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數值積分與瑕積分

數值積分與瑕積分. 4A228034 謝宏詳 ( 組長 )  4A228033 黃泳銘 4A228032 林家禾 4A228031 朱偉綸 4A228013 劉定有 指導 老師 張淑 慧. 數值積分. 數值積分另稱 近似積分 ，其實以後者比較正確，主要是 計算定積分的近似值 。數值積分的方法有一系列的理論，但是在 初等微積分 中著重在下列 兩種 最常用的方法： 1. 梯形法 (Trapezoidal Rule) 2. 辛普森法 (Simpson ， s Rule) 。. 梯形法.

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數值積分與瑕積分

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  1. 數值積分與瑕積分 4A228034謝宏詳(組長) 4A228033黃泳銘4A228032林家禾 4A228031朱偉綸 4A228013劉定有 指導老師 張淑慧

  2. 數值積分 • 數值積分另稱近似積分，其實以後者比較正確，主要是計算定積分的近似值。數值積分的方法有一系列的理論，但是在初等微積分中著重在下列兩種最常用的方法： • 1.梯形法(Trapezoidal Rule)2.辛普森法(Simpson，s Rule)。

  3. 梯形法 • 在推導梯形法時，須考慮在閉區間 [a, b] 為正數且連續的函數 f，要估算所代表的面積，可將區間分割成 n 個子區間，每個寬度為 • 子區間的寬度

  4. 梯形法主要的構想是將欲估計的定積分所代表的廣義面積，用一塊塊的梯形面積總和來近似之。如下圖所示：梯形法主要的構想是將欲估計的定積分所代表的廣義面積，用一塊塊的梯形面積總和來近似之。如下圖所示： • 圖1.以四個梯形來估算區域面積

  5. 圖2 • 如圖2.所示。圖1.中第一個梯形面積為()[

  6. 因為其他梯形面積也有相同形式，所以全部梯形的面積和為()[+]=()[]=()[]由於括號前之係數為，梯形法也被稱為數值積分法則因為其他梯形面積也有相同形式，所以全部梯形的面積和為()[+]=()[]=()[]由於括號前之係數為，梯形法也被稱為數值積分法則

  7. 辛普森法 • 這方法是以英國數學家 Thomas Simpson (1710-1761) 來命名梯形法的一種解釋是，f 在每個子區間是以一次多項式來代替；而在辛普森法中，f 在每個子區間是以二次多項式來代替。 • 在推導辛普森法時，先將區間 [a, b] 等分成 n (偶數) 個子區間，每個子區間寬度為 • 在子區間 [x0, x2]，以通過下列三點的二次多項式 p(x) 來代替 f • (x0, f(x0))，　(x1, f(x1))　和　(x2,f(x2))

  8. 圖3 • 如圖3.所示。利用微積分基本定理可得

  9. =()[]=[]=()[] • 在子區間 [xi－2, xi] 重複以上的步驟，可得

  10. 瑕積分 • 1.瑕積分 (improper integral)是被積函數帶有瑕點的廣義積分。設函數在上連續，點a為的瑕點.取，如果極限 • 存在，則稱此極限為函數在上的反常積分。瑕積分仍然記作。

  11. 2. 設函數在上連續，點b為的瑕點。取，如果極限存在，則稱此極限為函數在上的反常積分。 3. 設函數在上除點c(a<c<b)外上連續，點c為的瑕點。如果兩個瑕積分都收斂，則定義

  12. 瑕積分例題: • 1.求 • 解: = = =

  13. 2.求 • 解: = = 2 = 2 = 2

  14. 3.求 • 解: 令， = = =

  15. = + =| + | =() =

  16. 辛普森法與梯形法例題: • 1.利用辛普森法求之近似值(N=4)。 • 解: =() ==1.1

  17. 利用(1)辛普森法及(2)梯形法分別求出之近似值(N=4)至小數一下第四位。利用(1)辛普森法及(2)梯形法分別求出之近似值(N=4)至小數一下第四位。 • 解: • (1)辛普森法 [1+4] • 梯形法 [1+2] = 0.7854

  18. 參考文獻 • 數值型(梯形法、辛普森法) • www.ntnu.edu.tw/dms/liu/integration/2ndch21.pdf‎ • 瑕積分-維基百科 • http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%91%95%E7%A7%AF%E5%88%86 • 瑕積分 • http://www.mcu.edu.tw/department/management/stat/ch_web/etea/Calculus-3-net/17.pdf • 微積分精華版第八版 (原著:Ron Larson 翻譯:鄭子韋 林余昭 史青林)

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