Κεφάλαια 6, 7 & 9

Κεφάλαια 6, 7 &9 Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

Τυχαίες Μεταβλητές… Μία τυχαία μεταβλητή(random variable)είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας ο οποίος αναθέτει έναν αριθμό σε κάθε ενδεχόμενο του πειράματος. Εναλλακτικά, ητιμή (value)της τυχαίας μεταβλητής είναι ένα αριθμητικό ενδεχόμενο. Αντί να μιλάμε για το ρίξιμο ενός νομίσματος με ενδεχόμενα {κορώνα, γράμματα} μπορούμε να σκεφτόμαστε ως “ο αριθμός των κορωνών όταν ρίχνουμε ένα ζάρι” {1, 0} (αριθμητικά ενδεχόμενα)

Δυο Ειδών Τυχαίων Μεταβλητών… Διακριτή (discrete)Τυχαία Μεταβλητή – μία η οποία παίρνει τιμές σε ένα αριθμήσιμο σύνολο – π.χ. άθροισμα από το ρίξιμο δύο ζαριών: 2, 3, 4, …, 12 Συνεχή (continuous)Τυχαία Mεταβλητή – μία η οποία δεν παίρνει διακριτές τιμές, μη-αριθμήσιμο σύνολο (υπάρχει τουλάχιστον ένα διάστημα). – π.χ.η ώρα (30.1 λεπτά; 30.10000001 λεπτά;) Ανάλογα: Οι ακέραιοι είναι διακριτοί, ενώ οι πραγματικοί αριθμοί είναι συνεχείς

Κατανομές Πιθανοτήτων… Μία κατανομή πιθανότητας (probability distribution) ή συνάρτηση πυκνότητας (density function) είναι ένας πίνακας, τύπος ή γράφημα το οποίο περιγράφει τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής και τις πιθανότητες οι οποίες αναλογούν στις τιμές αυτές. Όταν περιγράφουμε την τυχαία μεταβλητή (η οποία μπορεί να είναι διακριτή ή συνεχής), έχουμε δύο ειδών κατανομών πιθανοτήτων: – Διακριτή Κατανομή πιθανότητας (Κεφάλαιο 7) και – Συνεχή Κατανομή πιθανότητας (Κεφάλαιο 8)

Συμβολισμός Πιθανοτήτων … Με κεφαλαίο γράμμα παριστάνουμε τοόνομαμιας τυχαίας μεταβλητής, συνήθως ωςX. Με μικρό γράμμα θα παριστάνουμε την αντίστοιχητιμή (value)της τυχαίας μεταβλητής. Η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητήXείναι ίση μεxπαριστάνεται ως: P(X = x) Ή πιο απλά P(x)

Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων… Οι πιθανότητες των τιμών μιαςτυχαίας μεταβλητήςενδέχεται να εξαχθούν από μέσα εργαλείων πιθανοτήτων όπως τα διαγράμματα δέντρων ή εφαρμόζοντας κάποιον από τους ορισμούς των πιθανοτήτων, δεδομένου ότι αυτές οι δύο υποθέσεις εφαρμόζουν:

Παράδειγμα 6.1… Οι κατανομές πιθανοτήτων μπορούν να εκτιμηθούν από σχετικές συχνότητες. Θεωρήστε τον διακριτό (αριθμήσιμο) αριθμό των τηλεοράσεων για κάθε σπίτι των ΗΠΑ από δειγματοληπτική ερευνά … 1,218 ÷ 101,501 = 0.012 Π.χ. P(X=4) = P(4) = 0.076 = 7.6%

Παράδειγμα 6.1…(συνέχεια) Π.χ. ποια είναι η πιθανότητα ότι υπάρχει τουλάχιστον μία τηλεόραση αλλά όχι περισσότερες από τρεις σε οποιοδήποτε νοικοκυριό; «τουλάχιστον μία τηλεόραση αλλά όχι περισσότερες από τρεις» P(1 ≤ X ≤ 3) = P(1) + P(2) + P(3) = .319 + .374 + .191 = .884

