Geometric representation and processing
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Geometric Representation And Processing . Gliederung. Grundlagen Direkte Darstellungsmethoden Indirekte Darstellungsmethoden Topologie Hardwarestruktur Zusammenfassung. Grundlagen. Geometrische Repräsentation ist die Darstellung eines ‚Körpers‘ am Computer durch mathematische Modelle

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Presentation Transcript

Gliederung

Thomas Faltermeier

Gliederung

Grundlagen

DirekteDarstellungsmethoden

IndirekteDarstellungsmethoden

Topologie

Hardwarestruktur

Zusammenfassung


Grundlagen

Thomas Faltermeier

Grundlagen

Geometrische Repräsentation ist die Darstellung eines ‚Körpers‘ am Computer durch mathematische Modelle

Theoretisch muss derdargestellteKörpernicht real sein, die DarstellungeinesrealenKörpers hat jedoch den Vorteil, dassdieserfesteEigenschaftenbesitzt

Grundlagefür:

BerechnungdergeometrischenEigenschaften

Darstellung

WeitergehendeAnwendungen(z.B. Grafikeffekte)‏

BerechnungphysikalischerEigenschaftennachweitererBeschreibungmitMaterialeigenschaften(z.B. Elastizität)‏


Definition starrer k rper

Thomas Faltermeier

Definition starrer Körper

Translationsvariant(freiverschiebbar)‏

Rotationsvariant(freidrehbar)‏

EchteDreidimensionaleStrukturen, d.h. keineisolierten/freibaumelndenPunkte, KantenoderFlächen

Oberflächeteilt den Raum in Inneres und Äußeres auf


Darstellung was wollen wir

Thomas Faltermeier

Darstellung – Was wollen wir?

Die Darstellungsmethodesollte

Möglichstmächtigsein, d.h. möglichstvieleKörperdarstellenkönnen

MöglichstwenigSpeicherplatz in Anspruchnehmen

EinenKörpereindeutigbeschreiben, d.h. jederRepräsentantbeschreibteinenKörper, jederKörperwirddurcheinenRepräsentantenbeschrieben

Möglichstexaktsein, d.h. Annäherungensollenvermiedenodermöglichstexaktsein


Darstellung was wollen wir1

Thomas Faltermeier

Darstellung – Was wollen wir?

MöglichsthoheEffizienzderdaraufangewendetenAlgorithmenbieten

Es gibtzweiwesentlicheSchemen

DirekteDarstellungIndirekteDarstellung

Kanten und Ober- Volumenbeschreibung

flächenbeschreibung


Gliederung1

Thomas Faltermeier

Gliederung

Grundlagen

Direkte Darstellungsmethoden

Indirekte Darstellungsmethoden

Topologie

Hardwarestruktur

Zusammenfassung


Normzellenaufz hlungsschema

Thomas Faltermeier

Normzellenaufzählungsschema

Aufteilung des Raumes in einGittergleichgroßerdreidimensionalerZellen, sog. Voxel

Je nachdem, ob die ZelleinnerhalboderaußerhalbderzubeschreibendenKörpersliegt, wirddiese ‚gefüllt‘, vergleichbarmitdemZusammenbauen des KörpersmitidentischenKlötzen

Je kleinerdie Voxel, destogenauerkannderKörperbeschriebenwerden

AllerdingsistderSpeicherbedarffürimmerkleinereVoxelsehrhoch


Normzellenaufz hlungsschema1

Thomas Faltermeier

Normzellenaufzählungsschema


Octalb ume

Thomas Faltermeier

Octalbäume

Mächtigwie die Normzellenaufzählung, jedochbeideutlichgeringeremSpeicherbedarf

Ausgangspunkt: Würfel, der den gesamtenKörperumfasst

DerWürfelwird nun so langerekursiv in WürfelhalberKantenlängeunterteilt, bissichdieseinnerhalboderaußerhalb des Körpersbefinden(Annäherung), die KantenlängederWürfelist also nicht fest vorgeschrieben

Speicherungals Baum mit 8 Verästelungen

Effizienz stark vomTestalgorithmusabhängig


Octalb ume1

Thomas Faltermeier

Octalbäume

DieseMethodefunktioniertauchanalog in jederanderen

Dimension


Constructive solid geometry csg

Thomas Faltermeier

Constructive Solid Geometry(CSG)‏

KörperwirdmitHilfe von Grundkörpern,sog. Primitiven, erstellt

AnwendungderOperationen

SpeicherungalsBinärbaum

Nachteil: auchhiersindmehrereRepräsentantenmöglich

SteigerungderEffizienz: HäufigverwendeteObjektewerdenzuPrimitiven und müssennichtmehrjedes mal zusammengesetztwerden


