עיבוד אותות ותמונות במחשב

1. עיבוד אותות ותמונות במחשב תרגול 9 טורי פוריה

2. מספרים מרוכבים • ההצגה הקרטזית למספר מרוכב:a+bj, כש- . • הפעולות האריתמטיות:

3. נוסחת אוילר • כזכור מחדו”א אם נפתח טורי טילור: • הזהויות הבאות חשובות במיוחד:

4. הצגה גרפית • לפעמים מציגים מספר מרוכב כווקטור במישור המרוכב. • המישור המרוכב הוא מישור שהציר האופקישלו הוא הציר הממשי והציר האנכי הוא הציר המדומה. • לדוגמא:4-3j Imag 4 Real -3

5. הצגה פולרית • ניתן להציג מספר מרוכב (כמו כל וקטור אחר) כמכפלה של אורכו בוקטור יחידה בכיוון המתאים: Imag 3 4 Arg(x) Real

6. דוגמא למעבר בין הצורות

7. פעולות בהצגה קוטבית • פעולות כפל וחילוק קלות לביצוע בהצגה קוטבית (נוסחאות דה מואבר)

8. אותות הרמוניים מרוכבים • האות ההרמוני המרוכב בעל תדירותfמוגדר ע”י: • אם נסתכל על אות זה במישור המרוכב, ההיטל שלו על הציר הממשי הוא ועל הציר המדומה הוא , כש-f זה התדירות (מספר המחזורים ביחידת זמן) וזה שווה ל כש Tזה זמן המחזור של הפונקציות הטריגונומטריות. • כפי שראינו גודל אות זה הוא 1 ולכן במישור המרוכב הוא תמיד יהיה על מעגל היחידה כשהוא מסתובב בקצב של רדיאן בשניה. • הארגומנט של אות הרמוני (הזווית בין האות לבין הכיוון החיובי של הציר הממשי) נקרא הפזה של האות. • ניתן לראות לפי כללי כפל בהצגה קוטבית שכפל של מספר מרוכב באות הרמוני כמוהו כסיבוב המספר המרוכב בזוית השווה לפזה של האות ההרמוני נגד כיוון השעון.

9. האות ההרמוני המרוכב כפונקציה עצמית של מערכות LSI • ראינו בהרצאה שהאות ההרמוני המרוכב הוא אות עצמי של מערכת LSI. לערך העצמי המתאים קוראים תגובת התדר של המערכת. • עובדה זו מעודדת אותנו להציג אות כפירוק לאותות הרמוניים מרוכבים (טור פוריה מרוכב) מכיוון שאז נוכל לחשב בקלות את תגובת המערכת ע"י תגובת התדר.

10. טורי פוריה (בקטע (-L,L)) • E: מרחב הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע .. כלומר זה מרחב ליניארי שמכיל את הפונקציות בעלות מספר סופי של נקודות אי רציפות, וכמו-כן בכל נקודת אי רציפות קיימים הגבולות החד צדדיים. • זו תת משפחה של E (אותות הרמוניים בהם ) • משפחה זו אורתונורמלית תחת המכפלה הפנימית • ניתן לייצג כל אות ב- Eע"י טור של אותות אלו (בנקודות בהן היא רציפה). • מציאת המקדם של איבר בטור מתבצעת ע"י מכפלה פנימית בין האות לבין האות ההרמוני המרוכב המתאים

11. טורי פוריה בקטע (a,b) • משפחת הפונקציות שלנו משתנה להיות אוסף הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע . • נשתמש באותות ההרמוניים ובמכפלה הפנימית אשר תחתיה הם אורתונורמליים. • המקדמים והטור יהיו:

12. דוגמא:פיתוח טור פוריה • נפתח טור פוריה מרוכב לאות מציאת המקדמים: הטור שהתקבל:

14. צורות נוספות של טור פוריה לאותות ממשיים • כאשר האות ממשי . • אם אז וקבלנו את הטור המקורי של פוריה: טור טריגונומטרי (המקדמים ממשיים) • צורה נוספת: טור קוסינוסים עם פזה משתנה: (המקדמים ממשיים)

15. צורות נוספות של טור פוריה לאותות ממשיים זוגיים ואי-זוגיים • עבור אות ממשי זוגי, מקדמי טור פורייה הם ממשיים, והטור הטריגונומטרי הוא סכום פונקציות cos. • עבור אות ממשי אי-זוגי, מקדמי טור פורייה הם מדומים טהורים, והטור הטריגונומטרי הוא סכום פונקציות sin. • בחזרה לדוגמא :

16. טורי פוריה לאותות מחזוריים • עד עכשיו דיברנו על קירוב פונקציה בתחום סופי. ראינו שיש שקילות לטור טריגונומטרי של סינוסים וקוסינוסים, וידוע שפונקציות אלה מחזוריות עם מחזור . מכאן נובע שהטור בעל מחזור b-a. • נוכל לקרב ע”י טור פוריה כל פונקציה מחזורית כשהקטע מציין מחזור אחד כלשהו.

17. ההמשכה המחזורית של טור פורייה

18. דוגמא – טור פוריה לפונקצית סינוס • הוא מחזור של פונקצית הסינוס. נפתח על תחום כלשהו: עיבוד תמונות ואותות במחשב

19. המשך דוגמא • כאשר מפתחים טור פורייה תוך שימוש ב- כלשהו, מקבלים טור מסובך, אך כאשר הפיתוח הוא בתחום שהוא כפולה של מחזור של אות הסינוס (k שלם) , נשארים רק עם שני מקדמים שונים מ-0 : • אפשר היה ישירות להגיע מנוסחת אויילר. עיבוד תמונות ואותות במחשב

20. דוגמא-חישוב טורי פוריה ע"י Matlab • למשל כדי לחשב של האות • נצטרך לחשב: • נכתוב בmatlab: • syms Ck ker t • for k=0:3 • ker=exp(-j*2*pi*k*t); • Ck=int(2*t*ker,0,0.5)+int(2*(1-t)*ker,0.5,1); • simplify(Ck) end 1 1 זו פקודה שמחשבת אינטגרציה סימבולוית כלומר מוצאת את הפונקציה הקדומה זו פונקציה שמנסה לפשט ביטוי סימבולי ע”י זהויות מתמטיות