Παράδειγμα 6.2… Σχηματίζοντας μία κατανομή πιθανοτήτων… Οι τεχνικές για τον υπολογισμό πιθανοτήτων μπορούν να χρησιμοποιηθούν, για παράδειγμα, ένας πωλητής αμοιβαίων κεφαλαίων γνωρίζει ότι υπάρχει 20% πιθανότητα για να κλείσει μία πώληση σε κάθε συνάντηση που αυτή έχει. Ποια είναι η κατανομή πιθανοτήτων του αριθμού των πωλήσεωνεάν σκοπεύει να συναντήσει τρεις πελάτες; Αν παραστήσουμε με S την επιτυχία,π.χ. για να κλείσει μία πώληση P(S)=.20 Έτσι με SC«δεν κλείνει μια συμφωνία», και P(SC)=.80

P(S)=.2 P(S)=.2 P(SC)=.8 P(S)=.2 P(S)=.2 P(SC)=.8 P(SC)=.8 P(S)=.2 P(S)=.2 P(SC)=.8 P(SC)=.8 P(S)=.2 P(SC)=.8 P(SC)=.8 Παράδειγμα 6.2… Σχηματίζοντας μία κατανομή πιθανοτήτων… Πώλησηστην 1η συνάντηση Πώλησηστην 2η συνάντηση Πώλησηστην 3η συνάντηση (.2)(.2)(.8)= .032 S S S S S SC S SC S S SC SC SC S S SC S SC SC SC S SC SC SC • X P(x) • .23 = .008 • 3(.032)=.096 • 3(.128)=.384 • 0 .83 = .512 P(X=2) παρουσιάζεται εδώ…

Πληθυσμός/Κατανομή Πιθανοτήτων… Η διακριτή κατανομή πιθανοτήτων παριστάνει τον πληθυσμό • Παράδειγμα 6.1 ο πληθυσμός του αριθμού των τηλεοράσεων για κάθε σπίτι • Παράδειγμα 6.2ο πληθυσμός του αριθμού των πωλήσεων Αφού έχουμε πληθυσμούς, μπορούμε να τους περιγράψουμευπολογίζοντας ποικίλες παραμέτρους. Π.χ. την μέση τιμή και την διακύμανση του πληθυσμού.

ΜέσηΤιμή του Πληθυσμού (Μαθηματική Ελπίδα) Η μέση τιμή του πληθυσμού είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος όλων των τιμών του. Αυτή η παράμετρος καλείται επίσης η μαθηματική ελπίδα του X και παριστάνεται με E(X).

Διακύμανση του Πληθυσμού … Η διακύμανση του πληθυσμού υπολογίζεται με παραπλήσιο τρόπο. Είναι ο σταθμισμένος μέσος όροςτων τετραγωνισμένων αποκλίσεων από την μέση τιμή. Όπως και πριν, υπάρχει μία εναλλακτική μορφή του τύπου… Η τυπική απόκλιση είναι η ίδια όπως πριν:

Παράδειγμα 6.3… Βρείτε τηνμέση τιμή, διακύμανση, και τυπική απόκλιση για τον πληθυσμό του αριθμού των έγχρωμων τηλεοράσεων σε κάθε σπίτι… (από το παράδειγμα6.1) = 0(.012) + 1(.319) + 2(.374) + 3(.191) + 4(.076) + 5(.028) = 2.084

Παράδειγμα 6.3… Βρείτε την μέση τιμή,διακύμανση, και τυπική απόκλιση για τον πληθυσμό του αριθμού των έγχρωμων τηλεοράσεων σε κάθε σπίτι… (από το παράδειγμα6.1) = (0 – 2.084)2(.012) + (1 – 2.084)2(.319)+…+(5 – 2.084)2(.028) = 1.107

Παράδειγμα 6.3… Βρείτε την μέση τιμή, διακύμανση, καιτυπική απόκλιση, για τον πληθυσμό του αριθμού των έγχρωμων τηλεοράσεων σε κάθε σπίτι… (από το παράδειγμα6.1) = 1.052