Verschiebungsschema

Thomas Faltermeier

Verschiebungsschema

Ausgangspunkt: FlächeimRaum

DieseFlächewird nun entlangeinesPfadesbewegtoder um einenbestimmtenPunktgedreht

Es entstehteinTranslationskörper, bzw. einRotationskörper

Bsp.: EinKreisder um einenPunktimRaumrotierterzeugteinen Ring


Bsp rotierende sinuskurve

Thomas Faltermeier

Bsp.: Rotierende Sinuskurve


Gliederung2

Thomas Faltermeier

Gliederung

Grundlagen

Direkte Darstellungsmethoden

Indirekte Darstellungsmethoden

Topologie

Hardwarestruktur

Zusammenfassung


Drahtmodellschema

Thomas Faltermeier

Drahtmodellschema

Körperwirdüber seine Kantenbeschrieben

Vorteil: Konstruktion von Körpernistsehreinfach

Nachteil: EineeindeutigeRepräsentationausdemDrahtmodellschemaistnichtgewährleistet


Oberfl chendarstellung

Thomas Faltermeier

Oberflächendarstellung

Darstellung des Körpersdurch die Beschreibung seiner Oberfläche

Zerlegung in eineendlicheMenge von Teilflächen

Imeinfachsten Fall sindnurPolygonezugelassen, die nichtgekrümmtsind – also nurplanareFlächen, zusäzlichbefindetsich die VerbindungsliniezweierPunkte auf dem Polygon in diesem (keineLöcher in Polygone, keinekonkavenPolygone)

Rundungenmüssen in diesem Fall angenähertwerden, je genauer, destogrößerwird die Datenmenge


Oberfl chendarstellung1

Thomas Faltermeier

Oberflächendarstellung

ABER: FlächenalleineergebennochkeinenstarrenKörper

Es müssenfolgendeBedingungenerfülltsein:

GeschlossenheitkeineKantenunterbrechungen, keineechtenLöcher in Teilflächen(richtigerDurchbruchist in Ordnung), jedeFläche muss genau so vieleKantenwieEckenbesitzen, jederEckpunktgrenzt an die gleicheMenge an Kanten und Flächen an

Orientierbarkeit:BeideSeiteneinerFlächemüssenunterscheidbarsein{e1, e2, ... , en} sei die MengeallerKanten


Oberfl chendarstellung2

Thomas Faltermeier

Oberflächendarstellung

Test auf Orientierbarkeit:

OrientierungderKantengegen den Uhrzeigersinn

Ist die KantenorientierungzweierangrenzenderFlächenunterschiedlichwirddieseausderMengeeliminiert

Ist die Menge am Ende leer ist die Gesamtoberflächeorientierbar

Oberflächedarfsichnichtselbstschneiden

Teilflächendürfensichnichtselbstschneiden

SchnittzweierTeilflächennur am Rand

Kantendürfensichnichtselbstschneiden

ZweiKantendürfensichnur an den Endenschneiden

Problem: Unterscheidung von hohlen und nichtzusammenhängendenKörpernnichtmöglich



Polygon meshes

Thomas Faltermeier

Polygon Meshes

Nun stelltsich die Frage, wie man diesePolygoneabspeichernsollte, es gilt den bestenKompromisszwischenLaufzeit und Speicherplatzverbrauchzufinden.

ExpliziteRepräsentation

Jedes Polygon wirddurch seine EckkoordinatenrepräsentiertP = ((x1,y1,z1),...,(xn,yn,zn))‏

Wichtig: SinnvollesabspeichernderPunkte, damitKantengezeichnetwerdenkönnen, z.B. im/gegenUhrzeigersinn

Nachteil: BeimehrerenPolygonenwerdenPunktedoppeltgespeichert, gemeinsamePunkte und Kantewerdennichtexplizitalssolcherepräsentiert, beiVeränderungenmüssenallePolygoneüberprüft und geg. verändertwerden

Dahernurfüreineinzelnes Polygon sinnvoll, oder falls keineOperationenmehrausgeführtwerden (auchFaulheit OK)


Polygon meshes1

Thomas Faltermeier

Polygon Meshes

Pointers to a vertex list

AlleEckpunktewerden in einerListegespeichert

PolygoneckensindnurVerweise auf dieseListe

Vorteil:Platzersparnis, jederPunktwirdnureinmalgespeichertEinfachesÄndernderKoordinatenmöglichohneweitereÜberprüfungen

Nachteil:Flächen/Kanten die an einergemeinsamenEckeliegenmüssennochaufwändiggesuchtwerden


Polygon meshes2

Thomas Faltermeier

Polygon Meshes

Pointer to an edge list

Ecken und Kantenwerden in einerListegespeichert

PolygonewerdenalsVerweise auf die Kantenlisterepräsentiert

JedeKante in derListe hat zweiVerweise auf die Ecken, die siedefinieren, sowie die Information zuwelchenein/zweiPolygonensiegehört

P = (E1,...,En)‏

E = (V1,V2,P1,P2)‏

V = (x,y,z)‏


Polygon meshes3

Thomas Faltermeier

Polygon Meshes

Vorteile:EinfacheAbspeicherung

Nachteile:Algorithmenkönnennichtsehreffizientintegriertwerden, davieleÜberprüfungennötigsind

Speicherbedarfhöheralsnötig


Polygon meshes4

Thomas Faltermeier

Polygon Meshes


Gliederung3

Thomas Faltermeier

Gliederung

Grundlagen

Direkte Darstellungsmethoden

Indirekte Darstellungsmethoden

Topologie

Hardwarestruktur

Zusammenfassung


Vef graph

Thomas Faltermeier

vef-Graph

Die Topologieberücksichtigt die Nachbarschafts- beziehungen von Punkten, Kanten und Flächen

V: MengeallerKnoten/Ecken

E: MengeallerKanten

F: MengeallerFlächen

MüssenalleRelationengespeichertwerden?

