Διπλωματική Εργασία:
Download
1 / 54

Διπλωματική Εργασία: - PowerPoint PPT Presentation


  • 172 Views
  • Uploaded on

Διπλωματική Εργασία:. Το πρόβλημα της Εύρωστης Σταθεροποίησης Διακριτών Συστημάτων Μιας Εισόδου-Μιας Εξόδου σε Πεπερασμένο Χρόνο Αποκατάστασης. Άρτεμις Κωσταρίγκα Επίβλεψη: Ν. Καραμπετάκης ΙΟΥΝΙΟΣ 2005 . Περιεχόμενα:. Θεωρητική εισαγωγή & Μαθηματικά Εργαλεία

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Διπλωματική Εργασία:' - fia


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Διπλωματική Εργασία:

Το πρόβλημα της Εύρωστης Σταθεροποίησης

Διακριτών Συστημάτων Μιας Εισόδου-Μιας Εξόδου

σε Πεπερασμένο Χρόνο Αποκατάστασης

Άρτεμις Κωσταρίγκα

Επίβλεψη: Ν. Καραμπετάκης

ΙΟΥΝΙΟΣ 2005


Περιεχόμενα:

  • Θεωρητική εισαγωγή & Μαθηματικά Εργαλεία

  • Διατύπωση και Ανάλυση του προβλήματος

    «Πεπερασμένου Χρόνου Αποκατάστασης»

    (Finite Settling Time Problem – FST)

    Karkanias & Milonidis (1988)

  • Αριθμητικά Αποτελέσματα


A’ μέρος

Θεωρητική Εισαγωγή &

Μαθηματικά Εργαλεία


Χρήση των ακολουθιών ή των τυπικών δυναμοσειρών σαν

εργαλείο για τη μελέτη των Διακριτών συστημάτων

Kalman (1969)

Kucera (1973)

Αν οποιοδήποτε σώμα, το σύνολο των απείρων ακολουθιών:

ή


Πράξεις: τυπικών δυναμοσειρών σαν

  • Πρόσθεση

  • Συνέλιξη

  • Πολ/σμος

δακτύλιος με:

  • Μηδενικό στοιχείο:

  • Μοναδιαίο στοιχείο:

Συμφωνούμε να ταυτίζουμε με την


Ορίζουμε: τυπικών δυναμοσειρών σαν x απροσδιόριστη ακολουθία (indeterminate)

x =

Αποδεικνύεται ότι:

  • :

  • και

  • .


Συνεπώς, κάθε ακολουθία τυπικών δυναμοσειρών σαν μπορεί να γραφεί με τη μορφή τυπικών σειρών Laurent( ):

Τυπικές Δυναμοσειρές: Το σύνολο των ακολουθιών με μη αρνητική τάξη ( )

Τυπικά Πολυώνυμα: Το σύνολο των πεπερασμένων τυπικών δυναμοσειρών ( )

Ρητές ακολουθίες: O δακτύλιος των κλασμάτων των τυπικών πολυωνύμων ( )


Αναγωγή στα Διακριτά συστήματα τυπικών δυναμοσειρών σαν

  • Πεδίο

  • Απροσδιόριστη x=

  • Τυπικές σειρές Laurent


Συστήματα Διακριτού Χρόνου τυπικών δυναμοσειρών σαν

Σήματα Διακριτού Χρόνου  ορίζονται σε διακριτά χρονικά διαστήματα

 μπορούν να αναπαρασταθούν σαν ακολουθίες

  • ο διακριτός χρόνος

  • ο χώρος των εισόδων

  • ο χώρος των εξόδων

Συστήματα Διακριτού Χρόνου  διεγείρονται από ακολουθίες

& παράγουν ακολουθίες


Γραμμικότητα & Χρονική ανεξαρτησία

  • Γραμμικό διακριτό σύστημα:

  • Χρονικά Ανεξάρτητο διακριτό σύστημα:

  • ο διακριτός χρόνος

  • ο χώρος των εισόδων

  • ο χώρος των εξόδων

  • ο πίνακας κρουστικής

    απόκρισης :


Συστήματα κλειστού βρόγχου ανεξαρτησία(βρόγχος μοναδιαίας ανάδρασης)

Σήματα  διανυσματικές ακολουθίες ως προς d (απροσδιόριστη)


Πίνακες συναρτήσεων μεταφοράς συστήματος

ή

όπου

Για να είναι το σύστημαwell-formedθα πρέπει το

να είναι μη μηδενικό στοιχείο του , όπου:

ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη των



Έστω: πίνακες ,

Οι πίνακες γίνονται:

όπου:


Το σύστημα ( πίνακεςP,C) είναι σταθεροποιήσιμο

Ο είναι σταθερός πολυωνυμικός πίνακας

Ο είναι σταθερός πολυωνυμικός πίνακας

Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες:

Γενική Σταθεροποίηση: Σχεδιασμός ελεγκτή τ.ω. ο Δ να είναι

σταθερός πολυωνυμικός πίνακας.