Ιδιότητες της Μαθηματικής Ελπίδας … • E(c) = c • Η μαθηματική ελπίδα μιας σταθεράς (c) είναι απλά η τιμή της σταθεράς. • E(X + c) = E(X) + c • E(cX) = cE(X) • Μπορούμε να «βγάλουμε» μία σταθερά έξω από την μαθηματική ελπίδα (ως όρος ενός αθροίσματος με μία τυχαία μεταβλητή X ή ως συντελεστής της τυχαίας μεταβλητής X).

Παράδειγμα 6.4… Οι μηνιαίες πωλήσεις έχουν μέση τιμή $25,000 και τυπική απόκλιση $4,000. Τα κέρδη υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας το σταθερό κόστος ύψους $6,000. Βρείτε την μέση τιμήτου μηνιαίου κέρδους. 1) Εκφράζουμε το πρόβλημα με αλγεβρικούς όρους: • οι πωλήσεις έχουν μέση τιμή $25,000 E(Πωλήσεις) = 25,000 • τα κέρδη υπολογίζονται… Κέρδη = .30(Πωλήσεις) – 6,000

Παράδειγμα 6.4…(συνέχεια) Οι μηνιαίες πωλήσεις έχουν μέση τιμή $25,000 και τυπική απόκλιση $4,000. Τα κέρδη υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας το σταθερό κόστος ύψους $6,000. Βρείτε την μέση τιμήτου μηνιαίου κέρδους. E(Κέρδη) =E[.30(Πωλήσεις) – 6,000] =E[.30(Πωλήσεις)] – 6,000 [Ιδιότητα #2] =.30E(Πωλήσεις) – 6,000 [Ιδιότητα #3] =.30(25,000) – 6,000 = 1,500 Έτσι, το μηνιαίο κέρδος είναι$1,500

Ιδιότητες της Διακύμανσης… • V(c) = 0 • Η διακύμανση μιας σταθεράς (c) είναι μηδέν. • V(X + c) = V(X) • Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής και μιας σταθεράς είναι απλά η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής. • V(cX) = c2V(X) • Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής και ενός σταθερού συντελεστή είναι το τετράγωνο του συντελεστή επί την διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής.

Παράδειγμα 6.4…(συνέχεια) Οι μηνιαίες πωλήσεις έχουν μέση τιμή $25,000 και τυπική απόκλιση $4,000. Τα κέρδη υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας το σταθερό κόστος ύψους $6,000. Βρείτε την τυπική απόκλισητου μηνιαίου κέρδους. 1) Εκφράζουμε το πρόβλημα με αλγεβρικούς όρους: • οι πωλήσεις έχουν μία τυπική απόκλιση $4,000  V(Πωλήσεις) = 4,0002 = 16,000,000 (θυμηθείτε την σχέση μεταξύ τυπικής απόκλισης και διακύμανσης) • τα κέρδη υπολογίζονται… Κέρδη = .30(Πωλήσεις) – 6,000

Παράδειγμα 6.4…(συνέχεια) Οι μηνιαίες πωλήσεις έχουν μέση τιμή $25,000 και τυπική απόκλιση $4,000. Τα κέρδη υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας το σταθερό κόστος ύψους $6,000. Βρείτε την τυπική απόκλισητου μηνιαίου κέρδους. 2) Ηδιακύμανσητου κέρδους είναι = V(Κέρδος) =V[.30(Πωλήσεις) – 6,000] =V[.30(Πωλήσεις)] [Ιδιότητα #2] =(.30)2V(Πωλήσεις) [Ιδιότητα #3] =(.30)2(16,000,000) = 1,440,000 Ξανά, η τυπική απόκλισηείναι η τετραγωνική ρίζα τηςδιακύμανσης, έτσι η τυπική απόκλιση του κέρδους = (1,440,000)1/2 = $1,200

