Трептения на материална точка

1. Трептения на материална точка Учебни въпроси Въведение Свободни незатихващи трептения Свободни затихващи трептения Принудени трептения под действието на хармонична смущаваща сила Принудени трептения в съпровителна среда

2. Въведение • Трептяща система = маса + еластичен елемент. • Всяко реално тяло е деформируемо. В много случаи деформациите са несъществени за движението на тялото и тогава то се разглежда като идеално твърдо. В други случаи несъществена се оказва масата на телата, а техните деформации – значителни. Този факт дава основание да се разглеждат два типа идеализирани тела – едните са тежки, т.е. имат маса, но са идеално твърди, а другите са безмасови, но еластични (пружини). • Когато деформациите са пропорционални на приложените сили или моменти е в сила закона на Хук : F = c.l. Тук l e деформацията, а с – коефициент.

3. F Ф lст О x G x Движението на точка под действието на еластична сила – постановка на задачата • Да се изучи движението на една материална точка с тегло G, окачена на еластична пружина, единият край на която е неподвижен.(модел на трептяща система) • При това в пружината възниква сила F, която е пропорционална на нейната деформация, т.е. F = c.l; с – коефициент. • Пълната деформация l на пружината е съставена от статичната деформация lст и текущата координата x на точката. За начало О на координатната ос се приема положението на статично равновесие, при което: Fст = с. lст = G, тогава с = G/lст . • Или F = c.(x + lст). Силата F се стреми да върне точката в положението на равновесие, затова сенарича възстановяваща, съпротивителна(резистентна), но най-често еластична или пружинна сила. В най-общия случай в тримерното пространство, ако точката има 3 степени на свобода, еластичната сила се определя с:F= - c.rАпроектирана върху трите оси : Fx = - c.x, Fy = - c.y, Fz = - c.z • коефициента с(N/m) се нарича еластична константа.

4. F Ф lст О x G x Свободни незатихващи трептения1.1 Уравнение на движението • От уравнението на Нютон, проектирано върху оста Ох, се получава: mx = G - F • Заместваме силата F = c.(x + lст), разкриваме скобите и като имаме пред вид, че G = c.lст получаваме: mx = c.lст- cx - c.lст и следователно: mx + cx = 0, или x + c/m. x = 0 • Означаваме: и тогава: [1] • Уравнението [1] е: диференциалното уравнение на свободните трептения на точка в среда без съпротивление. • Величината: [s]се нарича • собствена кръгова честота на системата. -1

5. 1.2 Решаване на диференциалното уравниние на свободните трептения Имаме: [1] Намиране характеристичното уравнение. Да приемем че: тогава и [2] заместваме [2] в [1] : или [3] За да бъде изпълнено тъждеството [3], необходимо и достатъчно условие е р да бъде корен на характеристичното уравнение: или .[4]

6. Решение на диференциалното уравнение – продължение. Определяне корените на характеристичното уравнениеm.p + c = 0 или: и Така диференциалното уравнение [1] ще има два частни интеграла: и където: С1и С2са интеграционни константи. Общият интеграл на ДУ [1] ще бъде: или: [5] 2

7. Решение на уравнението на движението (продължение) Прилагаме формулата на Ойлер (L.Euler): заместваме в [5] : получаваме: или [6] Константите К1 и К2 определяме от началните условия: при t = 0: x = x0, v = v0. [n] v = x = - ω.K1.sin ωt + ω.K2.cos ωt [7] Заместваме условията [n] в уравненията [6] и [7]: получаваме: х0 = К1 + 0 и v0=0 + К2 ω. тогава: К1 = х0 и К2 = v0/ω

8. 1.3. Закон за движението на трептящата система. Като заместим интеграционните константи в [6] ще получим закона на движение на трептящата система: x = x0 .cosωt + v0 /ω. sin ωt[8] Ако положим К1 = А sinαиК2 = А cosα;ще получим: x = А sinα.cosωt + А cosα.sin ωt ; или окончателно: Закона за движението на трептящата система ще бъде:x = A.sin(ωt + α) [9] Тук: А – амплитуда на трептене. α – начална фаза.

