中の関係の性質
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中の関係の性質. 集合 中の関係 において あらゆる に対して 反射律を満たす 対称律を満たす 推移律を満たす 反対称律を満たす. 同値関係: 反射律、対称律、推移律を満たす 関係. 同値関係の関係グラフと同値類、商集合. トーナメント戦における強弱関係. 規則 1. が に勝った  ⇒  は より強い 2. が に 勝った かつ が に勝った   ⇒  は z より強い 結論 ・ が一番強い ・ 2 番目に強いのは か か (比較不能). 反対称律. 推移律. 反対称律. 任意の に対して ⇒ . 対偶. 任意の に対して.

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Presentation Transcript
中の関係の性質

集合中の関係において

あらゆるに対して

反射律を満たす

対称律を満たす

推移律を満たす

反対称律を満たす

同値関係:反射律、対称律、推移律を満たす関係



トーナメント戦における強弱関係

規則

1. がに勝った

 ⇒ はより強い

2. がに勝った かつ

がに勝った

  ⇒ はzより強い

結論

・が一番強い

・2番目に強いのは

かか(比較不能)

反対称律

推移律


反対称律

任意の に対して

⇒ 

対偶

任意の に対して

関係グラフにおいて

相異なる要素間には高々一方向にしか辺がない


関係グラフとハッセ図

a

・反射的関係のループを除く

f

b

・推移的に得られる

有向辺を除く

xRz zRy なる 

z があれば

xRyの有向辺を除く

e

c

d

・上位の要素を上に配置し

辺の向きをなくす

関係グラフ


関係グラフとハッセ図

a

・反射的関係のループを除く

f

b

・推移的に得られる

有向辺を除く

xRzzRyなる 

z があれば

xRyの有向辺を除く

e

c

d

・上位の要素を上に配置し

辺の向きをなくす

関係グラフ


約数関係

12

8

6

3

2

1


集合の包含関係


上限と下限

順序集合において

  • 極大元:自分より大きい(上位の)要素を持たない元  有限集合中に1個以上存在

  • 最大元: 唯一の極大元(もしあれば)

    極小元、最小元( )も同様に定義する

    順序集合と、その部分集合において

  • の上界

  • の上限(最小上界)

    下界、下限( )も同様に定義する


極大元

最大元

a

c

b

e

d

h

g

f

極小元

最小元なし


の最小上界

(上限)

の下限

例1

の上界

a

の下界

c

b

e

d

h

g

f


2

a

c

b

e

d

h

g

f


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