Παράδειγμα 6.4…(περίληψη) Οι μηνιαίες πωλήσεις έχουνε μέση τιμή $25,000 και τυπική απόκλιση $4,000. Τα κέρδη υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας το σταθερό κόστος ύψους $6,000. Βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλισητου μηνιαίου κέρδους. Ημέση τιμήτου μηνιαίου κέρδους είναι$1,500 Η τυπική απόκλισητου μηνιαίου κέρδους είναι$1,200

Κατανομές με Δύο Τυχαίες Μεταβλητές … Μέχρι τώρα, έχουμε δειμονοδιάστατες κατανομές, π.χ. κατανομές πιθανότητας μεμίαμεταβλητή. Όπως μπορείτε να μαντέψετε,οι κατανομές με δύο τυχαίες μεταβλητέςείναι πιθανότητες από συνδυασμούςδύοτυχαίων μεταβλητών. Οι κατανομές πιθανότητας με δύο ή περισσότερες μεταβλητές καλούνται από κοινού κατανομές πιθανότητας (joint probability distribution).Μία από κοινού κατανομή πιθανότητας των X και Y είναι ο πίνακας ή ο τύπος που δείχνει την από κοινού κατανομή πιθανότητας για όλα ταζευγάριατων τιμών των x και y, και συμβολίζεται ως. P(x,y) = P(X=x και Y=y)

Διακριτές Κατανομές με Δύο Τυχαίες Μεταβλητές… Όπως ενδεχομένως θα αναμένατε, οι ιδιότητες μιας διακριτής κατανομής με δύο τυχαίες μεταβλητές είναι παραπλήσιες με αυτές των κατανομών με μία μεταβλητή, με μόνο ελάχιστες αλλαγές στο συμβολισμό: για όλα τα ζευγάρια (x,y).

Παράδειγμα 6.5… Ο Xavier και ο Yvette είναι μεσίτες κατοικιών, συμβολίσουμε με X και Y των αριθμό των αριθμό των σπιτιών που πουλάει ο καθένας τον μήνα. Η ακόλουθη από κοινού κατανομή πιθανότητας βασίζεται σε πωλήσεις από το παρελθόν: Ερμηνεύουμε αυτές τις από κοινού πιθανότητες όπως πριν. Π.χ. η πιθανότητα ότι ο Xavier να πουλήσει 0 σπίτια και ο Yvette να πουλήσει 1 σπίτι μέσα σε ένα μήνα είναι P(0, 1) = .21

Περιθώριες Πιθανότητες… Όπως και πριν, μπορούμε να υπολογίσουμε τις περιθώριες πιθανότητες (marginal probabilities) προσθέτοντας τα στοιχεία ανά γραμμές και ανάστήλες για να καθορίσουμε τις πιθανότητες των X και Y ατομικά: Π.χ. η πιθανότητα ότι ο Xavier θα πουλήσει 1 σπίτι = P(X=1) =0.40

Περιγράφοντας την Κατανομή με Δύο Μεταβλητές … Μπορούμε να περιγράψουμε την μέση τιμή, διακύμανση, και την τυπική απόκλιση για κάθε μεταβλητή σε μία κατανομή με δύο μεταβλητές δουλεύοντας με τις περιθώριες κατανομές… Οι ίδιες φόρμουλες όπως και στις μονοδιάστατες κατανομές με μία μεταβλητή …

Συνδιακύμανση … Η συνδιακύμανσηδύο διακριτών μεταβλητών ορίζεται ως: Ή εναλλακτικά χρησιμοποιώντας την πιο απλή μορφή της:

Ο Συντελεστής Συσχετίσεως … Ο συντελεστής συσχετίσεως υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο που περιγράψαμε νωρίτερα …

Παράδειγμα 6.6… Υπολογίστε τηνσυνδιακύμανσηκαι τονσυντελεστή συσχετίσεωςανάμεσα στον αριθμό των σπιτιών που πουλήθηκαν από τον Xavier και τον Yvette. COV(X,Y) = (0 – .7)(0 – .5)(.12) + (1 – .7)(0 – .5)(.42) + … … + (2 – .7)(2 – .5)(.01) = –.15 = –0.15 ÷ [(.64)(.67)] = –.35 Υπάρχει μία ασθενή, αρνητική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών.