9. 1.4. Изследване на движението на трептящата система. В най -общият случай на движение на трептяща система траекторията на точката е елипса. (може да се докаже). Когато началната скорост е перпендикулярна на началния радиус-вектор и константите К1 = К2, траекторията е окръжност. Ако началната скорост е насочена по директрисата на началния радиус-вектор (случая, който разгледахме), тогава елипсата се изражда в отсечка. И в трите случая графиката на закона на движение може да се представи като синусоида: Амплитудата на трептене не зависи от времето и затова този вид трептения се наричат незатихващи. Тъй като няма външна сила, която да влияе на движението трепртенията са свободни. x x0 A ω A t α T

10. F Ф lст R О x G x 2. Свободни затихващи трептения 2.1 Диференциално уравнение на движението. • Механичното движение е свързано с преодоляването на съпротивителни сили, дължащи се на вътрешно триене (хистерезис), триене във връзките, триене в атмосферата, триене в течности, сухо (кулоново) триене и др. • Тези сили на триене зависят от много фактори, но с доста добро приближение за практиката, съпротивителните сили се приемат пропорционални на първата степен на скоростта: R = - b.v, b>0. • b –коефициент на линейно съпротивление [N.s/m]. • От основното уравнение на динамиката се получава: m.x = G – F – R или • mx + bx + cx = 0 [11]

11. 2.2 Решение на диференциалното уравнение След полагане на [2] в [11] получаваме характеристичното уравнение : mp + bp+ c = 0[12] Корените му са: ако положим : и тогава: [13] В зависимост от отношението на величините n и ω се различават 3 случая: І случай: n>ω, (n/ω>1) – много голямо съпротивление; ІІ случай: n=ω, (n/ω=1) – голямо съпротивление; ІІІ случай: n<ω, (n/ω<1) – малко съпротивление. 2

12. Решение на диференциалното уравнение (продължение) Общ интеграл на диференциалното уравнение В І случай: n>ω,тогава полагаме: Корените на характеристичното уравнение ще бъдат: Общия интеграл ще бъде: или: т.е. [14] Във ІІ случай: n=ω, к=0 и р12=-n – двукратен корен. Тогава: [15] Интеграционните константи се определят от началните условия. И в двата случая движението е апериодично.

13. х a в x0 0 t б Изследване на апериодичното движение • Апериодичното движение може да се представи графично по следния начин: а) x0>0, v0>0 б) x0>0, v0<0 но и /v0/>/p2/.x0; в) x0>0, v0<0 но и /v0/</p2/.x0;

14. ІІІ. Случай – затихващи трептения В този случай, съпротивлението на средата е малко – n<ω. Тогава, ако положим в [13] или: Тогава: и Общият интеграл на уравнението ще бъде: или: Прилагаме формулата на Ойлер: [16]

15. Затихващи трептения (продължение) За да определим интеграционните константи К1 и К2 диференцираме [16] и получаваме: [17] Начални условия: при t = 0: x = x0, v = v0. [n] Заместваме [n] в [16] и [17] и получаваме: х0 = К1 + 0 и v0=-n(K1+0) - λ (0 - К2). К1 = х0, v0=-nK1+λ К2; К2 = 1/ λ.(v0+ n х0) [18] Ако положим в [16] К1 = A0sin α, K2 = A0cosα, [19] Това е закона на движение на затихващите трептения

16. 2.3 Свободни затихващи трептения – изследване на движението Графиката на това движение ще бъде: Началната амплитуда и началната фаза се определят както следва: Периодът Т* е постоянен: Две съседни амплитуди ще имат значения: x Ai Ai+1 A0 t A0 O T* T*/2 логаритмичен декремент фактор (декремент) на затихване

17. F Ф lст О x G Q x 3. Принудени трептения под действието на хармонична смущаваща сила (силово смущение) 3.1 Постановка на задачата. Принудените трептения се предизвикват от сили,които не зависят от вътрешното състояние на системата (от движението на системата около равновесното й положение). Тези сили се наричат смущаващи. Те са два типа: • Силови (динамични) и 2) Кинематични. Смущаващата сила в общия случай е произволна функция на времето. Най-разпространената в практиката форма за изменение на смущаващата сила е хармоничния закон: Q = H sin(kt +) [20]. Hе амплитудата, к –честота, а  - началната фаза на хармоника.

18. 3.2 Диференциално уравнение на движението Използвайки методите на Нютон или Даламбер съставяме диференциалното уравнение, проектирано върху оста Ох: mx = G – F + Q [21] Заместваме [20] в [21], силата F = c.(x + lст), разкриваме скобите и като имаме пред вид, че G = c.lст получаваме: mx = c.lст- cx - c.lст+ H sin(kt +)и следователно: mx+ cx = H sin(kt +)или: x+ ω x = h sin(kt +)[22] Тук ω е собствената кръгова честота на системата, а h – амплитуда на смущаващата сила на единица маса. 2

19. 2 3.3 Решение на диференциалното уравнение • Нека за удобство в [22] положим  = - π /2. Тогава: x+ ω x = h coskt [23] Общият интеграл на нехомогенното диференциално уравнение [23] е сума от решението (общия интеграл) на съответното хомогенно диференциално уравнение и едно частно решение на нехомогенното. Общият интеграл на хомогенното уравнение е: ххом= K1cos ωt + K2sin ωt [24] За да намерим един частен интеграл на нехомогенното уравнение полагаме: х* = q.cos kt + z.sin kt [25] Диференцираме [25] два пъти.

20. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Решение на диференциалното уравнение (продължение) x* = - qk.sin kt + zk.cos kt x* = - qk.cos kt - zk.sin kt Заместваме x*, и x* от [25] и [26] в [23] : -k (q.cos kt + z.sin kt) + ω.(q.cos kt + z.sin kt) = hcoskt+0 (-k. + ω )q.coskt + (-k + ω )z.sinkt = h.coskt+0.sinkt Приравняваме коефициентите пред coskt и пред sinkt от лявата и дясната страна на равенството (метод на неопределените коефициенти) и получаваме: (-k. + ω )q = h (ω – k)q = h q = h/ ω – k (-k + ω )z = 0 (ω – k)z = 0 z = 0 [26] 2 2

21. Решение на диференциалното уравнение (продължение) Частният интеграл на нехомогенното уравнение ще бъде: x* = (h/ω – k ) . cos kt + 0.sin kt или: където: [27] Общият интеграл на нехомогенното уравнение: x = x* + xхом= A*cos kt + K1cos ωt + K2sin ωt [28] Диференцираме [28] един път, за да намерим v. v = x = - A*k.sin kt - K1ω sin ωt +K2ω cos ωt [29] Константите К1 и К2 определяме от началните условия: при t = 0: x = x0, v = v0. [n] Заместваме условията [n] в уравненията [28] и [29]: получаваме: х0 = A* + К1 + К2.0 К1 = х0 - A* и v0 = 0 – К1 ω.0 + К2.ωК2 = v0/ω [30] 2 2

22. 3.4 Общ интеграл на нехомогенното диференциално уравнение – тълкуване За да получим окончателния вид на общия интеграл заместваме стойностите на интеграционните константи К1 и К2 от [30] в [28]. x = A*cos kt + (х0- A*) cos ωt + v0/ω sin ωt или: x = A*cos kt - A* cos ωt +х0cos ωt+ v0/ω sin ωt.[31] x3 x2 x1 Общият интеграл има три основни съставки (3 движения): х1 – свободни трептения, възникващи след прилагане на v0 х2 – трептения със собствена честота ω породени от възбудитуля и независещи от началните условия. х3 – принудени трептения, породени от смущаващата сила.

23. Tk Tk x Tω Tω Tω х3=A*coskt х2=A*cosωt t Т 3.5 Изследване на движението при голяма разлика между собствената и възбуждащата честота. По общо уравнението [31] можем да представим във вида: x = A*(cos kt - cos ωt) + х0cos ωt+ v0/ω sin ωt. Или: x = A*(cos kt - cos ωt) + х1 [32] т.е. Към трептенето с кръгова честота ω се прибавя едно трептене с кръгова честота к. Ако отношението ω/к(коефициент на разстройка) е рационално, т.е. ако mω = nk(m и n – цели числа), то движението е периодично, а в противен случай не е периодично.пример: 3ω = 2к и x0 = 0, v0 = 0, т.е. х1=0.

24. 3.6 Изследване на движението при минимална разлика между собствената и възбуждащата честота. При х0 = 0 и v0 = 0 имаме: Като имаме пред вид, че: (тук ) то: защото: Ако разликата между ω и к е много малка: ще имаме: където защото: И така: [33]

25. А** А** t t Изследване на движението при минимална разлика между собствената и възбуждащата честота (продължение). а) Амплитудата А** пулсира между 0 и h/2єω1 с един ритъм от 2є колебания в 2π секунди и толкова по-бързо колкото дисонансът є е по-голям и толкова по-силно, колкото той е по-малък. б) При резонанс к =ω. Тогава є = 0. Амплитудата А** придобива неопределена форма 0/0. Прилагайки правилото на Лопитал, намираме: х = (h.t.sin kt)/2k. Амплитудата А**= h.t/2k расте безпределно и линейно заедно с t. а) Пулсиращи трептения б) Резонанс

26. 3.7 Изследване на фазите и амплитудите на принудените трептения. А.) Фазови разлики между принуденото трептене и възбудителната сила. В реалните механични системи движенията х1 и х2 бързо затихват (преходен режим). Затова ще изследваме по-подробно движението х3 = х(установен режим). х = A*.cos kt или : При ω > к , фазата на принудените трептения съвпада с фазата на смущаващата сила. При ω < к , х = -A*.cos kt = A*.cos (kt –π), т.е. фазовата разлика е π. При ω= к , х = A**.sin kt = A**.cos (kt –π/2), - фазовата разлика е π/2.

