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Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa

Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa. Corso di Teoria dei Giochi Laurea specialistica in Economia Applicata Docente: Giovanni D’Orio E-mail: giovanni.dorio@unical.it. Prospetto di sintesi dei giochi statici ad informazione completa. Introduzione ai giochi

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Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa

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Presentation Transcript

  1. Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa Corso di Teoria dei Giochi Laurea specialistica in Economia Applicata Docente: Giovanni D’Orio E-mail: giovanni.dorio@unical.it Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  2. Prospetto di sintesi dei giochi statici ad informazione completa • Introduzione ai giochi • Rappresentazione in forma Normale (o strategica) • Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate • Equilibrio di Nash • Ripasso delle funzioni concave, ottimizzazione • Applicazione dell’equilibrio di Nash • Equilibrio di Nash in strategie miste Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  3. Agenda • Che cosa è la teoria dei giochi • Esempi • Dilemma del prigioniero • La battaglia dei sessi • Matching pennies • Giochi statici ad informazione completa (o a mosse simultanee) • Rappresentazione in forma Normale o strategica Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  4. Che cosa è la teoria dei giochi? • Noi ci concentreremo su giochi dove: • Ci sono almeno due giocatori razionali • Ogni giocatore ha più di una scelta • Il risultato finale dipende dalle strategie scelte da tutti i giocatori; c’è interazione strategica. • Esempio: Sei persone vanno ad un ristorante. • Ogni persona paga il proprio pasto – un problema semplice di decisione • Prima del pranzo, ogni persona è d'accordo a dividere il conto fra tutti i partecipanti – un gioco Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  5. Che cosa è la teoria dei giochi? • La Teoria dei Giochi è un modo formale di analizzare l’interazione strategica tra un gruppo di giocatori (o agenti) razionali che si comportano strategicamente • La teoria dei giochi ha applicazioni • Economiche • Politiche • etc. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  6. Prigioniero 2 Nega Confessa Nega Prigioniero 1 Confessa Esempio Classico: Il Dilemma del prigioniero • Due sospetti detenuti in celle separate sono accusati di un crimine rilevante. Non ci sono però prove sufficienti. • Ad entrambi I sospetti viene comunicata la seguente regola: • Se nessuno confessa allora entrambi saranno accusati di un crimine minore e condannati ad un mese di carcere. • Se entrambi confessano allora entrambi saranno condannati a sei mesi di carcere. • Se uno confessa ma l’altro nega, allora chi confessa sarà rilasciato ma l’altro sconterà nove mesi di carcere. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  7. Pat Opera Boxe Opera Chris Boxe Esempio: La battaglia dei sessi • In posti separati, Chris e Pat devono scegliere di passare la serata all’opera o a un combattimento di boxe. • Sia Chris che Pat sanno quanto segue: • Entrambi vorrebbero passare la serata insieme. • Ma Chris preferisce l’opera. • Pat preferisce la boxe. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  8. Giocatore 2 Testa Croce Testa Giocatore 1 Croce Esempio: Matching pennies • Ognuno dei due giocatori ha una monetina. • I due giocatori devono scegliere simultaneamente se mostrare Testa o Croce. • Entrambi i giocatori conoscono le seguenti regole: • Se le due monetine hanno entrambi lo stesso esito (entrambe testa or entrambe croce) allora il giocatore 2 vince la moneta del giocatore 1. • In caso diverso, il giocatore 1 vince la moneta del giocatore 2. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  9. Un insieme di giocatori (almeno 2) Per ogni giocatore, un insieme di strategie/azioni Payoffs ottenuti da ogni giocatore data la combinazione delle strategie, o preferenze per ogni giocatore sulle combinazioni delle strategie {Giocat. 1, Giocat. 2, ... Giocat. n} S1 S2 ... Sn ui(s1, s2, ...sn), per ognis1S1, s2S2, ... snSn. Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa Un gioco statico consiste di: Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  10. Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa • Mosse simultanee • Ogni giocatore sceglie la propria strategia senza conoscere la scelta degli altri. • Informazione completa • Ogni strategia possibile di ogni giocatore e la funzione dei payoff sono conoscenza comune fra tutti I giocatori. • Assunzioni sui giocatori • Razionalità • I giocatori vogliono massimizzare il proprio payoffs • I giocatori sono dei calcolatori perfetti (no errori) • Ogni giocatore sa che gli altri giocatori sono razionali Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  11. Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa • I giocatori cooperano? • No. Questi sono giochi non cooperativi • Il timing (la sequenza degli eventi) • Ogni giocatore i sceglie la propria strategia sisenza conoscere la scelta altrui. • Solo adesso ogni giocatore i riceve il proprio payoff ui(s1, s2, ..., sn). • Il gioco finisce Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  12. Definizione: Rappresentazione in forma normale o strategica • La rappresentazione in forma normale (o strategica)di un gioco G specifica: • Un insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n}, • Lo spazio delle strategie dei giocatori S1 S2 ... Sn e • Le funzioni di pay-off u1 u2 ... undove ui : S1 × S2 × ...× Sn→R. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  13. Rappresentazione in forma normale: gioco a 2 giocatori • Rappresentazione Bi-matriciale • 2 giocatori: Player 1 e Player 2 • Ogni giocatore ha un numero finito di strategie • Esempio:S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22} Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  14. Prig. 2 Giocat. Strateg. Nega Confessa Nega Prig. 1 Confessa Esempio Classico: Rappresentazione “normale” del Dilemma del Prig. • Insieme di giocatori: {Prigioniero 1, Prigioniero 2} • Insieme delle strategie:S1= S2= {Nega, Confessa} • Funzioni di Payoff :u1(N, N)=-1, u1(N, C)=-9, u1(C, N)=0, u1(C, C)=-6;u2(N, N)=-1, u2(N, C)=0, u2(C, N)=-9, u2(C, C)=-6 Payoffs Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  15. Pat Opera Boxe Opera Chris Boxe Esempio: La battaglia dei sessi • Rappresentazione in forma Normale: • Insieme giocatori:{ Chris, Pat } (={Player 1, Player 2}) • Insieme strategie: S1= S2 = { Opera, Boxe} • Funzioni di Payoff :u1(O, O)=2, u1(O, B)=0, u1(B, O)=0, u1(B, B)=1;u2(O, O)=1, u2(O, B)=0, u2(B, O)=0, u2(B, B)=2 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  16. Player 2 Testa Croce Testa Player 1 Croce Esempio: Matching pennies • Rappresentazione in forma normale: • Insieme giocatori: {Player 1, Player 2} • Insieme strategie: S1= S2 = { Testa, Croce } • Funzioni di Payoff :u1(T, T)=-1, u1(T, C)=1, u1(C, T)=1, u1(C, C)=-1;u2(T, T)=1, u2(T, C)=-1, u2(C, T)=-1, u2(C, C)=1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  17. Esempio: Turisti e Nativi • Solo due bars (bar 1, bar 2) in città • Si può applicare un prezzo di $2, $4, o $5 • 6000 turisti scelgono un bar casualmente • 4000 nativi scelgono il bar con il prezzo minore • Esempio 1: Entrambi fissano $2 • Ognuno guadagna 5,000 clienti e $10,000 • Esempio 2: Il Bar 1 fissa $4, Il Bar 2 fissa $5 • Bar 1 prende 3000+4000=7,000 clienti e $28,000 • Bar 2 prende 3000 clienti e $15,000 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  18. Esempio: Il modello di duopolio di Cournot • Un prodotto è prodotto solo da 2 imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono rispettivamente q1 e q2,. Ogni impresa sceglie la quantità senza conoscere la quantità scelta dall’altra.. • Il prezzo di mercato è P(Q)=a-Q, dove Q=q1+q2. • Il costo dell’impresa i di produrre qi è Ci(qi)=cqi. Rappresentazione in forma normale: • Insieme giocatori: { Firm 1, Firm 2} • Insieme strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞) • Funzione di Payoff : u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c), u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  19. Ancora un esempio • Ognuno di n giocatori seleziona un numero tra 0 e 100 simultaneamente. Sia xiil numero selezionato dal giocatore i. • Sia y la media di questi numeri • Il payoff del giocatore i sia = xi – 3y/5 La rappresentazione in forma normale: Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  20. Prisoner 2 Giocatori Strategie Nega Confessa Nega Prigion. 