Το Άθροισμα δύο Μεταβλητών… Η κατανομή με δύο τυχαίες μεταβλητές μας επιτρέπει να αναπτύξουμε την κατανομή πιθανότητας κάθε συνδυασμού των δύο μεταβλητών, ένας συγκεκριμένος που μας ενδιαφέρειείναι τοάθροισμα των δύο μεταβλητών. Εάν μελετήσουμε το παράδειγμα με τους δύο μεσίτες τον Xavier καιτον Yvette,μπορούμε να δημιουργήσουμε μία κατανομή πιθανότητας … …για να απαντήσουμε σε ερωτήσεις όπως “ποια είναι η πιθανότητα να πουληθούν δύο σπίτια; P(X+Y=2) = P(0,2) + P(1,1) + P(2,0) = .07 + .06 + .06 = .19

Το Άθροισμα δύο Μεταβλητών… Παρομοίως, μπορούμε να υπολογίσουμε την μαθηματική ελπίδα, την διακύμανση και την τυπική απόκλιση του X+Y με τον συνηθισμένο τρόπο … E(X + Y) = 0(.12) + 1(.63) + 2(.19) + 3(.05) + 4(.01) = 1.2 V(X + Y) = (0 – 1.2)2(.12) + … + (4 – 1.2)2(.01) = .56 = V(X+Y)1/2 = .561/2 = .75

Ιδιότητες… Μπορούμε να εξάγουμε τις ακόλουθες ιδιότητες της μαθηματικής ελπίδας και της διακύμανσης για το άθροισμα δύο μεταβλητών … • E(X + Y) = E(X) + E(Y) 2. V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X, Y) Εάν X και Y είναι ανεξάρτητα, τότε COV(X, Y) = 0 και έτσι V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Δυωνυμική Κατανομή … Ηδυωνυμική κατανομή (binomial distribution) είναι η κατανομή πιθανότητας που απορρέει από την εκτέλεση του«δυωνυμικού πειράματος». Τα δυωνυμικά πειράματα έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες: • Συγκεκριμένος αριθμός δοκιμών (trials), και συμβολίζεται ωςn. • Κάθε δοκιμή έχει δύο ενδεχόμενα, την«επιτυχία» και την «αποτυχία». • P(επιτυχίας)=p (και έτσι: P(αποτυχίας)=1–p), για όλες τις δοκιμές. • Οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες, το οποίο σημαίνει ότι το αποτέλεσμα μιας δόκιμης δεν επηρεάζει τα αποτελέσματα των οποιονδήποτε δοκιμών.

Επιτυχία και Αποτυχία … …είναι απλά επιγραφές για το δυωνυμικό πείραμα, δεν υπάρχει κανένας υπαινιγμός για κρίση της αξίας. Για παράδειγμα, το ρίξιμο ενός νομίσματος θα έχει ως αποτέλεσμα κορώνα ή γράμματα. Εάν ορίσουμε την «κορώνα» ως επιτυχία, τότε αναγκαστικά «γράμματα» θεωρείται ως αποτυχία (επιθυμούμε λοιπόν να φέρνουμε κορώνες). Άλλα δυωνυμικά πειράματα: • Ένας υποψήφιος εκλογών κερδίζει ή χάνει τις εκλογές. • Ένας εργαζόμενος είναι άντρας ή γυναίκα.

