calcolare il prodotto n=p∙q, mentre è molto difficile calcolare la fattorizzazione di n (anche se tale problema non è noto essere NP-hard).

  • I migliori algoritmi di fattorizzazione attualmente disponibili (Quadratic Sieve, Elliptic Curve Method, Euristica ρ di Pollard, ecc.) hanno tutti una complessità esponenziale dell’ordine di:


Il cifrario rsa1

Il cifrario RSA

  • Per garantire la sicurezza, occorre che p e q siano almeno di 200 cifre decimali. Infatti, se p e q sono di 200 cifre decimali ciascuno, allora n è di 400 cifre, cioè dell’ordine di 10400, da cui:

    ≈e79≈1034

    da cui l’intrattabilità computazionale.

     le chiavi sono lunghe in genere

    10200 = 2200*log10  1024 bitS.

  • RSA è molto più lento degli algoritmi a chiave simmetrica, e spesso viene applicato a piccole quantità di dati, ad esempio per la trasmissione della chiave privata in un sistema simmetrico


Funzionamento di rsa generazione delle chiavi

Funzionamento di RSA: generazione delle chiavi

Ricorda: xy mod z il resto della divisione intera tra x e z e tra y e z è lo stesso, ovvero x mod z = y mod z (o equivalentemente, se esiste un intero k t.c. x=y+kz)

1. Scegli due primi molto grandi p e q e calcola n =p∙q.

2. Calcola la funzione toziente di Eulero rispetto ad n, ovvero la cardinalità dell’insieme dei numeri minori di n e primi con esso:

ϕ(n)=ϕ(pq)=pq-[(q-1)+(p-1)]-1=pq-(p+q)+1=

=(p-1)(q-1)=ϕ(p)ϕ(q)

(poiché esistono q-1 multipli di p minori di n e p-1 multipli di q minori di n)

3. Scegli un numero 0<e<ϕ(n) t.c. MCD(e,ϕ(n))=1.

4. Calcola d tale che e·d1 mod ϕ(n).

5. Definisci la chiave pubblica come (e,n).

6. Definisci la chiave privata come (d,n).


Funzionamento di rsa

Funzionamento di RSA

Secretazione di un messaggio

  • La funzione di cifratura di A è Cod(x)=xe mod n (con x<n), ove (e,n) è la chiave pubblica del destinatario B.

  • La funzione di decifratura di B è:

    Dec(x)=Cod(x)d mod n = (xe mod n)d mod n

    ove (d,n) è la chiave privata di B.

Autenticazione di un messaggio

  • La funzione di cifratura di A è Cod(x)=xd mod n (con x<n), ove (d,n) è la chiave privata di A.

  • La funzione di decifratura di B è:

    Dec(x)=Cod(x) e mod n = (xd mod n) e mod n

    ove (e,n) è la chiave pubblica di A.


Correttezza di rsa alcuni teoremi di algebra modulare

Correttezza di RSA: alcuni teoremi di algebra modulare

  • Teorema (equazioni modulari): L’equazione axb mod n ammette soluzione se e solo se MCD(a,n) divide b. In questo caso si hanno esattamente MCD(a,n) soluzioni distinte.

    • Corollario (esistenza dell’inverso): Se a e n sono primi tra loro, allora ax1 mod n ammette esattamente una soluzione positiva minore di n, detta l’inverso di a modulo n.

  • Teorema di Eulero: Per ogni n>1, e per ogni a primo con n, si ha che aϕ(n)1 mod n.


Correttezza di rsa

Correttezza di RSA

  • Si noti innanzitutto che ee ϕ(n) sono primi tra loro, e quindi dal corollario sull’esistenza dell’inverso, esiste un unico d minore di ϕ(n) tale che e∙d1 mod ϕ(n).

  • Qui sta la forza di RSA: per ricavare d da e bisogna conosce-re ϕ(n), cioè p e q, e quindi bisogna saper fattorizzare!

  • Secretazione: occorre provare che  x<n, Dec(Cod(x))=x. Ma

    Dec(Cod(x))=(xemod n)dmodn=xedmod n,

    quindi dobbiamo mostrare che x=xedmod n. Dimostratelo!

    Distinguiamo due casi:

    • p e q non dividono x (e quindi MCD(p,x)=MCD(q,x)=1, poiché essi sono primi);

    • p (oppure q) divide x, ma q (oppure p) non divide x.

      (si noti che p e q non possono entrambi dividere x, perché altrimenti si avrebbe x≥n contro le ipotesi)


Aspetti algoritmici connessi alla sicurezza nei sistemi informatici distribuiti

Correttezza di RSA (2)

Caso 1: Abbiamo MCD(x,n)=1, quindi per il th di Eulero, risulta xϕ(n)1 mod n; poiché ed1 mod ϕ(n), si ha che ed=1+kϕ(n), per un k opportuno. Quindi, poiché x<n, si ha:

xedmod n = x1+kϕ(n)mod n = x·(xϕ(n))kmod n = x·1kmod n = x.

Caso 2: Poiché p divide x, per qualunque intero positivo k abbiamo xxk0 modp, ovvero (xk-x)0 modp. Poiché invece q non divide x, analogamente al Caso 1, abbiamo anche xedx modq, e quindi (xed-x)0 modq. Ne consegue che (xed-x) è divisibile sia perp che per q, e quindi per il loro prodotto n, da cui deriva

(xed-x)0 mod n xedx mod n xedmod n = xmod n = x.

