Introduction à l’algèbre

1. Introduction à l’algèbre

2. L’arithmétique est la partie des mathématiques qui effectue des calculs avec des nombres. Il existe donc beaucoup de calculs. L’algèbre est la partie des mathématiques qui effectue des calculs avec des nombres et des lettres. En utilisant des lettres, elle permet de généraliser les calculs et les situations. Elle est donc très utile.

3. 28 6 40 5 20 2 3 8 4 7 Aire 2 largeur 10 Longueur Exemple Calcule l’aire de ces rectangles. 3 X 2 = 6 7 x 4 = 28 8 X 5 = 40 10 X 2 = 20 Ces calculs sont arithmétiques. Calculer l’aire de ces rectangles se fait toujours de la même manière. On peut donc généraliser les calculs par : A = L x l Cette formule est algébrique. En utilisant des lettres, elle permet de généraliserla manière de calculer l’aire des rectangles.

4. L’algèbre est donc la partie des mathématiques servant à généraliser les situations. Pour ce faire, elle utilise : - des lettres; - des nombres; - des opérations mathématiques; - des LOIS; - des ÉQUATIONS. Examinons ce que cela veut dire !

5. une égalité. Égalité et équation = En arithmétique, on utilise beaucoup le signe . = Le signe signifie que l’on a la même quantité de chaque côté. Exemple : 3 + 5 = 8 On pourrait aussi écrire : 8 = 3 + 5 Comme les deux quantités sont égales de chaque côté du signe ( = ), on appelle cette expression : 3 + 5 = 8 Voici quelques égalités : 3 + 5 = 8 3 + 5 = 8 x 1 8 x 1 = 4 x 2 4 x 2 = 16 ÷ 2 16 ÷ 2 = 3 + 5

6. x x x x + 5 = 8 + 5 = 8 + 5 = 8 + 5 = 8 x 8 = + 5 Une équation. x = 3 En algèbre, on peut remplacer un nombre par une lettre. Exemple : On pourrait aussi écrire : Comme on retrouve une lettre, on appelle cette expression : x . Le travail consistera alors à trouver la valeur de Dans l’équation : En résumé : est une équation; 3 + 5 = 8 est une égalité. Remarque : Dans les problèmes algébriques, l’objectif est donc de trouver la valeur de la lettre qui transformera l’équation en égalité.

7. x La lettre joue plusieurs rôles en algèbre. Des lettres x y . Les deux lettres les plus utilisées sont et x La lettre : 1er rôle : Représenter une inconnue 2e rôle : Créer des relations 3e rôle : Représenter un ensemble de nombres Examinons ce que cela veut dire !

8. x c’est donc une + 5 = 8 x x Quelle est la valeur de ? quelle est la valeur de ? x Ici, = 3. x 44 = 2 ( - 5 )2 – 6 1er rôle : Représenter une inconnue Dans l’équation suivante : inconnue, x On ne connaît pas la valeur de mais on peut trouver cette valeur. Ici, c’est assez facile ! solution 3 est donc la de cette équation. Il n’est pas toujours facile de trouver l’inconnue ! Exemple Dans l’équation : Pour trouver la solution de cette équation, il faut connaître beaucoup de lois.

9. x x x x 2 = 8 2 = 8, quelle est la valeur de ? Quelle est la valeur de ? x = 4 x 2 X Donc, dans x 2 C’est la solution. Dans l’équation suivante : Remarque : En algèbre, un nombre suivi d’une lettre signifie qu’ils se multiplient entre eux. x signifie X Réponse : Remarque et se ressemblent, Fais attention, car mais n’ont pas la même signification. X est le symbole de la multiplication. x est le symbole pour représenter une inconnue.

10. x x 2 = 8 = 8 = 8 Quelle est la valeur de ? C’est la solution. x x x x + 5 = 8 = 16 = 4 = 16 x x 2 2 x = 3 Dans l’équation suivante : Réponse : x Dans chacun de ces problèmes, n’a qu’une seule valeur.

11. 2e rôle : Créer des relations À l’aide des lettres, on peut établir des relations dans des situations particulières. Un bureau de médecin offre 20,00$ de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale. Exemple : On aimerait trouver une équation permettant de calculer le salaire de la secrétaire. x : Dans cette équation, représentera le nombre d’heures travaillées et y : représentera le salaire de la secrétaire. ( y ), Ici, on a besoin d’une autre lettre car le salaire et les heures travaillées sont deux choses différentes. On peut donc écrire la relation suivante : Le salaire = 20 $/h X le nombre d’heures travaillées y x = 20 $/h X y = 20 x Cette équation signifie qu’il y a une relation entre le nombre d’heurestravaillées et le salaire de la secrétaire .

12. x y : Il y a donc une relation entre et 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 0 20 40 60 80 100 120 140 160 = 20 x En donnant des valeurs à , on peut calculer des valeurs pour y. L’équation y = 20 permet de généraliser la façon de calculer le salaire. x le salaire dépend du nombre d’heures travaillées. Construisons un tableau représentant le salaire en fonction des heures travaillées. x Heures travaillées : y Salaire ($) : Ici, les deux lettres peuvent prendre plusieurs valeurs différentes. x variables, y et Dans ce genre de situations, les lettres (ici, ) sont appelées des car elles varient (elles prennent plusieurs valeurs) dans une même situation. x est appelée la variable indépendante : elle ne dépend d’aucune autre. x y elle dépend des calculs effectués avec est appelée la variable dépendante : .

13. Les nombres qui nous intéressent à l’ensemble N. appartiennent 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. 3e rôle : Représenter un ensemble de nombres N Exemple Dessinons un ovale. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Appelons-le N. Inscrivons une série de nombres à l’intérieur. Question : Peux-tu énumérer l’ensemble des nombres inscrits dans N ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Au lieu de les énumérer un par un, on pourrait écrire simplement : x N Ce qui signifie :

14. x x N N x ici, représente dom f = { x ( x , f(x) ) f(x) }. x [ a , b ] : f (x) > 0 x1 , x2 [ a , b ] : x1 < x2 f (x1) < f(x2) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. plusieurs valeurs. est une forme de langage qui permet aux mathématiciens de toute la planète de parler entre eux qu’ils soient Chinois, Allemands, Français, Anglais, etc. Ce langage permet aux mathématiciens de décrire avec quelques mots (des symboles) des situations parfois complexes. Ce langage permet donc de généraliser les situations. Voici quelques exemples : Il faut donc apprendre ce langage tout comme la langue française.

15. Conclusion Comme tu peux le constater, l’algèbre est utile pour représenter (généraliser) plusieurs sortes de situations. L’algèbre utilise plusieurs lois arithmétiques, mais elle possède aussi ses propres lois. Dans les prochaines présentations, nous allons découvrir ces procédés algébriques. Il est donc important que tu comprennes et que tu mémorises chaque nouvelle loi.