1 Confessa Risolvere il Dilemma del Prigioniero • Confessare dà sempre un risultato migliore indipendentemente dalla scelta dell’altro • Strategia dominata • Esiste un’altra strategia che dà sempre risultati migliori indipendentemente dalla scelta degli altri. Payoffs Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  21. si” è strettamente meglio di si’ Prig. 2 Nega Confessa Indipend. Scelta altrui Nega Prig. 1 Confessa Definizione: strategie strettamente dominate Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  22. Riassunto • Giochi statici ad informazione completa • Rappresentazione normale o strategica • Prossimo argomento • Strategie dominate • Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate • Equilibrio di Nash Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  23. Ripasso veloce • La forma normale di un gioco G specifica: • Un insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n}, • Lo spazio delle strategie dei giocatori S1 S2 ... Sn e • Le loro funzioni di payoff u1 u2 ... undove ui : S1 × S2 × ...× Sn→R. Tutte le combinazioni delle strategie. Una combinazione di strategie è un insieme di strategie, una per ogni giocatore Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  24. si” è strettamente meglio di si’ Prig. 2 Nega Confessa Indipend. Scelta altrui Nega Prig. 1 Confessa Definizione: strategie strettamente dominate Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  25. Esempio • Due imprese, Reynolds e Philip, si dividono il mkt. • Ogni impresa guadagna $60 milioni dalla propria clientela se nessuna fa pubblicità (Ad) • La pubblicità costa all’impresa $20 milioni • La pubblicità attrae $30 milioni di fatturato dell’altro concorrente Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  26. Gioco a 2 con strategie finite • S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22} • s11è strettamente dominata das12se u1(s11,s21)<u1(s12,s21) eu1(s11,s22)<u1(s12,s22). • s21 è strettamente dominata das22seu2(s1i,s21) < u2(s1i,s22), per i = 1, 2, 3 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  27. si” è almeno tanto buono quanto si’ Player 2 L R Qualsiasi sia la scelta altrui U Player 1 B Definizione: strategie debolmente dominate Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  28. Strategie dominate in modo stretto o in modo debole • Un giocatore razionale non sceglie mai strategie strettamente dominate. Quindi ogni strategia strettamente dominata può essere eliminata. • Un giocatore razionale può scegliere una strategia debolmente dominata. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  29. Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate • Se una strategia è strettamente dominata, eliminatela • La dimensione e complessità del gioco risulterà ridotta • Eliminate ogni strategia strettamente dominata dal gioco ridotto • Continuate le eliminazioni finchè non ci saranno più strategie strettam. dominate Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  30. Player 2 Sinistra Centro Su Player 1 Giù Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate: un esempio Player 2 Sinistra Centro Destra Su Player 1 Giù Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  31. Esempio: Turisti e Nativi • Solo due bar (bar 1, bar 2) in una città • Si possono fissare prezzi di $2, $4, o $5 • 6000 turisti scelgono un bar casualmente • 4000 nativi selezionano il bar con il prezzo inferiore • Esempio 1: Entrambi fissano $2 • Ognuno attrae 5,000 clienti e $10,000 • Esempio 2: Bar 1 fissa $4, Bar 2 fissa $5 • Bar 1 attrae 3000+4000=7,000 clienti e $28,000 • Bar 2 attrae 3000 clienti e $15,000 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  32. Esempio: Turisti e Nativi Payoffs sono in migliaia di dollari Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  33. Ancora un esempio • Ognuno di n giocatori seleziona un numero tra 0 e 100 simultaneamente. Sia xiil numero selezionato dal giocatore i. • Sia y la media di questi numeri • Il payoff del giocatore I sarà = xi – 3y/5 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  34. Un esempio ulteriore • La rappresentazione in forma normale: • Giocatori: {player 1, player 2, ..., player n} • Strategie: Si=[0, 100], per i = 1, 2, ..., n. • Funzione di payoff: ui(x1, x2, ..., xn) = xi – 3y/5 • Ci sono strategie dominate? • Quali numeri dovrebbero essere selezionati? Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  35. Un nuovo concetto di soluzione: l’equilibrio di Nash La combinazione di strategie (B, R) ha la seguente proprietà: • Il Giocatore 1 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da B, dato il fatto che giocatore 2 sceglie R. • Il Giocatore 2 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da R, dato il fatto che il giocatore 1 sceglie B. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  36. Un nuovo concetto di soluzione: l’equilibrio di Nash La combinazione di strategie (B’, R’) ha la seguente proprietà: • Il giocatore 1 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da B’, dato il fatto che il giocatore 2 sceglie R’. • Il giocatore 2 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da R’, dato il fatto che il giocatore 1 sceglie B’. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  37. Equilibrio di Nash : l’idea • L’equilibrio di Nash • Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la migliore risposta possibile nel momento in cui gli altri giocatori stanno giocando le loro strategie di equilibrio. • BR to BR= Best response to a best response Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  38. Data la scelta altrui, il giocat. i non può migliorare se devia da si* Definizione: L’equilibrio di Nash Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  39. Gioco a 2 giocatori con strategie finite • S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22} • (s11,s21)è un equilibrio di Nash se u1(s11,s21) u1(s12,s21), u1(s11,s21) u1(s13,s21) eu2(s11,s21) u2(s11,s22). Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  40. Player 2 Left Middle Up Player 1 Down Ricerca dell’equilibrio di Nash: ispezione cella a cella Player 2 Left Middle Right Up Player 1 Down Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  41. Riassunto • Strategie dominate • Eliminazione iterata • Equilibrio di Nash • Prossimo argomento • Equilibrio di Nash • Funzione di risposta ottima Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  42. Equilibrio di Nash : idea • Equilibrio di Nash • Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la sua migliore possibile considerato che tutti gli altri giocatori stanno giocando la loro migliore strategia o • Una situazione stabile nella quale nessun giocatore vuole deviare se gli altri confermano la propria posizione (Confessa, Confessa) è un equilibro di Nash. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  43. Esempio: Turisti e Nativi Payoffs sono in migliaia di dollari Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  44. Ancora quell’esempio • Rappresentazione in forma normale: • Giocatori: {player 1, player 2, ..., player n} • Strategie: Si=[0, 100], for i = 1, 2, ..., n. • Funzioni di Payoff : ui(x1, x2, ..., xn) = xi – 3y/5 • Quale è l’equilibrio di Nash? Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  45. Funzione di risposta ottima: esempio • Se Player 2 sceglie L’ allora la strategia ottima di Player 1 è M’ • Se Player 2 sceglie C’ allora la strategia ottima di Player 1 è T’ • Se Player 2 sceglie R’ allora la strategia ottima di Player 1 è B’ • Se Player 1 sceglie B’ allora la strategia ottima di Player 2’ è R’ • Risposta ottima: la migliore strategia giocabile da un giocatore, data la strategia scelta da altri giocatori Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  46. Esempio: Turisti e Nativi • Quale è la risposta ottima del Bar 1 alle strategie di Bar 2 pari a $2, $4 o $5? • Quale è la risposta ottima del Bar 2 alle strategie di Bar 1 pari a $2, $4 or $5? Payoffs in migliaia di dollari Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  47. Gioco a 2 giocatori con strategie finite • S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22} • La strategia di Player 1 s11è la migliore risposta alla strategia di Player 2 s21se u1(s11,s21) u1(s12,s21) eu1(s11,s21) u1(s13,s21). Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  48. Prisoner 2 Mum Confess Mum Prisoner 1 Confess Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per trovare l’equilibrio di Nash • In un gioco a due giocatori, ( s1, s2 ) è un equilibrio di Nash se e solo se la strategia di player 1’ s1 è la migliore risposta alla strategia di player 2 s2, e la strategia di player 2 s2 è la migliore risposta alla strategia di player 1 s1. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  49. Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per trovare l’equilibrio di Nash : esempio • M’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia L’diPlayer 2 • T’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia C’ di Player 2 • B’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia R’di Player 2 • L’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategia T’ di Player 1 • C’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategiaM’ di Player 1 • R’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategiaB’ di Player 1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

  50. Esempio: Turisti e Nativi I Payoffs sono in migliaia di dollari Usate la funzione di rsposta ottima per trovare l’equilibrio di Nash. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

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