Δυωνυμική Τυχαία Μεταβλητή… Η τυχαία μεταβλητή ενός δυωνυμικού πειράματος ορίζεται ο αριθμός των επιτυχιών σεnδοκιμές, και καλείταιδυωνυμική τυχαία μεταβλητή. 1) Συγκεκριμένος αριθμός δοκιμώνn=10 2) Κάθε δοκιμή έχει δύο ενδεχόμενα {κορώνα (επιτυχία), γράμματα (αποτυχία)} 3) P(επιτυχίας)= 0.50; P(αποτυχίας)=1–0.50 = 0.50  4) Οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες (π.χ. το αποτέλεσμα μιας κορώνας στο πρώτο ρίξιμο δεν έχει καμία επιρροή σε ακόλουθα ριξίματα). Για τους παραπάνω λόγους ρίχνουμε ένα νόμισμα 10 φορές είναι ένα δυωνυμικό πείραμααφού όλες οι προϋποθέσεις πληρούνται.

Δυωνυμική Τυχαία Μεταβλητή… (συνέχεια) Η δυωνυμική τυχαία μεταβλητήαπαριθμεί τον αριθμό των επιτυχιών σεnδοκιμές ενός δυωνυμικού πειράματος. Μπορεί να πάρει τιμές από 0, 1, 2, …, n. Έτσι, είναι μίαδιακριτήτυχαία μεταβλητή. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα που συνδέεται με κάθε τιμή χρησιμοποιούμε συνδυαστική: για x=0, 1, 2, …, n

Παράδειγμα 6.7… … Ο Πέτρος ένας (όχι καλός) φοιτητής ο οποίος παίρνει το μάθημα της στατιστικής. Η στρατηγική του Πέτρου για τις εξετάσεις βασίζεται καθαρά στην τύχη. Το τεστ αποτελείται απόπολλαπλών επιλογών (multiple-choice)ερωτήσεις. Κάθε ερώτηση έχει 5 πιθανές απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή. Ο Πέτρος σκοπεύει να μαντέψει την απάντηση σε κάθε ερώτηση. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο Πέτρος δεν θα απαντήσει καμία ερώτηση σωστά; Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο Πέτρος θα απαντήσει δύο ερωτήσεις σωστά;

Παράδειγμα 6.7 … Ο Πέτρος ένας (όχι καλός) φοιτητής ο οποίος παίρνει το μάθημα της στατιστικής. Η στρατηγική του Πέτρου για τις εξετάσεις βασίζεται καθαρά στην τύχη. Το τεστ αποτελείται από10 πολλαπλών επιλογών (multiple-choice)ερωτήσεις. Κάθε ερώτηση έχει 5 πιθανές απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή. Ο Πέτρος σκοπεύει να μαντέψει την απάντηση σε κάθε ερώτηση. Αλγεβρικά έχουμε: n=10, καιP(επιτυχία) = 1/5 = .20

Παράδειγμα 6.7 … Ο Πέτρος ένας (όχι καλός) φοιτητής ο οποίος παίρνει το μάθημα της στατιστικής. Η στρατηγική του Πέτρου για τις εξετάσεις βασίζεται καθαρά στην τύχη. Το τεστ αποτελείται απόπολλαπλών επιλογών (multiple-choice)ερωτήσεις. Κάθε ερώτηση έχει 5 πιθανές απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή. Ο Πέτρος σκοπεύει να μαντέψει την απάντηση σε κάθε ερώτηση. Είναι αυτό ένα δυωνυμικό πείραμα?Ελέγχουμε τις υποθέσεις: Υπάρχει ένας σταθερός και πεπερασμένος αριθμός δοκιμών (n=10). Μία απάντηση μπορεί να είναι σωστή ή λανθασμένη. • Η πιθανότητα να έχουμε μία σωστή απάντηση (P(επιτυχίας)=.20) δεν αλλάζει από ερώτηση σε ερώτηση. Κάθε απάντηση είναι ανεξάρτητη από τις άλλες.

Παράδειγμα 6.7 … n=10, καιP(επιτυχία) = .20 Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο Πέτρος δεν θα απαντήσει καμία ερώτηση σωστά; Π.χ. # επιτυχιών, x, = 0; Δηλαδή θέλουμε να βρούμε P(x=0) Ο Πέτρος έχει περίπου 11% πιθανότητα να μην απαντήσει καμία απάντηση σωστή αν απαντήσει τυχαία τις ερωτήσεις.