NEIN

vv V x V :Punkte sind benachbart

ve V x E :Punkt begrenzt Kante

vf V x F :Punkt ist Ecke von Fläche

ev E x V :Kante hat Punkt als Ecke

ee E x E :Kanten sind benachbart

ee‘ E x E :Kanten sind benachbart und begrenzen die selbe Fläche

ef E x F :Kante begrenzt Fläche

fv F x V :Fläche stößt an Punkt

fe F x E :Fläche stößt an Kante

ff F x F :Flächen sind benachbart


Winged edge struktur

Thomas Faltermeier

Winged-Edge Struktur

Speicherung von: ev, ef, ee‘ alsoEckpunktederKantenFlächen die dieseKantenbegrenzenBenachbarteKantenmitgleicherbenachbarterFläche

ZusätzlicheAbspeicherung:KnotenlistemitVerweis auf die Kante, die erbegrenztFlächenlistemitVerweis auf eineKante, die siebegrenzt

AlleanderenRelationenlassensichdarausberechnen

DieseStrukturistdynamisch und somitbeiderImplementierung von Algorithmen von Nachteil


Half winged edge struktur

Thomas Faltermeier

Half-Winged-Edge Struktur

Es wird das selbegespeichertwiebeider Winged-Edge StrukturmitAusnahmeder Relation ee‘

ee‘ wirddurch die neue Relation ee‘‘ ersetzt:SpeicherungderKantenderentsprechendenFlächen, die e imUhrzeigersinnfolgenBeidiesemBeispielals e2 und e3

DieseStrukturist nun nichtmehrdynamisch und somitdeutlichbesserfür die Implementierunggeeignet


Gliederung4

Thomas Faltermeier

Gliederung

Grundlagen

Direkte Darstellungsmethoden

Indirekte Darstellungsmethoden

Topologie

Hardwarestruktur

Zusammenfassung


Hardwarestruktur

Thomas Faltermeier

Hardwarestruktur

Hardware verwendetkeinePolygonesondern die wesentlicheinfacherenDreiecke, danureinebegrenzteAnzahl an RechenregisternzurVerfügungsteht

Dreieckistimmer planar

Polygonemüssendaher in solchezerlegtwerden

Die einfachsteMöglichkeitwäreesjedesDreieckeinzelnzuspeichern, NachteileAnalogwiebei Meshes

Lösung: Triangel Strips und Triangle Fans


Hardwarestruktur1

Thomas Faltermeier

Hardwarestruktur

Triangle Strips:

Ausgehend von einemDreieck

JedesneueDreieckteilsicheineKantemitdemvorhergehenden

Vorteil: Es muss fürjedesneueDreiecknureineinzigerPunktgespeichertwerden


Hardwarestruktur2

Thomas Faltermeier

Hardwarestruktur

Triangle Fans:

Analogwiebei Strips

AllerdingsbesitzenalleDreieckenocheinengemeinsamenPunkt

Es entstehteinFächerausDreiecken


Gliederung5

Thomas Faltermeier

Gliederung

Grundlagen

Direkte Darstellungsmethoden

Indirekte Darstellungsmethoden

Topologie

Hardwarestruktur

Zusammenfassung


Zusammenfassung

Thomas Faltermeier

Zusammenfassung

Es werdenechteKörperdargestellt, dadiesefesteEigenschaftenbesitzen

Man stelltdiesenentwederdirektoderindirektdar, wobeijedeMethodeVor- und Nachteile hat

NurmitderDarstellunglassensichAlgorithmennichteffektivimplementieren, es muss die Topologieberücksichtigtwerden

EgalwiederKörperaufgebautist, auf Hardwareniveau muss alles auf Dreieckezurückgeführtwerden


Ende

Danke für die Aufmerksamkeit


Quellen

Thomas Faltermeier

Quellen

Foley, Van Dam, Feiner, Hughes: Computer Graphics: Principles and Practice, Addison-Wesley, 2nd edition in C

Griebel, Bungartz, Zenger: Computer Graphik, ViewegVerlag

http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Rotationskoerper_animation.gif , Macks, 24.01.2007

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Dolphin_triangle_mesh.png , chrschn , March 27, 2007

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Triangle_Strip.png, holder has irrevocably released all rights

http://www.codesampler.com/d3dbook/chapter_05/chapter_05_files/image008.jpg, Kevin Harris, 2005


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