(Στην SISO περίπτωση θα πρέπει το Δ να είναι σταθερό πολυώνυμο)

Οποιοσδήποτε ελεγκτής ικανοποιεί το πρόβλημα γενικής

σταθεροποίησης ονομάζεται Σταθεροποιητικός Ελεγκτής

(stabilizing controller)


Youla-Bongiorno πίνακες-Kucera παραμετροποίηση

Ο σταθεροποιητικός ελεγκτής ικανοποιεί τις Διοφαντικές εξισώσεις:

όπου γνωστοί σταθεροί πολυωνυμικοί πίνακες

Η οικογένεια των σταθεροποιητικών ελεγκτών παραμετροποιείται ως εξής:

,

Όπου R, Sείναι αυθαίρετοι πολυωνυμικοί πίνακες


Β’ μέρος πίνακες

Το πρόβλημα της Ολικής Σταθεροποίησης σε Πεπερασμένο Χρόνο Αποκατάστασης

Total Finite Settling Time Stabilization

Problem

(FSTS problem)

Karkanias & Milonidis (1988)


FST (finite settling time) πίνακεςπρόβλημα:

Όλες οι εσωτερικές και εξωτερικές μεταβλητές απαιτείται να

καταλήγουν σε μια νέα σταθερή κατάσταση μετά από πεπερασμένο

χρονικό διάστημα από την εφαρμογή μιας βηματικής συνάρτησης

σε οποιαδήποτε από τις εισόδους, ανεξαρτήτως της αρχικής

κατάστασης του συστήματος.

Λήμμα: Ένα αιτιατό διακριτό σύστημα με κρουστική απόκριση g(d)

παρουσιάζει FST απόδοση αν-ν η g(d)είναι πολυώνυμο ως προς d.


SISO πίνακεςπερίπτωση:

και οι συναρτήσεις μεταφοράς:


Θεώρημα: πίνακες Το FST πρόβλημα έχει λύση αν-ν

Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να πούμε ότι .

Παραμετροποίηση FST σταθεροποιητικών ελεγκτών

όπου x, yσυγκεκριμένο ζεύγος λύσεων της γραμμικής Διοφαντικής εξίσωσης



«Πρώτος» ( οικογένειαςprime) FST ελεγκτής:

Υπάρχει πάντα ένας μοναδικός FST ελεγκτής με

και

FST ανίχνευση (tracking):

Η έξοδος y2ανιχνεύειτην είσοδο u1=nr/dr σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα αν-ν dr|dpdc.


Βέλτιστη και Εύρωστη οικογένειαςFST σταθεροποίηση

  • , βελτιστοποίηση

  • Σχεδιασμός εύρωστωνFST σταθεροποιητικών ελεγκτών

βέλτιστη FST σταθεροποίηση

Vidyasagar (1986) , Dahleh & Pearson (1986)

Ελαχιστοποίηση της ή της νόρμας του σφάλματος ενός

συστήματος για συγκεκριμένο χρόνο αποκατάστασης

 Ζητούμε ελάχιστο σφάλμα σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα.


Νόρμες συστημάτων Διακριτού Χρόνου

Έστω το σύνολο

η p-νόρμα του f:

O χώρος όλων των ακολουθιών για τις οποίες ορίζεται

η νόρμα ( δηλαδή ) συμβολίζεται με .


θεωρούμε Α τον χώρο των φραγμένων LTI τελεστών στο

Επαγόμενη νόρμα

στο Α:

Ένας τελεστής ονομάζεταιlP- ευσταθής , 1<p<∞ , αν-ν το είναι μια απεικόνιση από το lP στο lP και το κέρδος (gain) του τελεστή ορίζεται σαν:


Γραμμικός Προγραμματισμός διανυσματικών ακολουθιών με

Αν Α γραμμική απεικόνιση από γρ.δ.χ Χ στο γρ. δ.χ. Z

b  στοιχείο του Z

c* γραμμικό συναρτησιακό στο Χ

Στην περίπτωση πραγματικών γραμμικών διανυσματικών χώρων:


Βέλτιστο Πρόβλημα διανυσματικών ακολουθιών με FST σταθεροποίησης

  • Ζητούμε FST σταθεροποιητικό ελεγκτή, ο οποίος να ελαχιστοποιεί:

  • Την l1-νόρμα του σφάλματος σταθερής κατάστασης

  • Την l∞-νόρμα του διανύσματος του σφάλματος

Συνάρτηση μεταφοράς του σφάλματος:


Αν και διανυσματικών ακολουθιών με

Για βηματική είσοδο της μορφής:

το σφάλμα είναι:

Διάνυσμα σφάλματος:

Σφάλμα σταθ. κατ.:


  • Πρόβλημα Βελτιστοποίησης (Ι), διανυσματικών ακολουθιών με l1-βελτιστοποίηση:

  • Ζητούμε FST σταθεροποιητικό ελεγκτή, που να ελαχιστοποιεί

  • την l1νόρμα του σφάλματος σταθερής κατάστασης

  • για δεδομένο χρόνο αποκατάστασης.

  • Πρόβλημα Βελτιστοποίησης (ΙΙ), l∞-βελτιστοποίηση:

  • Ζητούμε FST σταθεροποιητικό ελεγκτή, που να ελαχιστοποιεί

  • την l∞νόρμα του διανύσματος του σφάλματος

  • για δεδομένο χρόνο αποκατάστασης.


1 διανυσματικών ακολουθιών με ος Περιορισμός: 0 σταθεροποιητικός Ελεγκτής πρέπει να ικανοποιεί

τη Διοφαντική εξίσωση

Η λύση δίνεται από :

όπου

είναι οι i-οστές στήλες των πινάκων

είναι η i-οστή στήλη του μοναδιαίου πίνακα Il

2ος Περιορισμός:To διάνυσμα σφάλματος και το σφάλμα σταθερής

κατάστασης δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις

και


l διανυσματικών ακολουθιών με 1-βέλτιστη FST σταθεροποίηση

l∞-βέλτιστη FST σταθεροποίηση


Εύρωστη διανυσματικών ακολουθιών με FST σταθεροποίηση

Ο σχεδιασμός FST σταθεροποιητικού ελεγκτή είναι ευαίσθητος σε

μεταβολές των παραμέτρων της ελεγχόμενης διεργασίας.

Εύρωστη FST σταθεροποίηση: Επιλογή ελεύθερης παραμέτρου R

της οικογένειας των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών για εύρωστη

απόδοση του συστήματος

Zhao & Kimura (1986) : εύρωστος deadbeat έλεγχος

Κarcanias & Milonidis (1996) : εύρωστος FST έλεγχος


P διανυσματικών ακολουθιών με 0: ονομαστική ελεγχόμενη διεργασία, P: δυναμική ελεγχόμενη διεργασία

Εφαρμόζουμε πολλαπλασιαστικές διαταραχές:

  • Η ονομαστική συνάρτηση

  • μεταφοράς του κλειστού συστήματος:

  • Η διαταραγμένη συνάρτηση

    μεταφοράς του κλειστού συστήματος:

όπου

Έτσι

Δείκτης ευρωστίας:

ή


Εύρωστη διανυσματικών ακολουθιών με FST σταθεροποίηση

όπου αριστερή MFD της εισόδου και

η οικογένεια των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών.

Παρατήρηση: Ο ελεγκτής του παραπάνω προβλήματος δεν εγγυάται

ευστάθεια της διαταραγμένης συνάρτησης μεταφοράς. Για ευστάθεια

θα πρέπει:


Γ’ μέρος διανυσματικών ακολουθιών με

Αλγόριθμοι υλοποίησης &

Αριθμητικά Παραδείγματα


SISO διανυσματικών ακολουθιών με περίπτωση

Η οικογένεια των σταθεροποιητικών ελεγκτών:

Η συνάρτηση μεταφοράς του σφάλματος:

Ο δείκτης ευρωστίας:


FST διανυσματικών ακολουθιών με αλγόριθμος

Βήμα 1: Υπολογισμός της οικογένειας των FST σταθεροποιητικών

ελεγκτών (ncp,dcp) και παραμετροποίηση τους:

Βήμα 2: Υπολογισμός της ελεύθερης παραμέτρου tελαχιστοποιώντας

την 1-νόρμα ως προς τη συνθήκη ανίχνευσης

Βήμα 3: Αντικατάσταση του tπου υπολογίσαμε στην οικογένεια των

FST ελεγκτών για υπολογισμό του βέλτιστα εύρωστου.