Autenticazione: si noti che RSA gode della notevole proprietà:

Dec(Cod(x))=Cod(Dec(x)).


Esempio di funzionamento di rsa

Esempio di funzionamento di RSA

  • B sceglie ad esempio p=3 e q=11.

  • Quindi n=33 e ϕ(n)=20.

  • Si può prendere e=3, poiché 3 non ha divisori comuni con 20  (3,33) è la chiave pubblica di B

  • Cerco d t.c. 3d1 mod 20. Con l’equazione 3d= 1+k·20, ponendo k=1 si trova d=7  (7,33) è la chiave privata di B

  • Per cifrare un blocco P (P<33) da inviare a B, A calcola

    C:=Cod(P)=P3 mod 33

  • Per decifrare C, B calcola P=C7mod 33

  • Poiché n=33, si cifrano al più 5 bit alla volta (25<33)

  • Nella pratica, n è dell’ordine di 21024, e quindi si possono cifrare blocchi di 1024 bit, cioè blocchi di 128 caratteri ASCII (di 8 bit ciascuno).


Esempio di funzionamento di rsa1

Esempio di funzionamento di RSA

Per visualizzare l’esempio precedente, supponiamo per semplicità che le 26 lettere dell’alfabeto inglese possano essere codificate con 5 bit, e quindi poiché n=33, posso cifrare un carattere alla volta


Complessit computazionale di rsa

Complessità computazionale di RSA

  • Si può dimostrare che le chiavi (e quindi p,q,e,d) possono essere generate in tempo polinomiale (ovvero logaritmico nel loro valore).

  • In particolare, e viene in genere scelto prendendo un numero primo abbastanza piccolo (ad esempio, e=3).

  • Invece, d viene ricavato mediante un’estensione (polinomiale) dell’algoritmo di Euclide per il calcolo del MCD (basato sul fatto che MCD(a,b)=MCD(b,a mod b)).

  • Tuttavia, per trovare numeri primi molto grandi (cioè p e q), i test di primalità utilizzati sono tutti di tipo probabilistico, in quanto quelli deterministici sono troppo lenti (sebbene polinomiali, ma dell’ordine di O(log10n)).

  • Infine, si noti che i processi di cifratura e decifrazione possono essere eseguiti efficientemente tramite successive esponenziazioni (potenza modulare).


Alla ricerca di p e q

Alla ricerca di p e q

  • Definizione (Algoritmo Monte Carlo): Un algoritmo Monte Carlo “no-biased” è un algoritmo randomizzato per la risoluzione di un dato problema di decisione, in cui la risposta “no” è sempre corretta, mentre la risposta “sì” può essere inesatta con probabilità fissata ε. Analogamente sono definiti gli algoritmi Monte Carlo “yes-biased”.

  • L’algoritmo di Miller e Rabin è un algoritmo Monte Carlo “no-biased” per testare la primalità di un numero. Esso ha una complessità di O(log3 n), e una probabilità di inesattezza ε≈1/4 (cioè se risponde SÌ, è corretto con probabilità ≈3/4).


Algoritmo di miller rabin

Algoritmo di Miller-Rabin

  • E’ basato sulla seguente proprietà: per un intero n dispari, e per un qualche 2≤y≤n, poniamo y-1=2wz, con z dispari (quindi w è il max esponente consentito per 2), e definiamo i 2 predicati:

    (P1): MCD(n,y)=1;

    (P2): (yz mod n = 1) OR (esiste 0≤i≤w-1 t.c.y2iz mod n=-1).

    Teorema:Se n è primo soddisfa entrambi i predicati, mentre se n è composto il numero di interi compresi tra 1 e n-1 che soddisfano entrambi i predicati è minore di n/4.

    Eseguiamo MR(n) un certo numero k di volte, testando ogni volta i due predicati su un intero a caso minore di n. Se l’algoritmo risponde “no” anche una sola volta il numero è sicuramente composto, mentre se risponde sempre “sì”, la probabilità che il numero sia composto è 4-k, e quindi la probabilità che il numero sia primo è:

    P(primo)=1-P(composto)=1-4-k

    (ad es., se k=100, si ha P≈1-10-60 ≈ 1)


Algoritmo di miller rabin1

Algoritmo di Miller-Rabin

Miller-Rabin(n)

  • Set n-1=2sr con r dispari

  • For i=1 to k do

    2.1 scegli a caso un intero t t.c. 2≤t≤n-2

    2.2 calcola y=tr mod n

    2.3 if y≠1 esegui

    2.3.1 j=1

    2.3.2 while ((j≤s-1) and (y≠n-1))

    y:=t2jr mod n

    j++

    2.3.3 if y≠n-1 ritorna composto

  • Ritorna primo(w.h.p. 1-4-k)


E facile trovare numeri primi

E’ facile trovare numeri primi?

  • Nonostante l’efficienza nel testare se un numero sia primo o meno resta l’incognita se i numeri primi siano “pochi” e quindi difficili da scovare.

  • Teorema di Gauss (dei numeri primi): Sia π(n) la funzione di distribuzione dei numeri primi, cioè il numero di numeri primi che precedono n. Allora essa soddisfa il seguente:

  • Quindi se si cerca un numero primo di 100 cifre occorre verificare “solo” ln (10100) ≈ 230 numeri consecutivi.


  • Login