Παράδειγμα 6.7 … n=10, καιP(επιτυχία) = .20 Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο Πέτρος θα απαντήσει δύο ερωτήσεις σωστά; Π.χ. # επιτυχιών, x, = 2; Δηλαδή θέλουμε να βρούμε P(x=2) Ο Πέτρος έχει περίπου30% πιθανότητα να απαντήσει δύο ερωτήσεις σωστά αν απαντήσει τυχαία τις ερωτήσεις.

Αθροιστική Πιθανότητα … Μέχρι τώρα, έχουμε χρησιμοποιήσει την δυωνυμική κατανομή πιθανότητας για να βρούμε πιθανότητες για ατομικές τιμές τουx. Για να απαντήσουμε την ερώτηση: «Βρείτε την πιθανότητα ότι ο Πέτρος θα αποτύχει στις εξετάσεις» Απαιτείται μία αθροιστική πιθανότητα, δηλαδή, P(X ≤ x) Όταν ένας βαθμός στις εξετάσεις είναι μικρότερος του 50% (π.χ. 5 ερωτήσεις από τις 10), τότε αυτό θεωρείται αποτυχία. Έτσι, θέλουμε να βρούμε: P(X ≤ 4) για να απαντήσουμε

Παράδειγμα 6.7 … P(X ≤ 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) Ήδη γνωρίζουμεότι P(0) = .1074 και P(2) = .3020. Χρησιμοποιούμε τον τύπο της δυωνυμικής για να υπολογίσουμε τις υπόλοιπες: P(1) = .2684 , P(3) = .2013, και P(4) = .0881 ‘Έχουμε P(X ≤ 4) = .1074 + .2684 + … + .0881 = .9672 Έτσι, είναι σχεδόν 97% πιθανό ότι ο Πέτρος θα αποτύχει στις εξετάσεις αν απαντήσει τυχαία τις ερωτήσεις …

Δυωνυμικός Πίνακας … Υπολογίζοντας τις δυωνυμικές πιθανότητες με το χέρι είναι βαρετό και γίνονται εύκολα υπολογιστικά λάθη. Υπάρχει ένας ευκολότερος τρόπος. Αναφερόμαστε στον Πίνακα 1(Table 1). Στο παράδειγμα με τον Πέτρο,n=10, έτσι το πρώτο σημαντικό βήμα είναι να χρησιμοποιήσουμε το σωστό μέρος του Πίνακα.

Δυωνυμικός Πίνακας … Οι πιθανότητες που καταγράφονται στον Πίνακα είναι αθροιστικές, i.e. P(X ≤ k),kείναι ο δείκτης της στήλης,οι στήλες του Πίνακα είναι οργανωμένες απότοP(επιτυχία) = p

Δυωνυμικός Πίνακας … «Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο Πέτρος θα αποτύχει στις εξετάσεις;» Π.χ. βρείτε την P(X ≤ 4), δοθέντος ότιP(επιτυχία) = .20και n=10; P(X ≤ 4) = .967

Δυωνυμικός Πίνακας … «Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο Πέτρος δεν θα απαντήσει καμία ερώτηση σωστά;» Π.χ. βρείτε την P(X = 0), δοθέντοςP(επιτυχία) = .20και n=10 ; P(X = 0) = P(X ≤ 0) = .107

Δυωνυμικός Πίνακας … «Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο Πέτρος θα απαντήσει δύο ερωτήσεις σωστά;» Π.χ. βρείτε την P(X = 2), δοθέντοςP(επιτυχία) = .20και n=10 ; P(X = 2) = P(X≤2) – P(X≤1) = .678 – .376 = .302 Θυμηθείτε, ότι ο πίνακας δείχνει αθροιστικές πιθανότητες …

Κεφάλαια 6, 7 & 9