Βήμα 1: διανυσματικών ακολουθιών με

  • Υπολογισμός των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών με επίλυση

  • της Διοφαντικής εξίσωσης:

Εύκολα υπολογίζεται ο «πρώτος» (prime) ελεγκτής:

με

  • Παραμετροποίηση της οικογένειας των FST ελεγκτών:


Βήμα 2: διανυσματικών ακολουθιών με

(1)

(2)

(3)

Επιπλέον συνθήκη:

  • Αντικειμενική συνάρτηση

(1)

(3)

(Α)


  • 1 διανυσματικών ακολουθιών με ος περιορισμός (συνθήκη ανίχνευσης)

(2)

(Β)

ή


  • 2 διανυσματικών ακολουθιών με ος περιορισμός (συνθήκη ανισότητας)

(Γ)


Για άγνωστο διάνυσμα: διανυσματικών ακολουθιών με

  • Αντικειμενική συνάρτηση

(Α)

  • 1ος περιορισμός (συνθήκη ανίχνευσης)

(Β)

  • 2ος περιορισμός (συνθήκη ανισότητας)

(Γ)


Βήμα 3: διανυσματικών ακολουθιών με

Αντικαθιστώντας το tπου υπολογίσαμε στο Βήμα 2,

υπολογίζουμε τον εύρωστο ελεγκτή από τις σχέσεις:

Ο εύρωστος FST σταθεροποιητικός ελεγκτής έχει συνάρτηση μεταφοράς:


Υλοποίηση & αποτελέσματα στο διανυσματικών ακολουθιών με MATLAB

  • [nc,dc]=prime_FSTS(np,dp)

    Η συνάρτηση επιστρέφει το «πρώτο» ζεύγος λύσεων της Διοφαντικής

    εξίσωσης np.nc+dp.dc=1, ενός συστήματος μοναδιαίας ανάδρασης.

  • [opt_norm,nc,dc]=optimal_FSTS(m,np,dp,dr)

    H συνάρτηση επιστρέφει τον αριθμητή και τον παρονομαστή του FST σταθεροποιητικού ελεγκτή (nc,dc) ενός διακριτού SISO συστήματος μοναδιαίας ανάδρασης, ο οποίος ελαχιστοποιεί την L_1 νόρμα του «σφάλματος σταθερής κατάστασης».

    m := ο βαθμός της ελεύθερης παραμέτρου tτης οικογένειας των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών.


Παράδειγμα διανυσματικών ακολουθιών με

Παραβολική είσοδος:

Γιαm=3:


Απόκριση του Σφάλματος διανυσματικών ακολουθιών με

Σταθερής Κατάστασης (m=3)

Απόκριση του συστήματος

σε παραβολική είσοδο (m=3)


Βελτίωση της απόκρισης του συστήματος στην αύξηση του m (στην αύξηση του χρόνου αποκατάστασης)

Απόκριση του συστήματος σε

βηματική είσοδο για m=3,10,20

Απόκριση του Σφάλματος Σταθερής

Κατάστασης για m=3,10,20


Μεταβολή της βέλτιστης συστήματος στην αύξηση του τιμής της νόρμας ως προς το βαθμό της ελεύθερης παραμέτρου t.


Επαλήθευση της ευρωστίας του συστήματος

Εφαρμόζουμε πολλαπλασιαστικές διαταραχές:

όπου

Περιπτώσεις:

Η διαταραγμένη ελεγχόμενη διεργασία:

Συνθήκη για ευστάθεια:


α’ περίπτωση : συστήματος


β’ περίπτωση : συστήματος


γ’ περίπτωση : συστήματος


δ’ περίπτωση : συστήματος


Συμπεράσματα συστήματος

  • Για κάθε διακριτό σύστημα μπορεί να βρεθεί μια οικογένεια FST σταθεροποιητικών ελεγκτών

  • Ο βαθμός ελευθερίας (παράμετρος t) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επιτευχθεί εύρωστη απόδοση του συστήματος κλειστού βρόγχου. Ο εύρωστος σχεδιασμός επιτυγχάνεται με την ελαχιστοποίηση της l1νόρμας του δείκτη ευρωστίας.

  • Ο βέλτιστος δείκτης ευρωστίας ελαττώνεται με την αύξηση του χρόνου αποκατάστασης του συστήματος. Επομένως η ευρωστία βελτιώνεται εις βάρος της χρονικής βελτιστοποίησης


ad