27. б) Амплитудно-честотна характеристика (АЧХ). Амплитудата на принудените трептения може да се представи във вида: Да означим: или Тук: ст-статично отклонение на точката, - коефициент на разстройка, Д – динамичен коефициент. Д к=ω 1 к<ω к>ω  1 АЧХ

28. 4. Принудени трептения в съпротивителна среда. Постановка на задачата: На еластичната система действат силите – еластична F, на теглото G, на съпротивителната среда R, смущаващата сила Q и инерционната Ф. 4.1Диференциалното уравнение, съставено по метода на Нютон (или на Даламбер): mx = G – F – R + Q или след заместване: mx + bx + cx = H sin(kt +) [34] Ако разделим на m ще имаме уравнението : x+ 2nx + ω x = h sin(kt +) [35] F Ф lст R О x G Q x 2 Това са диференциалните уравнения на принудените трептения в съпротивителна среда.

29. 2 2 4.2 Решение на диференциалното уравнение Решението на уравнението на движението, неговият общ интеграл е равен на сумата от общия интеграл на хомогенното уравнение ххом и един частен интеграл на [35]. Общият интеграл на хомогенното уравнение беше намерен в т.2 . Той има различен вид в зависимост от това дали n<ω, n> ω или n=ω. Частният интеграл търсим от вида: x2 = A2 sin (kt +  -ψ) Дефиринцираме два пъти: x2 = A2 k.cos(kt +  -ψ) x2 = - A2 k.sin (kt +  -ψ). Заместваме в [35] : -A2 k.sin (kt +  -ψ) + 2n A2 k.cos(kt +  -ψ) + + ω. A2 sin (kt +  -ψ) = h sin(kt + + ψ - ψ) = = h sin(kt +- ψ)cosψ + h cos(kt +- ψ)sinψ [36] 2

30. 4.2 Решение на диференциалното уравнение(продължение) Групираме членовете които съдържатsin (kt +  -ψ) и cos(kt +  -ψ) и прехвърляме всички членове в ляво: [ A2(ω – k ) - h cosψ] sin (kt +  -ψ) + +(2nA2k – hsinψ) cos(kt +  -ψ) = 0. [37] За да бъде [37] изпълнено за произволни стойности на t е необходимо подчертаните изрази в скобите да са =0. A2(ω – k ) - h cosψ = 0 и 2nA2k – hsinψ = 0, или: A2(ω – k ) = h cosψ и 2nA2k = hsinψ [38] от където: [39] [40] 2 2 2 2 2 2 [41]

31. Общия интеграл в зависимост от отношението между n и ω 1)при n < ω: x = xхом + х2 събираме [19]+[41] 2) при n > ω: x = xхом + х2 събираме [14]+[41] 3) при n = ω: x = xхом + х2 събираме [15]+[41]

32. 4.3 Изследване на движението – принудени трептения в среда със съпротивление На практика затихващите трептения и апериодичните движения много бързо се прекратяват и затова по време на установен режим резултантното движение се състои само от принудените трептения [41], които са чисто хармонични трептения. Честотата к и периода Т са равни на честотата и периода на смущаващата сила. Фазата на принудените трептения се различава от фазата на смущаващата сила с величината ψ, която се определя от [40] – фазова разлика. Амплитудата се определя с помощта на [39].

33. 4.4 Фазово-честотна характеристика Фазовата разлика ψ може да се представи така: тук: к/ω =  - коефициент на разстройка; n/ω = μ – коефициент на Или: [42] относително съпротивление Графиката ψ - при различно съпротивление μсе нарича фазово-честотна характеристика (ФЧХ). ψ μ=0 180 μ=0,0625 μ=1 μ=∞ 90 μ=4 μ=0 о  3 2 1

34. 4.5 Амплитудно-честотна характеристика Да преобразуваме израза за амплитудата [39], като въведем коефициентите за разстройка (к/ω = )и за съпротивление (n/ω = μ). Приехме че: и А2/ст = λД – коефициента на динамичност. Тогава: [43] Графиките λД -  λД μ = 0 μ = 0,2 2 μ = 0,3 1 μ = 0,7 О  1 2 3

35. Въпроси ?